Страница 362 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

ИССЛЕДУЕМ. Для каждого значения параметра $a$ решите неравенство (15.10–15.23):

15.10 a) $(a - 1)x > a^2 - 1$;

б) $(a + 2)x > a^2 - 4$;

в) $(a + 3)x \ge a^2 - 9$;

г) $(a - 4)x \le a^2 - 16$.

а)

Рассмотрим неравенство $(a - 1)x > a^2 - 1$.

Разложим правую часть на множители, используя формулу разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$. Неравенство принимает вид:

$(a - 1)x > (a - 1)(a + 1)$

Решение этого линейного неравенства относительно $x$ зависит от знака коэффициента $(a - 1)$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a - 1 > 0$, то есть $a > 1$.
В этом случае мы делим обе части неравенства на положительное число $(a - 1)$. Знак неравенства при этом не меняется.
$x > \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$
$x > a + 1$.

2. Если $a - 1 < 0$, то есть $a < 1$.
В этом случае мы делим обе части неравенства на отрицательное число $(a - 1)$. Знак неравенства при этом меняется на противоположный.
$x < \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1}$
$x < a + 1$.

3. Если $a - 1 = 0$, то есть $a = 1$.
Подставим это значение в исходное неравенство:
$(1 - 1)x > 1^2 - 1$
$0 \cdot x > 0$
$0 > 0$.
Это неверное числовое неравенство. Следовательно, при $a = 1$ неравенство не имеет решений.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (a + 1; +\infty)$; если $a < 1$, то $x \in (-\infty; a + 1)$; если $a = 1$, то решений нет.

б)

Рассмотрим неравенство $(a + 2)x > a^2 - 4$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 4 = (a - 2)(a + 2)$. Неравенство принимает вид:

$(a + 2)x > (a - 2)(a + 2)$

Решение зависит от знака коэффициента $(a + 2)$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a + 2 > 0$, то есть $a > -2$.
Делим обе части неравенства на положительное число $(a + 2)$, знак неравенства сохраняется.
$x > \frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2}$
$x > a - 2$.

2. Если $a + 2 < 0$, то есть $a < -2$.
Делим обе части неравенства на отрицательное число $(a + 2)$, знак неравенства меняется на противоположный.
$x < \frac{(a - 2)(a + 2)}{a + 2}$
$x < a - 2$.

3. Если $a + 2 = 0$, то есть $a = -2$.
Подставим это значение в исходное неравенство:
$(-2 + 2)x > (-2)^2 - 4$
$0 \cdot x > 0$
$0 > 0$.
Это неверное числовое неравенство, следовательно, при $a = -2$ решений нет.

Ответ: если $a > -2$, то $x \in (a - 2; +\infty)$; если $a < -2$, то $x \in (-\infty; a - 2)$; если $a = -2$, то решений нет.

в)

Рассмотрим неравенство $(a + 3)x \ge a^2 - 9$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 9 = (a - 3)(a + 3)$. Неравенство принимает вид:

$(a + 3)x \ge (a - 3)(a + 3)$

Решение зависит от знака коэффициента $(a + 3)$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a + 3 > 0$, то есть $a > -3$.
Делим обе части неравенства на положительное число $(a + 3)$, знак неравенства сохраняется.
$x \ge \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3}$
$x \ge a - 3$.

2. Если $a + 3 < 0$, то есть $a < -3$.
Делим обе части неравенства на отрицательное число $(a + 3)$, знак неравенства меняется на противоположный.
$x \le \frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3}$
$x \le a - 3$.

3. Если $a + 3 = 0$, то есть $a = -3$.
Подставим это значение в исходное неравенство:
$(-3 + 3)x \ge (-3)^2 - 9$
$0 \cdot x \ge 0$
$0 \ge 0$.
Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$. Следовательно, $x$ - любое действительное число.

Ответ: если $a > -3$, то $x \in [a - 3; +\infty)$; если $a < -3$, то $x \in (-\infty; a - 3]$; если $a = -3$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

г)

Рассмотрим неравенство $(a - 4)x \le a^2 - 16$.

Разложим правую часть на множители: $a^2 - 16 = (a - 4)(a + 4)$. Неравенство принимает вид:

$(a - 4)x \le (a - 4)(a + 4)$

Решение зависит от знака коэффициента $(a - 4)$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Если $a - 4 > 0$, то есть $a > 4$.
Делим обе части неравенства на положительное число $(a - 4)$, знак неравенства сохраняется.
$x \le \frac{(a - 4)(a + 4)}{a - 4}$
$x \le a + 4$.

2. Если $a - 4 < 0$, то есть $a < 4$.
Делим обе части неравенства на отрицательное число $(a - 4)$, знак неравенства меняется на противоположный.
$x \ge \frac{(a - 4)(a + 4)}{a - 4}$
$x \ge a + 4$.

3. Если $a - 4 = 0$, то есть $a = 4$.
Подставим это значение в исходное неравенство:
$(4 - 4)x \le 4^2 - 16$
$0 \cdot x \le 0$
$0 \le 0$.
Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$. Следовательно, $x$ - любое действительное число.

Ответ: если $a > 4$, то $x \in (-\infty; a + 4]$; если $a < 4$, то $x \in [a + 4; +\infty)$; если $a = 4$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

15.11 а) $ax^2 < 4;$

в) $ax^2 \le -9;$

б) $ax^2 > -4;$

г) $ax^2 \ge 16.$

а) Для решения неравенства $ax^2 < 4$ необходимо рассмотреть все возможные значения параметра $a$.
1. Пусть $a > 0$. Тогда можно разделить обе части неравенства на $a$, не меняя знака неравенства: $x^2 < \frac{4}{a}$. Поскольку правая часть положительна, решением будет интервал $x \in (-\sqrt{\frac{4}{a}}; \sqrt{\frac{4}{a}})$, что равносильно $x \in (-\frac{2}{\sqrt{a}}; \frac{2}{\sqrt{a}})$.
2. Пусть $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 < 4$, или $0 < 4$. Это верное числовое неравенство, которое не зависит от $x$. Следовательно, решением является любое действительное число, $x \in (-\infty; +\infty)$.
3. Пусть $a < 0$. В этом случае левая часть неравенства $ax^2$ всегда неположительна (то есть $ax^2 \leq 0$), так как $x^2 \geq 0$. Правая часть равна 4. Любое неположительное число меньше 4, поэтому неравенство выполняется для любого действительного значения $x$, то есть $x \in (-\infty; +\infty)$.
Объединяя случаи $a=0$ и $a<0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\frac{2}{\sqrt{a}}; \frac{2}{\sqrt{a}})$; если $a \leq 0$, то $x \in (-\infty; +\infty)$.

б) Для решения неравенства $ax^2 > -4$ необходимо рассмотреть все возможные значения параметра $a$.
1. Пусть $a > 0$. Левая часть неравенства $ax^2$ всегда неотрицательна (то есть $ax^2 \geq 0$). Правая часть равна -4. Любое неотрицательное число всегда больше -4, поэтому неравенство выполняется при любом $x$. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
2. Пусть $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 > -4$, или $0 > -4$. Это верное числовое неравенство, выполняющееся при любом $x$. Решение: $x \in (-\infty; +\infty)$.
3. Пусть $a < 0$. Разделим обе части на $a$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 < \frac{-4}{a}$. Так как $a < 0$, правая часть $\frac{-4}{a}$ положительна. Решением этого неравенства является интервал $x \in (-\sqrt{\frac{-4}{a}}; \sqrt{\frac{-4}{a}})$.
Объединяя случаи $a>0$ и $a=0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: если $a \geq 0$, то $x \in (-\infty; +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (-\sqrt{\frac{-4}{a}}; \sqrt{\frac{-4}{a}})$.

