Страница 367 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

15.29* a) $(a^2 - a) \sin \frac{x}{2} + 2 \cos y = a + 5$

$3 \sin \frac{x}{2} + \cos y = 4;$

б) $(a^2 + a) \sin \frac{y}{2} + 2 \cos x = 3a + 1$

$3 \sin \frac{y}{2} + \cos x = -4.$

a)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} (a^2 - a) \sin\frac{x}{2} + 2\cos y = a + 5 \\ 3 \sin\frac{x}{2} + \cos y = 4 \end{cases} $

Для удобства введем замены: пусть $u = \sin\frac{x}{2}$ и $v = \cos y$. Так как синус и косинус могут принимать значения только от -1 до 1, на переменные $u$ и $v$ накладываются ограничения: $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} (a^2 - a) u + 2v = a + 5 \\ 3u + v = 4 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$: $v = 4 - 3u$. Подставим это выражение в первое уравнение:

$(a^2 - a) u + 2(4 - 3u) = a + 5$

$(a^2 - a) u + 8 - 6u = a + 5$

$(a^2 - a - 6) u = a - 3$

Разложим на множители выражение в скобках: $a^2 - a - 6 = (a-3)(a+2)$.

$(a-3)(a+2) u = a - 3$

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: $a \neq 3$ и $a \neq -2$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a-3)(a+2)$ (так как $a-3 \neq 0$):

$u = \frac{a-3}{(a-3)(a+2)} = \frac{1}{a+2}$

Теперь найдем $v$:

$v = 4 - 3u = 4 - \frac{3}{a+2} = \frac{4(a+2) - 3}{a+2} = \frac{4a+5}{a+2}$

Для существования решений исходной системы необходимо выполнение условий $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$:

$ \begin{cases} |\frac{1}{a+2}| \le 1 \\ |\frac{4a+5}{a+2}| \le 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $|\frac{1}{a+2}| \le 1 \Leftrightarrow 1 \le |a+2| \Leftrightarrow a+2 \ge 1$ или $a+2 \le -1$. Отсюда $a \ge -1$ или $a \le -3$. Таким образом, $a \in (-\infty, -3] \cup [-1, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $|\frac{4a+5}{a+2}| \le 1 \Leftrightarrow |4a+5| \le |a+2|$. Возведем обе части в квадрат:

$(4a+5)^2 \le (a+2)^2$

$16a^2 + 40a + 25 \le a^2 + 4a + 4$

$15a^2 + 36a + 21 \le 0$

$5a^2 + 12a + 7 \le 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $5a^2 + 12a + 7 = 0$. Дискриминант $D = 12^2 - 4 \cdot 5 \cdot 7 = 144 - 140 = 4$. Корни $a_{1,2} = \frac{-12 \pm 2}{10}$, то есть $a_1 = -1$ и $a_2 = -1.4$. Так как ветви параболы направлены вверх, решение неравенства: $a \in [-1.4, -1]$.

Найдем пересечение решений двух систем неравенств: $a \in ((-\infty, -3] \cup [-1, +\infty)) \cap [-1.4, -1]$. Пересечением является единственное значение $a = -1$.

Случай 2: $a = 3$.

Уравнение $(a-3)(a+2) u = a - 3$ принимает вид $0 \cdot u = 0$. Это равенство верно для любого значения $u$. Однако $u$ и $v$ связаны соотношением $v = 4 - 3u$ и ограничениями $|u| \le 1, |v| \le 1$.

Проверим, существует ли такое $u \in [-1, 1]$, для которого $v=4-3u$ также будет в отрезке $[-1, 1]$.

$-1 \le 4 - 3u \le 1$

$-5 \le -3u \le -3$

$1 \le u \le \frac{5}{3}$

Пересекая это условие с условием $u \in [-1, 1]$, получаем единственное возможное значение $u=1$. При $u=1$ получаем $v=4-3(1)=1$. Значения $u=1$ и $v=1$ удовлетворяют условиям $|u| \le 1, |v| \le 1$. Следовательно, при $a=3$ система имеет решения.

Случай 3: $a = -2$.

Уравнение $(a-3)(a+2) u = a - 3$ принимает вид $0 \cdot u = -5$. Это равенство неверно, поэтому при $a=-2$ система решений не имеет.

