Номер 15.6, страница 360 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.6, страница 360.

Условие.

15.6 a) $\frac{a-5}{4ax+1} = 1;$

б) $\frac{a-4}{3ax+1} = 2;$

В) $\frac{a-3}{2ax+1} = 3;$

Г) $\frac{a-2}{ax+1} = 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим уравнение с параметром $a$: $\frac{a-5}{4ax+1} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $4ax+1 \neq 0$.
При условии $4ax+1 \neq 0$, умножим обе части уравнения на знаменатель:
$a-5 = 1 \cdot (4ax+1)$
$a-5 = 4ax+1$
Выразим член, содержащий $x$:
$4ax = a-5-1$
$4ax = a-6$
Теперь необходимо проанализировать это линейное уравнение относительно $x$.
1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $4a \neq 0 \implies a \neq 0$.
В этом случае решение существует и единственно:
$x = \frac{a-6}{4a}$
Проверим, удовлетворяет ли это решение ОДЗ. Подставим найденное значение $x$ в выражение $4ax+1$:
$4a(\frac{a-6}{4a}) + 1 = (a-6) + 1 = a-5$.
Условие $4ax+1 \neq 0$ равносильно условию $a-5 \neq 0$, то есть $a \neq 5$.
2. Если $a=0$.
Уравнение $4ax = a-6$ принимает вид $0 \cdot x = 0-6$, то есть $0 = -6$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет решений.
3. Если $a=5$.
В этом случае найденное выражение для $x$ приводит к обращению знаменателя в ноль, что недопустимо. Исходное уравнение принимает вид $\frac{5-5}{20x+1} = 1 \implies \frac{0}{20x+1}=1$, что при $20x+1 \neq 0$ равносильно $0=1$. Это неверно, значит, решений нет.
Соберем все случаи вместе.
Ответ: при $a \in \{0, 5\}$ решений нет; при $a \notin \{0, 5\}$ $x = \frac{a-6}{4a}$.

б) Решим уравнение с параметром $a$: $\frac{a-4}{3ax+1} = 2$.
ОДЗ: $3ax+1 \neq 0$.
При условии $3ax+1 \neq 0$, умножим обе части уравнения на знаменатель:
$a-4 = 2(3ax+1)$
$a-4 = 6ax+2$
$6ax = a-4-2$
$6ax = a-6$
Проанализируем полученное уравнение.
1. Если $6a \neq 0 \implies a \neq 0$.
Тогда $x = \frac{a-6}{6a}$.
Проверим ОДЗ: $3ax+1 = 3a(\frac{a-6}{6a}) + 1 = \frac{a-6}{2} + 1 = \frac{a-6+2}{2} = \frac{a-4}{2}$.
Условие $3ax+1 \neq 0$ равносильно $\frac{a-4}{2} \neq 0$, то есть $a \neq 4$.
2. Если $a=0$.
Уравнение $6ax = a-6$ принимает вид $0 \cdot x = -6$, что неверно. Решений нет.
3. Если $a=4$.
Знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Исходное уравнение: $\frac{4-4}{12x+1}=2 \implies \frac{0}{12x+1}=2$. При $12x+1 \neq 0$ получаем $0=2$, что неверно. Решений нет.
Ответ: при $a \in \{0, 4\}$ решений нет; при $a \notin \{0, 4\}$ $x = \frac{a-6}{6a}$.

в) Решим уравнение с параметром $a$: $\frac{a-3}{2ax+1} = 3$.
ОДЗ: $2ax+1 \neq 0$.
При условии $2ax+1 \neq 0$, умножим обе части уравнения на знаменатель:
$a-3 = 3(2ax+1)$
$a-3 = 6ax+3$
$6ax = a-3-3$
$6ax = a-6$
Проанализируем полученное уравнение.
1. Если $6a \neq 0 \implies a \neq 0$.
Тогда $x = \frac{a-6}{6a}$.
Проверим ОДЗ: $2ax+1 = 2a(\frac{a-6}{6a}) + 1 = \frac{a-6}{3} + 1 = \frac{a-6+3}{3} = \frac{a-3}{3}$.
Условие $2ax+1 \neq 0$ равносильно $\frac{a-3}{3} \neq 0$, то есть $a \neq 3$.
2. Если $a=0$.
Уравнение $6ax = a-6$ принимает вид $0 \cdot x = -6$, что неверно. Решений нет.
3. Если $a=3$.
Знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Исходное уравнение: $\frac{3-3}{6x+1}=3 \implies \frac{0}{6x+1}=3$. При $6x+1 \neq 0$ получаем $0=3$, что неверно. Решений нет.
Ответ: при $a \in \{0, 3\}$ решений нет; при $a \notin \{0, 3\}$ $x = \frac{a-6}{6a}$.

г) Решим уравнение с параметром $a$: $\frac{a-2}{ax+1} = 4$.
ОДЗ: $ax+1 \neq 0$.
При условии $ax+1 \neq 0$, умножим обе части уравнения на знаменатель:
$a-2 = 4(ax+1)$
$a-2 = 4ax+4$
$4ax = a-2-4$
$4ax = a-6$
Проанализируем полученное уравнение.
1. Если $4a \neq 0 \implies a \neq 0$.
Тогда $x = \frac{a-6}{4a}$.
Проверим ОДЗ: $ax+1 = a(\frac{a-6}{4a}) + 1 = \frac{a-6}{4} + 1 = \frac{a-6+4}{4} = \frac{a-2}{4}$.
Условие $ax+1 \neq 0$ равносильно $\frac{a-2}{4} \neq 0$, то есть $a \neq 2$.
2. Если $a=0$.
Уравнение $4ax = a-6$ принимает вид $0 \cdot x = -6$, что неверно. Решений нет.
3. Если $a=2$.
Знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Исходное уравнение: $\frac{2-2}{2x+1}=4 \implies \frac{0}{2x+1}=4$. При $2x+1 \neq 0$ получаем $0=4$, что неверно. Решений нет.
Ответ: при $a \in \{0, 2\}$ решений нет; при $a \notin \{0, 2\}$ $x = \frac{a-6}{4a}$.