в) Для решения неравенства $ax^2 \leq -9$ необходимо рассмотреть все возможные значения параметра $a$.
1. Пусть $a > 0$. Левая часть $ax^2$ всегда неотрицательна ($ax^2 \geq 0$). Правая часть равна -9. Неравенство вида "неотрицательное число $\leq$ отрицательное число" не может быть верным. Решений нет.
2. Пусть $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 \leq -9$, или $0 \leq -9$. Это неверное числовое неравенство. Решений нет.
3. Пусть $a < 0$. Разделим обе части на $a$, изменив знак неравенства на противоположный: $x^2 \geq \frac{-9}{a}$. Так как $a < 0$, правая часть $\frac{-9}{a}$ положительна. Решением этого неравенства является объединение промежутков: $x \leq -\sqrt{\frac{-9}{a}}$ или $x \geq \sqrt{\frac{-9}{a}}$.
Объединяя случаи $a>0$ и $a=0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: если $a < 0$, то $x \in (-\infty; -\sqrt{\frac{-9}{a}}] \cup [\sqrt{\frac{-9}{a}}; +\infty)$; если $a \geq 0$, то решений нет.

г) Для решения неравенства $ax^2 \geq 16$ необходимо рассмотреть все возможные значения параметра $a$.
1. Пусть $a > 0$. Разделим обе части на $a$: $x^2 \geq \frac{16}{a}$. Так как правая часть положительна, решением является объединение промежутков: $x \leq -\sqrt{\frac{16}{a}}$ или $x \geq \sqrt{\frac{16}{a}}$, что равносильно $x \leq -\frac{4}{\sqrt{a}}$ или $x \geq \frac{4}{\sqrt{a}}$.
2. Пусть $a = 0$. Неравенство принимает вид $0 \cdot x^2 \geq 16$, или $0 \geq 16$. Это неверное числовое неравенство. Решений нет.
3. Пусть $a < 0$. Левая часть $ax^2$ всегда неположительна ($ax^2 \leq 0$). Правая часть равна 16. Неравенство вида "неположительное число $\geq$ положительное число" не может быть верным. Решений нет.
Объединяя случаи $a=0$ и $a<0$, получаем окончательный ответ.
Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\infty; -\frac{4}{\sqrt{a}}] \cup [\frac{4}{\sqrt{a}}; +\infty)$; если $a \leq 0$, то решений нет.

15.12 а) $a(x^2 - x) > 0;$

В) $a(x^2 + x) \ge 0;$

Б) $a(x^2 - x) \le 0;$

Г) $a(x^2 + x) < 0.$

а) Решим неравенство $a(x^2 - x) > 0$.

Решение этого неравенства зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три возможных случая.

1. Случай $a > 0$.
Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $a$, при этом знак неравенства сохранится:
$x^2 - x > 0$
$x(x - 1) > 0$
Корнями квадратного трехчлена $x^2 - x$ являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Графиком функции $y = x^2 - x$ является парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции положительны на интервалах, где график находится выше оси абсцисс, то есть вне корней.
Следовательно, $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$.

2. Случай $a < 0$.
При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $a$ знак неравенства меняется на противоположный:
$x^2 - x < 0$
$x(x - 1) < 0$
Корни те же: $x_1 = 0$ и $x_2 = 1$. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.
Следовательно, $x \in (0, 1)$.

3. Случай $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot (x^2 - x) > 0$, что упрощается до $0 > 0$. Это неверное числовое неравенство, поэтому при $a=0$ решений нет ($x \in \emptyset$).

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\infty, 0) \cup (1, +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in (0, 1)$; если $a = 0$, то решений нет.

б) Решим неравенство $a(x^2 - x) \le 0$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака параметра $a$.

1. Случай $a > 0$.
Разделим обе части на $a > 0$, знак неравенства не изменится:
$x^2 - x \le 0$
$x(x - 1) \le 0$
Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Решением является отрезок между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $x \in [0, 1]$.

2. Случай $a < 0$.
Разделим обе части на $a < 0$, знак неравенства изменится на противоположный:
$x^2 - x \ge 0$
$x(x - 1) \ge 0$
Корни $x_1 = 0$, $x_2 = 1$. Решением является объединение лучей вне отрезка между корнями, включая сами корни.
Следовательно, $x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$.

3. Случай $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \cdot (x^2 - x) \le 0$, что упрощается до $0 \le 0$. Это верное числовое неравенство, которое выполняется при любом значении $x$.
Следовательно, $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in [0, 1]$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty, 0] \cup [1, +\infty)$; если $a = 0$, то $x$ - любое действительное число.

в) Решим неравенство $a(x^2 + x) \ge 0$.

Решение зависит от знака параметра $a$. Рассмотрим три случая.

1. Случай $a > 0$.
Делим на $a > 0$, знак неравенства сохраняется:
$x^2 + x \ge 0$
$x(x + 1) \ge 0$
Корнями выражения являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. График $y=x^2+x$ — парабола с ветвями вверх. Неравенство выполняется вне корней, включая сами корни.
Следовательно, $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$.

2. Случай $a < 0$.
Делим на $a < 0$, знак неравенства меняется:
$x^2 + x \le 0$
$x(x + 1) \le 0$
Корни те же: $x_1 = -1$ и $x_2 = 0$. Неравенство выполняется между корнями, включая их.
Следовательно, $x \in [-1, 0]$.

3. Случай $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 \ge 0$. Это верное неравенство для любого $x$.
Следовательно, $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-\infty, -1] \cup [0, +\infty)$; если $a < 0$, то $x \in [-1, 0]$; если $a = 0$, то $x$ - любое действительное число.

г) Решим неравенство $a(x^2 + x) < 0$.

Рассмотрим три случая для параметра $a$.

1. Случай $a > 0$.
Делим на $a > 0$, знак неравенства не меняется:
$x^2 + x < 0$
$x(x + 1) < 0$
Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 0$. Решением является интервал между корнями.
Следовательно, $x \in (-1, 0)$.

2. Случай $a < 0$.
Делим на $a < 0$, знак неравенства меняется:
$x^2 + x > 0$
$x(x + 1) > 0$
Корни $x_1 = -1$, $x_2 = 0$. Решением является объединение интервалов вне корней.
Следовательно, $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$.

3. Случай $a = 0$.
Неравенство принимает вид $0 < 0$. Это неверное неравенство, решений нет.
Следовательно, $x \in \emptyset$.

Ответ: если $a > 0$, то $x \in (-1, 0)$; если $a < 0$, то $x \in (-\infty, -1) \cup (0, +\infty)$; если $a = 0$, то решений нет.

15.13 a) $ax^2 - x < 0$;

Б) $ax^2 - x > 0$;

В) $ax^2 + x \geq 0$;

Г) $ax^2 + x \leq 0$.

