Номер 14.43, страница 355 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.43, страница 355.

Условие.

14.43* $\begin{cases} y^{1-\frac{2}{5}\log_x y} = x^{\frac{2}{5}} \\ 1 + \log_x \left(1 - \frac{3y}{x}\right) = \log_x 4 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Начнем с определения области допустимых значений (ОДЗ) для данной системы уравнений.

$$ \begin{cases} y^{1-\frac{2}{5}\log_x y} = x^{\frac{2}{5}} \\ 1 + \log_x\left(1-\frac{3y}{x}\right) = \log_x 4 \end{cases} $$

Из выражений с логарифмами следуют условия:

1. Основание логарифма: $x > 0$ и $x \neq 1$.

2. Аргумент логарифма $\log_x y$: $y > 0$.

3. Аргумент логарифма $\log_x\left(1-\frac{3y}{x}\right)$: $1-\frac{3y}{x} > 0$.

Из третьего условия получаем: $1 > \frac{3y}{x}$. Поскольку по ОДЗ $x > 0$, мы можем умножить обе части неравенства на $x$, не меняя знака: $x > 3y$, или $y < \frac{x}{3}$.

Таким образом, ОДЗ системы: $x > 0$, $x \neq 1$, $0 < y < \frac{x}{3}$.

Теперь упростим второе уравнение системы.

$1 + \log_x\left(1-\frac{3y}{x}\right) = \log_x 4$

Представим $1$ как $\log_x x$:

$\log_x x + \log_x\left(1-\frac{3y}{x}\right) = \log_x 4$

Используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a (bc)$:

$\log_x \left(x \cdot \left(1-\frac{3y}{x}\right)\right) = \log_x 4$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$x\left(1-\frac{3y}{x}\right) = 4$

$x - 3y = 4$

Отсюда выразим $y$ через $x$: $y = \frac{x-4}{3}$.

Проверим это соотношение с условиями ОДЗ. Из $y > 0$ следует $\frac{x-4}{3} > 0$, что означает $x > 4$. Это условие автоматически удовлетворяет требованиям $x > 0$ и $x \neq 1$.

Теперь подставим $y$ в условие $y < \frac{x}{3}$:

$\frac{x-4}{3} < \frac{x}{3}$

$x-4 < x$

$-4 < 0$, что является верным неравенством.

Таким образом, ОДЗ можно сузить до $x > 4$ и $y = \frac{x-4}{3}$.

Теперь подставим полученные соотношения в первое уравнение системы. Прологарифмируем обе части первого уравнения по основанию $x$:

$\log_x\left(y^{1-\frac{2}{5}\log_x y}\right) = \log_x\left(x^{\frac{2}{5}}\right)$

Используя свойство логарифма степени $\log_a (b^c) = c \log_a b$:

$\left(1-\frac{2}{5}\log_x y\right) \cdot \log_x y = \frac{2}{5} \log_x x$

Так как $\log_x x = 1$:

$\left(1-\frac{2}{5}\log_x y\right) \log_x y = \frac{2}{5}$

Сделаем замену $t = \log_x y$. Уравнение примет вид:

$(1-\frac{2}{5}t)t = \frac{2}{5}$

$t - \frac{2}{5}t^2 = \frac{2}{5}$

Умножим обе части на 5, чтобы избавиться от дробей:

$5t - 2t^2 = 2$

$2t^2 - 5t + 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{5 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{5 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $\log_x y = t_1 = \frac{1}{2}$

Отсюда $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$.

У нас есть два выражения для $y$: $y = \sqrt{x}$ и $y = \frac{x-4}{3}$. Приравняем их:

$\sqrt{x} = \frac{x-4}{3}$

Поскольку $x > 4$, правая часть положительна. Возведем обе части в квадрат:

$x = \left(\frac{x-4}{3}\right)^2$

$x = \frac{(x-4)^2}{9}$

$9x = x^2 - 8x + 16$

$x^2 - 17x + 16 = 0$

По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 1$ и $x_2 = 16$.

Корень $x_1=1$ не удовлетворяет условию ОДЗ $x > 4$.

Корень $x_2=16$ удовлетворяет условию $x > 4$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = \sqrt{16} = 4$.

Проверим по второму выражению: $y = \frac{16-4}{3} = \frac{12}{3} = 4$.

Таким образом, пара $(16, 4)$ является решением.

Случай 2: $\log_x y = t_2 = 2$

Отсюда $y = x^2$.

Приравняем выражения для $y$:

$x^2 = \frac{x-4}{3}$

$3x^2 = x - 4$

$3x^2 - x + 4 = 0$

Найдем дискриминант этого квадратного уравнения: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 1 - 48 = -47$.

Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.

Следовательно, система имеет единственное решение.

Ответ: $(16, 4)$