Номер 14.38, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.38, страница 354.

Условие.

Решите систему уравнений (14.38–14.45):

14.38 а) $\begin{cases} 2x^2 + 1 = y - |\sin x| \\ \operatorname{tg}^2 x + y^2 = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^{|x|} + |x| = y + x^2 \\ x^2 + y^2 = 1; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x^5 + y^5 = 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим данную систему уравнений: $$ \begin{cases} 2x^2 + 1 = y - |\sin x| \\ \tg^2 x + y^2 = 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2x^2 + 1 + |\sin x|$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $2x^2 \ge 0$. Также, по определению модуля, $|\sin x| \ge 0$. Следовательно, $y = (2x^2 + 1) + |\sin x| \ge (0 + 1) + 0 = 1$. Таким образом, мы получили первое условие: $y \ge 1$.

Теперь рассмотрим второе уравнение: $\tg^2 x + y^2 = 1$. Выразим из него $y^2$: $y^2 = 1 - \tg^2 x$. Для существования действительного решения $y$ необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $y^2 \ge 0$. Поскольку $\tg^2 x \ge 0$, из уравнения $y^2 = 1 - \tg^2 x$ следует, что $y^2 \le 1$. Это неравенство эквивалентно $-1 \le y \le 1$.

Мы имеем два условия для $y$: $y \ge 1$ и $-1 \le y \le 1$. Единственное значение $y$, удовлетворяющее обоим условиям, это $y=1$.

Подставим $y=1$ в оба уравнения системы, чтобы найти $x$. Из первого уравнения: $2x^2 + 1 = 1 - |\sin x| \implies 2x^2 = -|\sin x|$. Левая часть $2x^2$ всегда неотрицательна ($ \ge 0 $), а правая часть $-|\sin x|$ всегда неположительна ($ \le 0 $). Равенство возможно только в том случае, когда обе части равны нулю. $2x^2 = 0 \implies x = 0$. $-|\sin x| = 0 \implies \sin x = 0$. Значение $x=0$ удовлетворяет обоим этим требованиям.

Из второго уравнения при $y=1$: $\tg^2 x + 1^2 = 1 \implies \tg^2 x = 0 \implies \tg x = 0$. Решением этого уравнения является $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число.

Для того чтобы пара $(x,y)$ была решением системы, значение $x$ должно удовлетворять условиям, полученным из обоих уравнений. Мы получили $x=0$ из первого уравнения и $x=k\pi$ из второго. Единственное значение, удовлетворяющее обоим условиям, — это $x=0$ (при $k=0$). Таким образом, единственное решение системы — $(0, 1)$.

Ответ: $(0, 1)$.

б)

Рассмотрим данную систему уравнений: $$ \begin{cases} 2^{|x|} + |x| = y + x^2 \\ x^2 + y^2 = 1 \end{cases} $$

Из второго уравнения $x^2 + y^2 = 1$ следует, что переменные $x$ и $y$ ограничены: $x^2 \le 1 \implies |x| \le 1$ и $y^2 \le 1 \implies |y| \le 1$ (то есть $-1 \le y \le 1$).

Преобразуем первое уравнение, выразив $y$: $y = 2^{|x|} + |x| - x^2$. Поскольку $x^2 = |x|^2$, уравнение можно переписать в виде: $y = 2^{|x|} + |x| - |x|^2$.

Обозначим $t = |x|$. Так как $|x| \le 1$, то $t \in [0, 1]$. Рассмотрим функцию $f(t) = 2^t + t - t^2$ на отрезке $[0, 1]$. Найдем ее производную: $f'(t) = 2^t \ln 2 + 1 - 2t$. Исследуем знак производной на отрезке $[0, 1]$. Вторая производная $f''(t) = 2^t (\ln 2)^2 - 2$. Так как $2^t \le 2$ и $\ln 2 < 1$, то $f''(t) = 2^t (\ln 2)^2 - 2 < 2 \cdot 1^2 - 2 = 0$. Это означает, что $f'(t)$ является убывающей функцией на $[0, 1]$. Найдем значения $f'(t)$ на концах отрезка: $f'(1) = 2\ln 2 - 1 = \ln 4 - 1 > 0$ (так как $4 > e$). Поскольку $f'(t)$ убывает и ее значение в правом конце отрезка положительно, то $f'(t) > 0$ для всех $t \in [0, 1]$.