а) $ax^2 - x < 0$

Данное неравенство является неравенством с параметром $a$. Решим его, рассмотрев все возможные значения $a$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(ax - 1) < 0$.

1. Случай $a = 0$.

Неравенство принимает вид $x(0 \cdot x - 1) < 0$, что упрощается до $-x < 0$. Умножив обе части на -1 и изменив знак неравенства, получаем $x > 0$.

2. Случай $a > 0$.

Это квадратичное неравенство. Графиком функции $y = ax^2 - x$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как $a > 0$. Найдем корни уравнения $x(ax - 1) = 0$. Корнями являются $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{a}$. Поскольку $a > 0$, то $\frac{1}{a} > 0$, следовательно $x_1 < x_2$. Значения квадратичного трехчлена отрицательны на интервале между корнями. Таким образом, решение неравенства: $0 < x < \frac{1}{a}$.

3. Случай $a < 0$.

Графиком функции $y = ax^2 - x$ является парабола, ветви которой направлены вниз, так как $a < 0$. Корни уравнения те же: $x_1 = 0$ и $x_2 = \frac{1}{a}$. Поскольку $a < 0$, то $\frac{1}{a} < 0$, следовательно $x_2 < x_1$. Значения квадратичного трехчлена отрицательны вне интервала между корнями. Таким образом, решение неравенства: $x < \frac{1}{a}$ или $x > 0$.

Ответ: если $a < 0$, то $x \in (-\infty; \frac{1}{a}) \cup (0; +\infty)$; если $a = 0$, то $x \in (0; +\infty)$; если $a > 0$, то $x \in (0; \frac{1}{a})$.

б) $ax^2 - x > 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(ax - 1) > 0$.

1. Случай $a = 0$.

Неравенство принимает вид $-x > 0$, откуда $x < 0$.

2. Случай $a > 0$.

Парабола $y = ax^2 - x$ ветвями вверх, корни $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{a}$ ($0 < \frac{1}{a}$). Значения трехчлена положительны вне интервала между корнями. Решение: $x < 0$ или $x > \frac{1}{a}$.

3. Случай $a < 0$.

Парабола $y = ax^2 - x$ ветвями вниз, корни $x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{a}$ ($\frac{1}{a} < 0$). Значения трехчлена положительны на интервале между корнями. Решение: $\frac{1}{a} < x < 0$.

Ответ: если $a < 0$, то $x \in (\frac{1}{a}; 0)$; если $a = 0$, то $x \in (-\infty; 0)$; если $a > 0$, то $x \in (-\infty; 0) \cup (\frac{1}{a}; +\infty)$.

В) $ax^2 + x \geq 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(ax + 1) \geq 0$.

1. Случай $a = 0$.

Неравенство принимает вид $x(0 \cdot x + 1) \geq 0$, что упрощается до $x \geq 0$.

2. Случай $a > 0$.

Парабола $y = ax^2 + x$ ветвями вверх. Корни уравнения $x(ax + 1) = 0$ равны $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{a}$. Так как $a > 0$, то $-\frac{1}{a} < 0$, то есть $x_2 < x_1$. Неотрицательные значения трехчлен принимает на корнях и вне интервала между ними. Решение: $x \leq -\frac{1}{a}$ или $x \geq 0$.

3. Случай $a < 0$.

Парабола $y = ax^2 + x$ ветвями вниз. Корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -\frac{1}{a}$. Так как $a < 0$, то $-\frac{1}{a} > 0$, то есть $x_1 < x_2$. Неотрицательные значения трехчлен принимает на корнях и между ними. Решение: $0 \leq x \leq -\frac{1}{a}$.

Ответ: если $a < 0$, то $x \in [0; -\frac{1}{a}]$; если $a = 0$, то $x \in [0; +\infty)$; если $a > 0$, то $x \in (-\infty; -\frac{1}{a}] \cup [0; +\infty)$.

г) $ax^2 + x \leq 0$

Вынесем $x$ за скобки: $x(ax + 1) \leq 0$.

1. Случай $a = 0$.

Неравенство принимает вид $x \leq 0$.

2. Случай $a > 0$.

Парабола $y = ax^2 + x$ ветвями вверх, корни $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{1}{a}$ ($-\frac{1}{a} < 0$). Неположительные значения трехчлен принимает на корнях и между ними. Решение: $-\frac{1}{a} \leq x \leq 0$.

3. Случай $a < 0$.

Парабола $y = ax^2 + x$ ветвями вниз, корни $x_1 = 0$, $x_2 = -\frac{1}{a}$ ($-\frac{1}{a} > 0$). Неположительные значения трехчлен принимает на корнях и вне интервала между ними. Решение: $x \leq 0$ или $x \geq -\frac{1}{a}$.

Ответ: если $a < 0$, то $x \in (-\infty; 0] \cup [-\frac{1}{a}; +\infty)$; если $a = 0$, то $x \in (-\infty; 0]$; если $a > 0$, то $x \in [-\frac{1}{a}; 0]$.

15.14 a) $x^2 + ax + 4 \ge 0$;

Б) $x^2 + ax + 9 < 0$;

В) $x^2 - ax + 4 > 0$;

Г) $x^2 - ax + 9 \le 0$.

В данной задаче требуется найти все значения параметра $a$, при которых указанные неравенства выполняются для всех действительных значений $x$.

Общий подход к решению таких задач заключается в анализе квадратичной функции $f(x) = Ax^2 + Bx + C$. Во всех четырех случаях коэффициент при $x^2$ равен $1$, то есть $A=1 > 0$. Это означает, что графиком функции является парабола, ветви которой направлены вверх.

а) $x^2 + ax + 4 \geq 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = x^2 + ax + 4$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, неравенство $y \geq 0$ будет выполняться для всех $x$ в том случае, если парабола не пересекает ось Ox или касается ее в одной точке. Это соответствует случаю, когда квадратное уравнение $x^2 + ax + 4 = 0$ имеет не более одного действительного корня.

Условием этого является неположительность дискриминанта ($D \leq 0$). Вычислим дискриминант для этого уравнения: $D = b^2 - 4ac = a^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.

Теперь решим неравенство $D \leq 0$: $a^2 - 16 \leq 0$ $a^2 \leq 16$ $|a| \leq 4$ Это неравенство равносильно $-4 \leq a \leq 4$.

Ответ: $a \in [-4, 4]$.

б) $x^2 + ax + 9 < 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 + ax + 9$. Это парабола с ветвями, направленными вверх. Такая парабола имеет наименьшее значение в своей вершине и уходит в $+\infty$ при $x \to \pm\infty$. Следовательно, значения функции не могут быть отрицательными для всех $x$. Какой бы ни была вершина параболы, ее ветви всегда будут находиться в верхней полуплоскости, принимая положительные значения.

Для того чтобы квадратичная функция была отрицательна при всех $x$, необходимо, чтобы ее старший коэффициент был отрицательным (ветви параболы направлены вниз) и дискриминант был отрицательным (парабола не пересекает ось Ox). В данном случае старший коэффициент равен $1 > 0$, поэтому условие невыполнимо.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

в) $x^2 - ax + 4 > 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - ax + 4$. Это парабола с ветвями вверх. Неравенство $y > 0$ будет выполняться для всех $x$, если парабола полностью расположена выше оси Ox и не касается ее. Это означает, что квадратное уравнение $x^2 - ax + 4 = 0$ не должно иметь действительных корней.

