Номер 15.11, страница 362 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.11, страница 362.

Условие.

15.11 а) $ax^2 < 4;$

в) $ax^2 \le -9;$

б) $ax^2 > -4;$

г) $ax^2 \ge 16.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Для решения неравенства $ax^2 < 4$ необходимо рассмотреть все возможные значения параметра $a$.
1. Пусть $a > 0$. Тогда можно разделить обе части неравенства на $a$, не меняя знака неравенства: $x^2 < \frac{4}{a}$. Поскольку правая часть положительна, решением будет интервал $x \in (-\sqrt{\frac{4}{a}}; \sqrt{\frac{4}{a}})$, что равносильно $x \in (-\frac{2}{\sqrt{a}}; \frac{2}{\sqrt{a}})$.
2. Пусть $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 < 4$, или $0 < 4$. Это верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, решением является любое действительное число, $x \in (-\infty; +\infty)$.
3. Пусть $a < 0$. В этом случае левая часть неравенства $ax^2$ всегда неположительна (то есть $ax^2 \leq 0$), так как $x^2 \geq 0$. Правая часть равна 4. Любое неположительное число меньше 4, поэтому неравенство выполняется для любого действительного значения $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.
Объединяя случаи $a=0$ и $a<0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\frac{2}{\sqrt{a}}; \frac{2}{\sqrt{a}})$; если $a \leq 0$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Для решения неравенства $ax^2 > -4$ необходимо рассмотреть все возможные значения параметра $a$.
1. Пусть $a > 0$. Левая часть неравенства $ax^2$ всегда неотрицательна (то есть $ax^2 \geq 0$). Правая часть равна -4. Любое неотрицательное число всегда больше -4, поэтому неравенство выполняется при любом $x$. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
2. Пусть $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 > -4$, или $0 > -4$. Это верное числовое неравенство, выполняющееся при любом $x$. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
3. Пусть $a < 0$. Разделим обе части на $a$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 < \frac{-4}{a}$. Так как $a < 0$, правая часть $\frac{-4}{a}$ положительна. Решением этого неравенства является интервал $x \in (-\sqrt{\frac{-4}{a}}; \sqrt{\frac{-4}{a}})$.
Объединяя случаи $a>0$ и $a=0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: если $a \geq 0$, то $x \in (-\infty; +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (-\sqrt{\frac{-4}{a}}; \sqrt{\frac{-4}{a}})$.

в) Для решения неравенства $ax^2 \leq -9$ необходимо рассмотреть все возможные значения параметра $a$.
1. Пусть $a > 0$. Левая часть $ax^2$ всегда неотрицательна ($ax^2 \geq 0$). Правая часть равна -9. Неравенство вида "неотрицательное число $\leq$ отрицательное число" не может быть верным. Решений нет.
2. Пусть $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 \leq -9$, или $0 \leq -9$. Это неверное числовое неравенство. Решений нет.
3. Пусть $a < 0$. Разделим обе части на $a$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 \geq \frac{-9}{a}$. Так как $a < 0$, правая часть $\frac{-9}{a}$ положительна. Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \leq -\sqrt{\frac{-9}{a}}$ или $x \geq \sqrt{\frac{-9}{a}}$.
Объединяя случаи $a>0$ и $a=0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: если $a < 0$, то $x \in (-\infty; -\sqrt{\frac{-9}{a}}] \cup [\sqrt{\frac{-9}{a}}; +\infty)$; если $a \geq 0$, то решений нет.

г) Для решения неравенства $ax^2 \geq 16$ необходимо рассмотреть все возможные значения параметра $a$.
1. Пусть $a > 0$. Разделим обе части на $a$: $x^2 \geq \frac{16}{a}$. Так как правая часть положительна, решением является объединение промежутков: $x \leq -\sqrt{\frac{16}{a}}$ или $x \geq \sqrt{\frac{16}{a}}$, что равносильно $x \leq -\frac{4}{\sqrt{a}}$ или $x \geq \frac{4}{\sqrt{a}}$.
2. Пусть $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 \geq 16$, или $0 \geq 16$. Это неверное числовое неравенство. Решений нет.
3. Пусть $a < 0$. Левая часть $ax^2$ всегда неположительна ($ax^2 \leq 0$). Правая часть равна 16. Неравенство вида "неположительное число $\geq$ положительное число" не может быть верным. Решений нет.
Объединяя случаи $a=0$ и $a<0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\infty; -\frac{4}{\sqrt{a}}] \cup [\frac{4}{\sqrt{a}}; +\infty)$; если $a \leq 0$, то решений нет.