Объединяя результаты всех случаев, получаем, что система имеет решения при $a=-1$ и $a=3$.

Ответ: $a=-1; 3$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} (a^2 + a) \sin\frac{y}{2} + 2\cos x = 3a + 1 \\ 3 \sin\frac{y}{2} + \cos x = -4 \end{cases} $

Введем замены: $u = \sin\frac{y}{2}$ и $v = \cos x$. На переменные $u$ и $v$ накладываются ограничения: $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$.

Система примет вид:

$ \begin{cases} (a^2 + a) u + 2v = 3a + 1 \\ 3u + v = -4 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $v$: $v = -4 - 3u$. Подставим в первое уравнение:

$(a^2 + a) u + 2(-4 - 3u) = 3a + 1$

$(a^2 + a) u - 8 - 6u = 3a + 1$

$(a^2 + a - 6) u = 3a + 9$

Разложим на множители выражения в обеих частях: $a^2 + a - 6 = (a+3)(a-2)$ и $3a+9 = 3(a+3)$.

$(a+3)(a-2) u = 3(a+3)$

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: $a \neq -3$ и $a \neq 2$.

В этом случае можно разделить обе части уравнения на $(a+3)$:

$(a-2)u = 3 \Rightarrow u = \frac{3}{a-2}$

Теперь найдем $v$:

$v = -4 - 3u = -4 - 3 \cdot \frac{3}{a-2} = -4 - \frac{9}{a-2} = \frac{-4(a-2)-9}{a-2} = \frac{-4a+8-9}{a-2} = \frac{-4a-1}{a-2}$

Для существования решений исходной системы необходимо выполнение условий $|u| \le 1$ и $|v| \le 1$:

$ \begin{cases} |\frac{3}{a-2}| \le 1 \\ |\frac{-4a-1}{a-2}| \le 1 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $|\frac{3}{a-2}| \le 1 \Leftrightarrow 3 \le |a-2| \Leftrightarrow a-2 \ge 3$ или $a-2 \le -3$. Отсюда $a \ge 5$ или $a \le -1$. Таким образом, $a \in (-\infty, -1] \cup [5, +\infty)$.

Решим второе неравенство: $|\frac{4a+1}{a-2}| \le 1 \Leftrightarrow |4a+1| \le |a-2|$. Возведем обе части в квадрат:

$(4a+1)^2 \le (a-2)^2$

$16a^2 + 8a + 1 \le a^2 - 4a + 4$

$15a^2 + 12a - 3 \le 0$

$5a^2 + 4a - 1 \le 0$

Найдем корни трехчлена $5a^2 + 4a - 1 = 0$. Дискриминант $D = 4^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-1) = 16 + 20 = 36$. Корни $a_{1,2} = \frac{-4 \pm 6}{10}$, то есть $a_1 = -1$ и $a_2 = 1/5$. Решение неравенства: $a \in [-1, 1/5]$.

Найдем пересечение решений: $a \in ((-\infty, -1] \cup [5, +\infty)) \cap [-1, 1/5]$. Пересечением является единственное значение $a = -1$.

Случай 2: $a = -3$.

Уравнение $(a+3)(a-2) u = 3(a+3)$ принимает вид $0 \cdot u = 0$. Это равенство верно для любого $u$. Проверим, существует ли $u \in [-1, 1]$, для которого $v=-4-3u$ также будет в отрезке $[-1, 1]$.

$-1 \le -4 - 3u \le 1$

$3 \le -3u \le 5$

$-\frac{5}{3} \le u \le -1$

Пересекая это условие с $u \in [-1, 1]$, получаем $u=-1$. При $u=-1$ получаем $v=-4-3(-1)=-1$. Значения $u=-1$ и $v=-1$ удовлетворяют условиям $|u| \le 1, |v| \le 1$. Следовательно, при $a=-3$ система имеет решения.

Случай 3: $a = 2$.

Уравнение $(a+3)(a-2) u = 3(a+3)$ принимает вид $0 \cdot u = 15$. Это равенство неверно, решений нет.

Объединяя результаты, получаем, что система имеет решения при $a=-1$ и $a=-3$.

Ответ: $a=-3; -1$.