Условием отсутствия действительных корней является строгая отрицательность дискриминанта ($D < 0$). Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = a^2 - 16$.

Решим неравенство $D < 0$: $a^2 - 16 < 0$ $a^2 < 16$ $|a| < 4$ Это неравенство равносильно $-4 < a < 4$.

Ответ: $a \in (-4, 4)$.

г) $x^2 - ax + 9 \leq 0$

Рассмотрим функцию $y = x^2 - ax + 9$. Как и в пункте б), это парабола с ветвями, направленными вверх. Требуется, чтобы функция была неположительной (меньше или равна нулю) для всех $x$.

Парабола с ветвями вверх не может быть неположительной для всех $x$. Ее значения всегда будут положительными при достаточно больших по модулю $x$. Даже в предельном случае, когда дискриминант равен нулю ($D=0$), парабола касается оси Ox в одной точке (где $y=0$), а во всех остальных точках ее значения положительны ($y > 0$). Таким образом, неравенство $y \leq 0$ для всех $x$ никогда не выполняется.

Ответ: таких значений $a$ не существует.

15.15 a) $x^2 + (a+1)x + a \ge 0;$

В) $x^2 + (a-3)x - 3a > 0;$

б) $x^2 + (a+2)x + 2a \le 0;$

Г) $x^2 + (a-4)x - 4a < 0.$

а)

Решим неравенство $x^2 + (a + 1)x + a \ge 0$.

Сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + (a + 1)x + a = 0$. Левую часть можно разложить на множители:

$x^2 + ax + x + a = x(x+a) + 1(x+a) = (x+1)(x+a)$.

Таким образом, уравнение принимает вид $(x+1)(x+a) = 0$, и его корни: $x_1 = -1$ и $x_2 = -a$.

Исходное неравенство эквивалентно $(x+1)(x+a) \ge 0$. Графиком функции $y = (x+1)(x+a)$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Следовательно, выражение неотрицательно, когда $x$ находится вне интервала между корнями (включая сами корни).

Решение зависит от взаимного расположения корней $x_1=-1$ и $x_2=-a$. Рассмотрим три случая:

1. Если $-a < -1$, что эквивалентно $a > 1$. Корни в порядке возрастания: $-a$, $-1$. Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -a] \cup [-1, +\infty)$.
2. Если $-a > -1$, что эквивалентно $a < 1$. Корни в порядке возрастания: $-1$, $-a$. Решением является объединение промежутков: $x \in (-\infty, -1] \cup [-a, +\infty)$.
3. Если $-a = -1$, что эквивалентно $a = 1$. Неравенство принимает вид $(x+1)^2 \ge 0$. Это неравенство верно для любого действительного числа $x$. Решение: $x \in \mathbb{R}$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in (-\infty, -a] \cup [-1, +\infty)$; если $a < 1$, то $x \in (-\infty, -1] \cup [-a, +\infty)$; если $a = 1$, то $x \in \mathbb{R}$.

б)

Решим неравенство $x^2 + (a + 2)x + 2a \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + (a + 2)x + 2a = 0$. Разложим на множители:

$x^2 + ax + 2x + 2a = x(x+a) + 2(x+a) = (x+2)(x+a)$.

Корни уравнения: $x_1 = -2$ и $x_2 = -a$.

Неравенство принимает вид $(x+2)(x+a) \le 0$. Ветви параболы $y = (x+2)(x+a)$ направлены вверх, поэтому выражение неположительно, когда $x$ находится между корнями (включая сами корни).

Рассмотрим три случая в зависимости от расположения корней:

1. Если $-a < -2$, то есть $a > 2$. Решением является отрезок: $x \in [-a, -2]$.
2. Если $-a > -2$, то есть $a < 2$. Решением является отрезок: $x \in [-2, -a]$.
3. Если $-a = -2$, то есть $a = 2$. Неравенство принимает вид $(x+2)^2 \le 0$. Единственное решение этого неравенства — $x+2=0$, то есть $x = -2$.

Ответ: если $a > 2$, то $x \in [-a, -2]$; если $a < 2$, то $x \in [-2, -a]$; если $a = 2$, то $x = -2$.

в)

Решим неравенство $x^2 + (a - 3)x - 3a > 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + (a - 3)x - 3a = 0$. Разложим на множители:

$x^2 + ax - 3x - 3a = x(x+a) - 3(x+a) = (x-3)(x+a)$.

Корни уравнения: $x_1 = 3$ и $x_2 = -a$.

Неравенство принимает вид $(x-3)(x+a) > 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение строго положительно, когда $x$ находится вне интервала между корнями.

Рассмотрим три случая:

1. Если $-a < 3$, то есть $a > -3$. Корни в порядке возрастания: $-a$, $3$. Решение: $x \in (-\infty, -a) \cup (3, +\infty)$.
2. Если $-a > 3$, то есть $a < -3$. Корни в порядке возрастания: $3$, $-a$. Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (-a, +\infty)$.
3. Если $-a = 3$, то есть $a = -3$. Неравенство принимает вид $(x-3)^2 > 0$. Это неравенство верно для всех $x$, кроме $x = 3$. Решение: $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

Ответ: если $a > -3$, то $x \in (-\infty, -a) \cup (3, +\infty)$; если $a < -3$, то $x \in (-\infty, 3) \cup (-a, +\infty)$; если $a = -3$, то $x \in (-\infty, 3) \cup (3, +\infty)$.

г)

Решим неравенство $x^2 + (a - 4)x - 4a < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + (a - 4)x - 4a = 0$. Разложим на множители:

$x^2 + ax - 4x - 4a = x(x+a) - 4(x+a) = (x-4)(x+a)$.

Корни уравнения: $x_1 = 4$ и $x_2 = -a$.

Неравенство принимает вид $(x-4)(x+a) < 0$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому выражение отрицательно, когда $x$ находится строго между корнями.

Рассмотрим три случая:

1. Если $-a < 4$, то есть $a > -4$. Решением является интервал: $x \in (-a, 4)$.
2. Если $-a > 4$, то есть $a < -4$. Решением является интервал: $x \in (4, -a)$.
3. Если $-a = 4$, то есть $a = -4$. Неравенство принимает вид $(x-4)^2 < 0$. Это неравенство не имеет действительных решений, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным.

Ответ: если $a > -4$, то $x \in (-a, 4)$; если $a < -4$, то $x \in (4, -a)$; если $a = -4$, то решений нет ($\emptyset$).

15.16 а) $\frac{x-1}{x-a} > 0$;

б) $\frac{x-a}{x+2} > 0$;

В) $\frac{x+3}{x+a} \ge 0$;

Г) $\frac{x+a}{x-4} \le 0$.

а) Решим неравенство $\frac{x-1}{x-a} > 0$.

Данное дробно-рациональное неравенство решается методом интервалов. Нули числителя и знаменателя: $x=1$ и $x=a$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы. Знак дроби на каждом интервале постоянен. Так как неравенство строгое, точки $x=1$ и $x=a$ не входят в решение. В частности, $x \neq a$ из области определения.

