Номер 15.5, страница 360 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.5, страница 360.

Условие.

15.5 а) $|x - 1| - a|x + 1| = 2;$

Б) $|\dot{x} - 2| - a|x + 1| = 3;$

В) $|x + 3| - a|x - 1| = 4;$

Г) $|x + 2| - a|x - 3| = 5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) Решим уравнение $|x - 1| - a|x + 1| = 2$ методом интервалов. Критические точки, в которых выражения под модулем равны нулю: $x = 1$ и $x = -1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.

1. При $x \le -1$, имеем $|x - 1| = -(x - 1)$ и $|x + 1| = -(x + 1)$. Уравнение принимает вид:
$-(x - 1) - a(-(x + 1)) = 2$
$1 - x + a(x + 1) = 2$
$1 - x + ax + a = 2$
$x(a - 1) = 1 - a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$. Следовательно, все $x$ из промежутка $x \le -1$ являются решениями.
Если $a \neq 1$, получаем $x = \frac{1 - a}{a - 1} = -1$. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

2. При $-1 < x < 1$, имеем $|x - 1| = -(x - 1)$ и $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид:
$-(x - 1) - a(x + 1) = 2$
$1 - x - ax - a = 2$
$-x(1 + a) = 1 + a$
Если $a = -1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$. Следовательно, все $x$ из интервала $(-1, 1)$ являются решениями.
Если $a \neq -1$, получаем $x = -1$. Этот корень не принадлежит рассматриваемому интервалу.

3. При $x \ge 1$, имеем $|x - 1| = x - 1$ и $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид:
$(x - 1) - a(x + 1) = 2$
$x - 1 - ax - a = 2$
$x(1 - a) = 3 + a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 4$, что не имеет решений.
Если $a \neq 1$, получаем $x = \frac{3 + a}{1 - a}$. Проверим, при каких $a$ этот корень принадлежит промежутку $x \ge 1$:
$\frac{3 + a}{1 - a} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{3 + a - (1 - a)}{1 - a} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{2a + 2}{1 - a} \ge 0$.
Решая это неравенство, получаем $a \in [-1, 1)$.

Ответ:

• при $a = 1$, $x \in (-\infty, -1]$;
• при $a = -1$, объединяя решения из всех случаев ($x=-1$, $x \in (-1, 1)$, $x=1$), получаем $x \in [-1, 1]$;
• при $a \in (-1, 1)$, решениями являются $x = -1$ и $x = \frac{3 + a}{1 - a}$;
• при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, решением является $x = -1$.

б) Предполагая, что в условии $|ẋ - 2| - a|x + 1| = 3$ имеется опечатка и должно быть $|x - 2|$, решим уравнение. Критические точки: $x = 2$ и $x = -1$.

1. При $x \le -1$, имеем $|x - 2| = -(x - 2)$ и $|x + 1| = -(x + 1)$. Уравнение принимает вид:
$-(x - 2) - a(-(x + 1)) = 3$
$-x + 2 + ax + a = 3$
$x(a - 1) = 1 - a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \le -1$.
Если $a \neq 1$, получаем $x = -1$.

2. При $-1 < x < 2$, имеем $|x - 2| = -(x - 2)$ и $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид:
$-(x - 2) - a(x + 1) = 3$
$-x + 2 - ax - a = 3$
$-x(1 + a) = 1 + a$
Если $a = -1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \in (-1, 2)$.
Если $a \neq -1$, получаем $x = -1$, что не входит в данный интервал.

3. При $x \ge 2$, имеем $|x - 2| = x - 2$ и $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид:
$(x - 2) - a(x + 1) = 3$
$x - 2 - ax - a = 3$
$x(1 - a) = 5 + a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 6$, что не имеет решений.
Если $a \neq 1$, получаем $x = \frac{5 + a}{1 - a}$. Корень принадлежит промежутку $x \ge 2$ при условии $\frac{5 + a}{1 - a} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3a + 3}{1 - a} \ge 0$, что выполняется для $a \in [-1, 1)$.