Так как производная $f'(t)$ положительна на отрезке $[0, 1]$, функция $f(t)$ возрастает на этом отрезке. Следовательно, свое наименьшее значение функция принимает при $t=0$: $f_{min} = f(0) = 2^0 + 0 - 0^2 = 1$. Таким образом, для любого $x$ из области определения, $y = f(|x|) \ge 1$.

Мы получили два условия для $y$: 1. Из второго уравнения: $-1 \le y \le 1$. 2. Из анализа первого уравнения: $y \ge 1$. Единственное значение $y$, удовлетворяющее обоим условиям, это $y=1$.

Если $y=1$, то $f(|x|) = 1$. Поскольку функция $f(t)$ возрастающая на $[0,1]$ и ее наименьшее значение равно 1 и достигается только при $t=0$, то мы должны иметь $|x|=0$, что означает $x=0$. Таким образом, единственное возможное решение — это пара $(0, 1)$.

Ответ: $(0, 1)$.

в)

Рассмотрим данную систему уравнений: $$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 1 \\ x^5 + y^5 = 1 \end{cases} $$

Из первого уравнения $x^2 + y^2 = 1$ следует, что $x^2 \le 1$ и $y^2 \le 1$, что эквивалентно $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$.

Рассмотрим неравенство $u^5 \le u^2$ для $u$ такого, что $|u| \le 1$. Преобразуем разность: $u^2 - u^5 = u^2(1 - u^3)$.

• Если $u \in [0, 1]$, то $u^2 \ge 0$ и $1 - u^3 \ge 0$, следовательно $u^2(1 - u^3) \ge 0$. Таким образом, $u^5 \le u^2$. Равенство достигается при $u=0$ или $u=1$.
• Если $u \in [-1, 0)$, то $u^2 > 0$, а $u^3 < 0$, поэтому $1 - u^3 > 1$. Значит, $u^2(1 - u^3) > 0$. Таким образом, $u^5 < u^2$.

Следовательно, для любого $u \in [-1, 1]$ выполняется неравенство $u^5 \le u^2$.

Поскольку для наших переменных $x$ и $y$ выполняются условия $|x| \le 1$ и $|y| \le 1$, мы можем записать: $x^5 \le x^2$ $y^5 \le y^2$

Сложив эти два неравенства, получим: $x^5 + y^5 \le x^2 + y^2$. Из уравнений системы мы знаем, что $x^5 + y^5 = 1$ и $x^2 + y^2 = 1$. Подставляя эти значения в полученное неравенство, получаем $1 \le 1$. Это означает, что в неравенстве должно достигаться строгое равенство: $x^5 + y^5 = x^2 + y^2$.

Равенство $x^5 + y^5 = x^2 + y^2$ можно переписать как $(x^2 - x^5) + (y^2 - y^5) = 0$. Поскольку мы показали, что оба слагаемых $(x^2 - x^5)$ и $(y^2 - y^5)$ неотрицательны, их сумма может быть равна нулю только если каждое из них равно нулю. $x^2 - x^5 = 0 \implies x^2(1 - x^3) = 0 \implies x=0$ или $x=1$. $y^2 - y^5 = 0 \implies y^2(1 - y^3) = 0 \implies y=0$ или $y=1$.

Теперь проверим возможные пары $(x,y)$, подставив их в уравнение $x^2 + y^2 = 1$:

• $(0, 0): 0^2 + 0^2 = 0 \ne 1$. Не является решением.
• $(0, 1): 0^2 + 1^2 = 1$. Является решением.
• $(1, 0): 1^2 + 0^2 = 1$. Является решением.
• $(1, 1): 1^2 + 1^2 = 2 \ne 1$. Не является решением.

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $(1, 0), (0, 1)$.