Решение зависит от взаимного расположения точек $1$ и $a$. Рассмотрим три случая:

1. Случай $a < 1$.
Точки на числовой оси располагаются в порядке $a$, $1$. Неравенство равносильно $(x-1)(x-a) > 0$. График функции $y=(x-1)(x-a)$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции положительны вне интервала между корнями.
Таким образом, решение: $x \in (-\infty, a) \cup (1, +\infty)$.

2. Случай $a = 1$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-1}{x-1} > 0$. Область допустимых значений (ОДЗ): $x \neq 1$. При $x \neq 1$ дробь равна 1, и неравенство $1 > 0$ является верным для всех $x$ из ОДЗ.
Таким образом, решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$.

3. Случай $a > 1$.
Точки на числовой оси располагаются в порядке $1$, $a$. Аналогично первому случаю, решение находится вне интервала между корнями.
Таким образом, решение: $x \in (-\infty, 1) \cup (a, +\infty)$.

Ответ: если $a < 1$, то $x \in (-\infty, a) \cup (1, +\infty)$; если $a = 1$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (1, +\infty)$; если $a > 1$, то $x \in (-\infty, 1) \cup (a, +\infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{x-a}{x+2} > 0$.

Нули числителя и знаменателя: $x=a$ и $x=-2$. Неравенство строгое, поэтому $x \neq a$ и $x \neq -2$. Рассмотрим три случая в зависимости от значения параметра $a$.

1. Случай $a < -2$.
Точки на числовой оси: $a$, $-2$. Неравенство $(x-a)(x+2) > 0$ выполняется при $x < a$ или $x > -2$.
Решение: $x \in (-\infty, a) \cup (-2, +\infty)$.

2. Случай $a = -2$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-(-2)}{x+2} > 0$, то есть $\frac{x+2}{x+2} > 0$. ОДЗ: $x \neq -2$. При $x \neq -2$ выражение равно 1, и неравенство $1 > 0$ верно.
Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$.

3. Случай $a > -2$.
Точки на числовой оси: $-2$, $a$. Неравенство $(x-a)(x+2) > 0$ выполняется при $x < -2$ или $x > a$.
Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (a, +\infty)$.

Ответ: если $a < -2$, то $x \in (-\infty, a) \cup (-2, +\infty)$; если $a = -2$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, +\infty)$; если $a > -2$, то $x \in (-\infty, -2) \cup (a, +\infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{x+3}{x+a} \ge 0$.

Это нестрогое неравенство. Нуль числителя $x=-3$ может быть решением, если он не совпадает с нулем знаменателя. Нуль знаменателя $x=-a$ не является решением. ОДЗ: $x \neq -a$.
Рассмотрим три случая, сравнивая $-3$ и $-a$.

1. Случай $-a < -3$, то есть $a > 3$.
Точки на числовой оси: $-a$, $-3$. Неравенство $(x+3)(x+a) \ge 0$ выполняется вне интервала между корнями. Учитывая, что $x=-3$ является решением, а $x=-a$ нет, получаем:
Решение: $x \in (-\infty, -a) \cup [-3, +\infty)$.

2. Случай $-a = -3$, то есть $a = 3$.
Неравенство принимает вид $\frac{x+3}{x+3} \ge 0$. ОДЗ: $x \neq -3$. При $x \neq -3$ выражение равно 1, и неравенство $1 \ge 0$ верно.
Решение: $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$.

3. Случай $-a > -3$, то есть $a < 3$.
Точки на числовой оси: $-3$, $-a$. Решение находится вне интервала между корнями. Учитывая, что $x=-3$ является решением, а $x=-a$ нет, получаем:
Решение: $x \in (-\infty, -3] \cup (-a, +\infty)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in (-\infty, -3] \cup (-a, +\infty)$; если $a = 3$, то $x \in (-\infty, -3) \cup (-3, +\infty)$; если $a > 3$, то $x \in (-\infty, -a) \cup [-3, +\infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x+a}{x-4} \le 0$.

Нестрогое неравенство. Нуль числителя $x=-a$ входит в решение (если не совпадает с нулем знаменателя), нуль знаменателя $x=4$ не входит. ОДЗ: $x \neq 4$. Неравенство равносильно $(x+a)(x-4) \le 0$ при $x \neq 4$. Решением является интервал между корнями (включая концы, если возможно).
Рассмотрим три случая, сравнивая $-a$ и $4$.

1. Случай $-a < 4$, то есть $a > -4$.
Точки на числовой оси: $-a$, $4$. Решение находится между корнями. $x=-a$ включаем, $x=4$ исключаем.
Решение: $x \in [-a, 4)$.

2. Случай $-a = 4$, то есть $a = -4$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-4}{x-4} \le 0$. ОДЗ: $x \neq 4$. При $x \neq 4$ выражение равно 1. Неравенство $1 \le 0$ является ложным.
Решение: решений нет, $x \in \emptyset$.

3. Случай $-a > 4$, то есть $a < -4$.
Точки на числовой оси: $4$, $-a$. Решение находится между корнями. $x=4$ исключаем, $x=-a$ включаем.
Решение: $x \in (4, -a]$.

Ответ: если $a < -4$, то $x \in (4, -a]$; если $a = -4$, то решений нет; если $a > -4$, то $x \in [-a, 4)$.

15.17 а) $\frac{x^2 - a^2}{x - 1} > 0;$

б) $\frac{x^2 - a^2}{x + 2} < 0;$

в) $\frac{x - 3}{x^2 - a^2} \ge 0;$

г) $\frac{x + 4}{x^2 - a^2} \le 0.$

а)

Дано неравенство $\frac{x^2 - a^2}{x - 1} > 0$.

Разложим числитель на множители по формуле разности квадратов: $\frac{(x - a)(x + a)}{x - 1} > 0$.

Для решения этого неравенства методом интервалов найдем критические точки, то есть нули числителя и знаменателя. Нули числителя: $x = a$ и $x = -a$. Нуль знаменателя: $x = 1$.

Решение зависит от взаимного расположения этих трех точек на числовой оси, которое, в свою очередь, зависит от значения параметра $a$. Поскольку $x^2 - a^2 = x^2 - (-a)^2$, вид неравенства зависит от $|a|$. Рассмотрим следующие случаи, сравнивая $|a|$ с 1.

1. Если $a = 0$.
Неравенство принимает вид $\frac{x^2}{x - 1} > 0$. Поскольку $x^2 \ge 0$ для всех $x$, и обращается в ноль при $x=0$, данное неравенство равносильно системе: $\begin{cases} x-1 > 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$, что дает $x > 1$. Решение: $x \in (1, \infty)$.

2. Если $|a| = 1$, то есть $a=1$ или $a=-1$.
Неравенство принимает вид $\frac{x^2 - 1}{x - 1} > 0$. Разложим числитель: $\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} > 0$. Сокращая на $(x-1)$ при условии $x \neq 1$, получаем $x + 1 > 0$, откуда $x > -1$. Учитывая условие $x \neq 1$, получаем решение: $x \in (-1, 1) \cup (1, \infty)$.