Ответ:

• при $a = 1$, $x \in (-\infty, -1]$;
• при $a = -1$, объединяя решения, получаем $x \in [-1, 2]$;
• при $a \in (-1, 1)$, решениями являются $x = -1$ и $x = \frac{5 + a}{1 - a}$;
• при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, решением является $x = -1$.

в) Решим уравнение $|x + 3| - a|x - 1| = 4$ методом интервалов. Критические точки: $x = -3$ и $x = 1$.

1. При $x < -3$, имеем $|x + 3| = -(x + 3)$ и $|x - 1| = -(x - 1)$. Уравнение принимает вид:
$-(x + 3) - a(-(x - 1)) = 4$
$-x - 3 + ax - a = 4$
$x(a - 1) = 7 + a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 8$, решений нет.
Если $a \neq 1$, получаем $x = \frac{7 + a}{a - 1}$. Корень принадлежит промежутку $x < -3$ при условии $\frac{7 + a}{a - 1} < -3 \Leftrightarrow \frac{4a + 4}{a - 1} < 0$, что выполняется для $a \in (-1, 1)$.

2. При $-3 \le x < 1$, имеем $|x + 3| = x + 3$ и $|x - 1| = -(x - 1)$. Уравнение принимает вид:
$(x + 3) - a(-(x - 1)) = 4$
$x + 3 + ax - a = 4$
$x(1 + a) = 1 + a$
Если $a = -1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \in [-3, 1)$.
Если $a \neq -1$, получаем $x = 1$, что не входит в данный промежуток.

3. При $x \ge 1$, имеем $|x + 3| = x + 3$ и $|x - 1| = x - 1$. Уравнение принимает вид:
$(x + 3) - a(x - 1) = 4$
$x + 3 - ax + a = 4$
$x(1 - a) = 1 - a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \ge 1$.
Если $a \neq 1$, получаем $x = 1$.

Ответ:

• при $a = 1$, $x \in [1, \infty)$;
• при $a = -1$, объединяя решения, получаем $x \in [-3, 1]$;
• при $a \in (-1, 1)$, решениями являются $x = 1$ и $x = \frac{7 + a}{a - 1}$;
• при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, решением является $x = 1$.

г) Решим уравнение $|x + 2| - a|x - 3| = 5$ методом интервалов. Критические точки: $x = -2$ и $x = 3$.

1. При $x < -2$, имеем $|x + 2| = -(x + 2)$ и $|x - 3| = -(x - 3)$. Уравнение принимает вид:
$-(x + 2) - a(-(x - 3)) = 5$
$-x - 2 + ax - 3a = 5$
$x(a - 1) = 7 + 3a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 10$, решений нет.
Если $a \neq 1$, получаем $x = \frac{7 + 3a}{a - 1}$. Корень принадлежит промежутку $x < -2$ при условии $\frac{7 + 3a}{a - 1} < -2 \Leftrightarrow \frac{5a + 5}{a - 1} < 0$, что выполняется для $a \in (-1, 1)$.

2. При $-2 \le x < 3$, имеем $|x + 2| = x + 2$ и $|x - 3| = -(x - 3)$. Уравнение принимает вид:
$(x + 2) - a(-(x - 3)) = 5$
$x + 2 + ax - 3a = 5$
$x(1 + a) = 3 + 3a$
Если $a = -1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \in [-2, 3)$.
Если $a \neq -1$, получаем $x = 3$, что не входит в данный промежуток.

3. При $x \ge 3$, имеем $|x + 2| = x + 2$ и $|x - 3| = x - 3$. Уравнение принимает вид:
$(x + 2) - a(x - 3) = 5$
$x + 2 - ax + 3a = 5$
$x(1 - a) = 3 - 3a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \ge 3$.
Если $a \neq 1$, получаем $x = 3$.

Ответ:

• при $a = 1$, $x \in [3, \infty)$;
• при $a = -1$, объединяя решения, получаем $x \in [-2, 3]$;
• при $a \in (-1, 1)$, решениями являются $x = 3$ и $x = \frac{7 + 3a}{a - 1}$;
• при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, решением является $x = 3$.