3. Если $0 < |a| < 1$.
Критические точки на оси располагаются в порядке: $-1 < -|a| < |a| < 1$. Точки, которые нужно расставить на оси: $-|a|, |a|, 1$. Методом интервалов для выражения $f(x) = \frac{(x-|a|)(x+|a|)}{x-1}$ получаем знаки на интервалах $(-\infty; -|a|), (-|a|; |a|), (|a|; 1), (1; \infty)$: $ -, +, -, + $. Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля: $(-|a|, |a|)$ и $(1, \infty)$. Решение: $x \in (-|a|, |a|) \cup (1, \infty)$.

4. Если $|a| > 1$.
Критические точки на оси располагаются в порядке: $-|a| < -1 < 1 < |a|$. Точки, которые нужно расставить на оси: $-|a|, 1, |a|$. Знаки выражения $f(x)$ на интервалах $(-\infty; -|a|), (-|a|; 1), (1; |a|), (|a|; \infty)$: $ -, +, -, + $. Нас интересуют интервалы, где выражение больше нуля: $(-|a|, 1)$ и $(|a|, \infty)$. Решение: $x \in (-|a|, 1) \cup (|a|, \infty)$.

Ответ:
При $a = 0$: $x \in (1, \infty)$.
При $|a| = 1$: $x \in (-1, 1) \cup (1, \infty)$.
При $0 < |a| < 1$: $x \in (-|a|, |a|) \cup (1, \infty)$.
При $|a| > 1$: $x \in (-|a|, 1) \cup (|a|, \infty)$.

б)

Дано неравенство $\frac{x^2 - a^2}{x + 2} < 0$.

Разложим числитель на множители: $\frac{(x - a)(x + a)}{x + 2} < 0$.

Критические точки: $x = a$, $x = -a$ (нули числителя) и $x = -2$ (нуль знаменателя). Решение зависит от взаимного расположения этих точек. Рассмотрим случаи, сравнивая $|a|$ с 2.

1. Если $a = 0$.
Неравенство принимает вид $\frac{x^2}{x + 2} < 0$. Так как $x^2 \ge 0$, это неравенство равносильно системе: $\begin{cases} x+2 < 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$, что дает $x < -2$. Решение: $x \in (-\infty, -2)$.

2. Если $|a| = 2$, то есть $a=2$ или $a=-2$.
Неравенство принимает вид $\frac{x^2 - 4}{x + 2} < 0$. Разложим числитель: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} < 0$. При $x \neq -2$ сокращаем дробь и получаем $x - 2 < 0$, откуда $x < 2$. Учитывая условие $x \neq -2$, получаем решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2)$.

3. Если $0 < |a| < 2$.
Критические точки на оси располагаются в порядке: $-2, -|a|, |a|$. Методом интервалов для выражения $f(x) = \frac{(x-|a|)(x+|a|)}{x+2}$ получаем знаки на интервалах $(-\infty; -2), (-2; -|a|), (-|a|; |a|), (|a|; \infty)$: $ -, +, -, + $. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля: $(-\infty, -2)$ и $(-|a|, |a|)$. Решение: $x \in (-\infty, -2) \cup (-|a|, |a|)$.

4. Если $|a| > 2$.
Критические точки на оси располагаются в порядке: $-|a|, -2, |a|$. Знаки выражения $f(x)$ на интервалах $(-\infty; -|a|), (-|a|; -2), (-2; |a|), (|a|; \infty)$: $ -, +, -, + $. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля: $(-\infty, -|a|)$ и $(-2, |a|)$. Решение: $x \in (-\infty, -|a|) \cup (-2, |a|)$.

Ответ:
При $a = 0$: $x \in (-\infty, -2)$.
При $|a| = 2$: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 2)$.
При $0 < |a| < 2$: $x \in (-\infty, -2) \cup (-|a|, |a|)$.
При $|a| > 2$: $x \in (-\infty, -|a|) \cup (-2, |a|)$.

в)

Дано неравенство $\frac{x-3}{x^2 - a^2} \ge 0$.

Разложим знаменатель на множители: $\frac{x-3}{(x - a)(x + a)} \ge 0$.

Критические точки: $x = 3$ (нуль числителя), $x = a$ и $x = -a$ (нули знаменателя). Точка $x=3$ входит в решение, если знаменатель не равен нулю при $x=3$, то есть $9 - a^2 \neq 0 \implies a \neq \pm 3$. Точки $x=a$ и $x=-a$ всегда исключаются из решения. Рассмотрим случаи, сравнивая $|a|$ с 3.

1. Если $a = 0$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-3}{x^2} \ge 0$. Так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, неравенство равносильно системе: $\begin{cases} x-3 \ge 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$, что дает $x \ge 3$. Решение: $x \in [3, \infty)$.

2. Если $|a| = 3$, то есть $a=3$ или $a=-3$.
Неравенство принимает вид $\frac{x-3}{x^2 - 9} \ge 0$. Разложим знаменатель: $\frac{x-3}{(x - 3)(x + 3)} \ge 0$. При $x \neq 3$ сокращаем дробь и получаем $\frac{1}{x+3} \ge 0$, что равносильно $x+3 > 0$. Отсюда $x > -3$. Учитывая условие $x \neq 3$, получаем решение: $x \in (-3, 3) \cup (3, \infty)$.

3. Если $0 < |a| < 3$.
Критические точки на оси располагаются в порядке: $-|a|, |a|, 3$. Методом интервалов для выражения $f(x) = \frac{x-3}{(x-|a|)(x+|a|)}$ получаем знаки на интервалах $(-\infty; -|a|), (-|a|; |a|), (|a|; 3), (3; \infty)$: $ -, +, -, + $. Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Точка $x=3$ включается в ответ. Решение: $x \in (-|a|, |a|) \cup [3, \infty)$.

4. Если $|a| > 3$.
Критические точки на оси располагаются в порядке: $-|a|, 3, |a|$. Знаки выражения $f(x)$ на интервалах $(-\infty; -|a|), (-|a|; 3), (3; |a|), (|a|; \infty)$: $ -, +, -, + $. Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Точка $x=3$ включается в ответ. Решение: $x \in (-|a|, 3] \cup (|a|, \infty)$.

Ответ:
При $a = 0$: $x \in [3, \infty)$.
При $|a| = 3$: $x \in (-3, 3) \cup (3, \infty)$.
При $0 < |a| < 3$: $x \in (-|a|, |a|) \cup [3, \infty)$.
При $|a| > 3$: $x \in (-|a|, 3] \cup (|a|, \infty)$.

г)

Дано неравенство $\frac{x+4}{x^2-a^2} \le 0$.

Разложим знаменатель на множители: $\frac{x+4}{(x-a)(x+a)} \le 0$.

Критические точки: $x = -4$ (нуль числителя), $x = a$ и $x = -a$ (нули знаменателя). Точка $x=-4$ входит в решение, если знаменатель не равен нулю при $x=-4$, то есть $16 - a^2 \neq 0 \implies a \neq \pm 4$. Точки $x=a$ и $x=-a$ всегда исключаются. Рассмотрим случаи, сравнивая $|a|$ с 4.

1. Если $a = 0$.
Неравенство принимает вид $\frac{x+4}{x^2} \le 0$. Так как $x^2 > 0$ при $x \neq 0$, неравенство равносильно системе: $\begin{cases} x+4 \le 0 \\ x \neq 0 \end{cases}$, что дает $x \le -4$. Решение: $x \in (-\infty, -4]$.

2. Если $|a| = 4$, то есть $a=4$ или $a=-4$.
Неравенство принимает вид $\frac{x+4}{x^2 - 16} \le 0$. Разложим знаменатель: $\frac{x+4}{(x - 4)(x + 4)} \le 0$. При $x \neq -4$ сокращаем дробь и получаем $\frac{1}{x-4} \le 0$, что равносильно $x-4 < 0$. Отсюда $x < 4$. Учитывая условие $x \neq -4$, получаем решение: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, 4)$.

3. Если $0 < |a| < 4$.
Критические точки на оси располагаются в порядке: $-4, -|a|, |a|$. Методом интервалов для выражения $f(x) = \frac{x+4}{(x-|a|)(x+|a|)}$ получаем знаки на интервалах $(-\infty; -4), (-4; -|a|), (-|a|; |a|), (|a|; \infty)$: $ -, +, -, + $. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Точка $x=-4$ включается в ответ. Решение: $x \in (-\infty, -4] \cup (-|a|, |a|)$.

4. Если $|a| > 4$.
Критические точки на оси располагаются в порядке: $-|a|, -4, |a|$. Знаки выражения $f(x)$ на интервалах $(-\infty; -|a|), (-|a|; -4), (-4; |a|), (|a|; \infty)$: $ -, +, -, + $. Нас интересуют интервалы, где выражение меньше или равно нулю. Точка $x=-4$ включается в ответ. Решение: $x \in (-\infty, -|a|) \cup [-4, |a|)$.

Ответ:
При $a = 0$: $x \in (-\infty, -4]$.
При $|a| = 4$: $x \in (-\infty, -4) \cup (-4, 4)$.
При $0 < |a| < 4$: $x \in (-\infty, -4] \cup (-|a|, |a|)$.
При $|a| > 4$: $x \in (-\infty, -|a|) \cup [-4, |a|)$.

15.18 a) $(x-a)\sqrt{x-1} \ge 0$;

б) $(x-a)\sqrt{x-2} \le 0$;

В) $(x-3)\sqrt{x-a} \ge 0$;

Г) $(x-4)\sqrt{x-a} \le 0$.

а) $(x-a)\sqrt{x-1} \ge 0$

Найдём область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда $x \ge 1$.

Так как множитель $\sqrt{x-1}$ всегда неотрицателен в ОДЗ, исходное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

1. $\sqrt{x-1} = 0$, что даёт $x = 1$. При этом значении $x$ неравенство выполняется, так как обращается в верное равенство $0=0$.
2. $\sqrt{x-1} > 0$ (то есть $x > 1$). В этом случае можно разделить обе части неравенства на положительное число $\sqrt{x-1}$, сохранив знак неравенства. Получаем $x-a \ge 0$, или $x \ge a$.

Таким образом, решение представляет собой объединение множеств $\{1\}$ и $\{x | x > 1 \text{ и } x \ge a\}$. Для нахождения итогового решения необходимо сравнить значение параметра $a$ с числом 1.

Случай 1: $a \le 1$.
В этом случае условие $x \ge a$ выполняется для всех $x$ из промежутка $(1, +\infty)$. Таким образом, решением для второго случая является $(1, +\infty)$. Объединяя с решением $x=1$, получаем $x \in [1, +\infty)$.

Случай 2: $a > 1$.
В этом случае система $\begin{cases} x > 1 \\ x \ge a \end{cases}$ равносильна неравенству $x \ge a$. Решением является промежуток $[a, +\infty)$. Объединяя с решением $x=1$, получаем $x \in \{1\} \cup [a, +\infty)$.

Ответ: если $a \le 1$, то $x \in [1, +\infty)$; если $a > 1$, то $x \in \{1\} \cup [a, +\infty)$.

б) $(x-a)\sqrt{x-2} \le 0$

ОДЗ: $x-2 \ge 0$, откуда $x \ge 2$.

Поскольку множитель $\sqrt{x-2}$ всегда неотрицателен в ОДЗ, исходное неравенство равносильно совокупности двух случаев:

1. $\sqrt{x-2} = 0$, что даёт $x = 2$. Это значение является решением.
2. $\sqrt{x-2} > 0$ (то есть $x > 2$). В этом случае делим обе части неравенства на $\sqrt{x-2}$, получаем $x-a \le 0$, или $x \le a$.

Решение является объединением множеств $\{2\}$ и $\{x | x > 2 \text{ и } x \le a\}$. Для нахождения итогового решения сравним $a$ с числом 2.

Случай 1: $a \le 2$.
Система $\begin{cases} x > 2 \\ x \le a \end{cases}$ не имеет решений. Следовательно, единственным решением исходного неравенства является $x=2$.

Случай 2: $a > 2$.
Решением системы $\begin{cases} x > 2 \\ x \le a \end{cases}$ является промежуток $(2, a]$. Объединяя с решением $x=2$, получаем $x \in [2, a]$.

Ответ: если $a \le 2$, то $x = 2$; если $a > 2$, то $x \in [2, a]$.

в) $(x-3)\sqrt{x-a} \ge 0$

ОДЗ: $x-a \ge 0$, откуда $x \ge a$.

Неравенство равносильно совокупности:

1. $\sqrt{x-a} = 0$, что даёт $x = a$. Это значение является решением.
2. $\sqrt{x-a} > 0$ (то есть $x > a$). В этом случае делим на $\sqrt{x-a}$, получаем $x-3 \ge 0$, или $x \ge 3$.

Решение является объединением множеств $\{a\}$ и $\{x | x > a \text{ и } x \ge 3\}$. Для нахождения итогового решения сравним $a$ с числом 3.

Случай 1: $a < 3$.
Решением системы $\begin{cases} x > a \\ x \ge 3 \end{cases}$ является промежуток $[3, +\infty)$. Объединяя с решением $x=a$, получаем $x \in \{a\} \cup [3, +\infty)$.

Случай 2: $a \ge 3$.
Решением системы $\begin{cases} x > a \\ x \ge 3 \end{cases}$ является промежуток $(a, +\infty)$. Объединяя с решением $x=a$, получаем $x \in [a, +\infty)$.

Ответ: если $a < 3$, то $x \in \{a\} \cup [3, +\infty)$; если $a \ge 3$, то $x \in [a, +\infty)$.

г) $(x-4)\sqrt{x-a} \le 0$

ОДЗ: $x-a \ge 0$, откуда $x \ge a$.

Неравенство равносильно совокупности:

1. $\sqrt{x-a} = 0$, что даёт $x=a$. Это значение является решением.
2. $\sqrt{x-a} > 0$ (то есть $x > a$). В этом случае делим на $\sqrt{x-a}$, получаем $x-4 \le 0$, или $x \le 4$.

Решение является объединением множеств $\{a\}$ и $\{x | x > a \text{ и } x \le 4\}$. Для нахождения итогового решения сравним $a$ с числом 4.

Случай 1: $a < 4$.
Решением системы $\begin{cases} x > a \\ x \le 4 \end{cases}$ является промежуток $(a, 4]$. Объединяя с решением $x=a$, получаем $x \in [a, 4]$.

Случай 2: $a \ge 4$.
Система $\begin{cases} x > a \\ x \le 4 \end{cases}$ не имеет решений, так как из $a \ge 4$ следует, что не существует $x$, которое было бы одновременно больше $a$ и меньше либо равно 4. Таким образом, единственным решением является $x=a$.

Ответ: если $a < 4$, то $x \in [a, 4]$; если $a \ge 4$, то $x=a$.

15.19 a) $\frac{\sqrt{x - a}}{x - 1} \ge 0;$

б) $\frac{\sqrt{x - a}}{x + 2} \le 0;$

в) $\frac{x + 3}{\sqrt{x - a}} \ge 0;$

г) $\frac{x - 4}{\sqrt{x - a}} \le 0.$

а) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x-a}}{x-1} \geq 0$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю:$\begin{cases} x - a \geq 0 \\ x - 1 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq a \\ x \neq 1 \end{cases}$.

2. Решим неравенство методом интервалов с учетом ОДЗ. Числитель $\sqrt{x-a}$ всегда неотрицателен ($\geq 0$) в своей области определения. Дробь будет неотрицательной в двух случаях:
- Числитель равен нулю: $\sqrt{x-a} = 0 \implies x=a$. Это решение, если оно удовлетворяет ОДЗ (то есть $a \neq 1$).
- Числитель и знаменатель положительны: $\begin{cases} \sqrt{x-a} > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > a \\ x > 1 \end{cases}$.

3. Рассмотрим три случая в зависимости от взаимного расположения $a$ и $1$.

Случай 1: $a > 1$.
ОДЗ: $x \geq a$. Так как $a>1$, то условие $x \neq 1$ выполняется автоматически.Для любого $x \in [a, \infty)$, имеем $x \geq a > 1$, поэтому знаменатель $x-1$ положителен. Числитель $\sqrt{x-a}$ неотрицателен. Таким образом, неравенство $\frac{\geq 0}{> 0} \geq 0$ выполняется для всей области определения.Решение: $x \in [a, \infty)$.

Случай 2: $a = 1$.
Неравенство принимает вид $\frac{\sqrt{x-1}}{x-1} \geq 0$.ОДЗ: $\begin{cases} x \geq 1 \\ x \neq 1 \end{cases} \implies x > 1$.На интервале $(1, \infty)$ числитель $\sqrt{x-1} > 0$ и знаменатель $x-1 > 0$, поэтому неравенство выполняется.Решение: $x \in (1, \infty)$.

Случай 3: $a < 1$.
ОДЗ: $x \in [a, 1) \cup (1, \infty)$.Решения состоят из двух частей:
1) $x=a$ (корень числителя). Это решение, так как $a < 1$.
2) Решение системы $\begin{cases} x > a \\ x > 1 \end{cases}$, которое дает $x \in (1, \infty)$.
Объединяя эти решения, получаем $x \in \{a\} \cup (1, \infty)$.

Ответ: если $a > 1$, то $x \in [a, \infty)$; если $a = 1$, то $x \in (1, \infty)$; если $a < 1$, то $x \in \{a\} \cup (1, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{\sqrt{x-a}}{x+2} \leq 0$.

1. ОДЗ: $\begin{cases} x - a \geq 0 \\ x + 2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \geq a \\ x \neq -2 \end{cases}$.

2. Числитель $\sqrt{x-a} \geq 0$. Дробь будет неположительной в двух случаях:
- Числитель равен нулю: $\sqrt{x-a} = 0 \implies x=a$. Это решение, если $a \neq -2$.
- Числитель положителен, а знаменатель отрицателен: $\begin{cases} \sqrt{x-a} > 0 \\ x + 2 < 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > a \\ x < -2 \end{cases}$. Эта система имеет решения только если $a < -2$.

3. Рассмотрим три случая в зависимости от взаимного расположения $a$ и $-2$.

Случай 1: $a > -2$.
ОДЗ: $x \geq a$.Одно решение - $x=a$ (числитель равен 0).Система $\begin{cases} x > a \\ x < -2 \end{cases}$ не имеет решений, так как $a > -2$ и $x$ не может быть одновременно больше $a$ и меньше $-2$.Следовательно, единственное решение - $x=a$.

Случай 2: $a = -2$.
Неравенство: $\frac{\sqrt{x+2}}{x+2} \leq 0$.ОДЗ: $\begin{cases} x \geq -2 \\ x \neq -2 \end{cases} \implies x > -2$.На интервале $(-2, \infty)$ числитель и знаменатель положительны, поэтому дробь всегда положительна. Решений нет.

Случай 3: $a < -2$.
ОДЗ: $x \geq a$.Решения состоят из двух частей:
1) $x=a$.
2) Решение системы $\begin{cases} x > a \\ x < -2 \end{cases}$, которое дает $x \in (a, -2)$.
Объединяя эти решения, получаем $x \in [a, -2)$.

Ответ: если $a > -2$, то $x = a$; если $a = -2$, то решений нет; если $a < -2$, то $x \in [a, -2)$.

в) Решим неравенство $\frac{x+3}{\sqrt{x-a}} \geq 0$.

1. ОДЗ: Знаменатель не может быть равен нулю, и подкоренное выражение должно быть неотрицательным. Эти два условия объединяются в одно строгое неравенство: $x-a > 0 \implies x > a$.

2. На области допустимых значений знаменатель $\sqrt{x-a}$ всегда строго положителен. Следовательно, знак дроби совпадает со знаком числителя. Неравенство равносильно системе:$\begin{cases} x > a \\ x + 3 \geq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > a \\ x \geq -3 \end{cases}$.

3. Решение системы зависит от взаимного расположения $a$ и $-3$.

Случай 1: $a \geq -3$.
Система: $\begin{cases} x > a \\ x \geq -3 \end{cases}$. Так как $a \geq -3$, то условие $x > a$ является более сильным.Решение: $x > a$, то есть $x \in (a, \infty)$.

Случай 2: $a < -3$.
Система: $\begin{cases} x > a \\ x \geq -3 \end{cases}$. Решением является пересечение интервалов $(a, \infty)$ и $[-3, \infty)$, что дает $x \geq -3$.Решение: $x \in [-3, \infty)$.

Ответ: если $a \geq -3$, то $x \in (a, \infty)$; если $a < -3$, то $x \in [-3, \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{x-4}{\sqrt{x-a}} \leq 0$.

1. ОДЗ: Аналогично предыдущему пункту, $x-a > 0 \implies x > a$.

2. На ОДЗ знаменатель $\sqrt{x-a}$ всегда положителен. Знак дроби определяется знаком числителя. Неравенство равносильно системе:$\begin{cases} x > a \\ x - 4 \leq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > a \\ x \leq 4 \end{cases}$.

3. Решение системы зависит от взаимного расположения $a$ и $4$.

Случай 1: $a \geq 4$.
Система: $\begin{cases} x > a \\ x \leq 4 \end{cases}$. Так как $a \geq 4$, то $x > a \geq 4$. Это противоречит условию $x \leq 4$. Система не имеет решений.

Случай 2: $a < 4$.
Система: $\begin{cases} x > a \\ x \leq 4 \end{cases}$. Решением является интервал $(a, 4]$.Решение: $x \in (a, 4]$.

Ответ: если $a \geq 4$, то решений нет; если $a < 4$, то $x \in (a, 4]$.