Страница 372 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

ИССЛЕДУЕМ (15.30—15.45):

15.30 При каких значениях параметра:

a) $a \neq -3$ уравнение $2 \sin 2x = \frac{a - 1}{a + 3}$ не имеет корней;

б) $a \neq 2$ уравнение $3 \cos x = \frac{a + 5}{a - 2}$ не имеет корней?

а)

Рассмотрим уравнение $2 \sin 2x = \frac{a-1}{a+3}$ при условии $a \neq -3$.

Для начала выразим тригонометрическую функцию:

$\sin 2x = \frac{a-1}{2(a+3)}$

Известно, что область значений функции синус — это отрезок $[-1, 1]$. Уравнение не будет иметь действительных корней, если значение выражения в правой части выйдет за пределы этого отрезка. Таким образом, должно выполняться условие:

$|\sin 2x| > 1$

что эквивалентно неравенству:

$|\frac{a-1}{2(a+3)}| > 1$

Это неравенство с модулем равносильно совокупности двух неравенств:

1) $\frac{a-1}{2(a+3)} > 1$

Перенесем 1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{a-1}{2(a+3)} - 1 > 0 \implies \frac{a-1 - 2(a+3)}{2(a+3)} > 0 \implies \frac{a-1-2a-6}{2(a+3)} > 0 \implies \frac{-a-7}{2(a+3)} > 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$\frac{a+7}{2(a+3)} < 0 \implies \frac{a+7}{a+3} < 0$

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $a \in (-7, -3)$.

2) $\frac{a-1}{2(a+3)} < -1$

Перенесем -1 в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$\frac{a-1}{2(a+3)} + 1 < 0 \implies \frac{a-1 + 2(a+3)}{2(a+3)} < 0 \implies \frac{a-1+2a+6}{2(a+3)} < 0 \implies \frac{3a+5}{2(a+3)} < 0$

Решая это неравенство методом интервалов, находим, что оно выполняется при $a \in (-3, -5/3)$.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем искомое множество значений параметра $a$.

Ответ: $a \in (-7, -3) \cup (-3, -5/3)$.

б)

Рассмотрим уравнение $3 \cos x = \frac{a+5}{a-2}$ при условии $a \neq 2$.

Выразим тригонометрическую функцию:

$\cos x = \frac{a+5}{3(a-2)}$

Область значений функции косинус — это отрезок $[-1, 1]$. Уравнение не будет иметь действительных корней, если значение выражения в правой части будет по модулю больше 1:

$|\cos x| > 1$

что эквивалентно неравенству:

$|\frac{a+5}{3(a-2)}| > 1$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

1) $\frac{a+5}{3(a-2)} > 1$

$\frac{a+5}{3(a-2)} - 1 > 0 \implies \frac{a+5 - 3(a-2)}{3(a-2)} > 0 \implies \frac{a+5-3a+6}{3(a-2)} > 0 \implies \frac{-2a+11}{3(a-2)} > 0$

Умножим на -1/3, изменив знак неравенства:

$\frac{2a-11}{a-2} < 0$

Решением этого неравенства является интервал $a \in (2, 11/2)$.

2) $\frac{a+5}{3(a-2)} < -1$

$\frac{a+5}{3(a-2)} + 1 < 0 \implies \frac{a+5 + 3(a-2)}{3(a-2)} < 0 \implies \frac{a+5+3a-6}{3(a-2)} < 0 \implies \frac{4a-1}{3(a-2)} < 0$

Решением этого неравенства является интервал $a \in (1/4, 2)$.

Объединяя решения обоих неравенств, получаем искомое множество значений параметра $a$.

Ответ: $a \in (1/4, 2) \cup (2, 11/2)$.

15.31 При каких значениях параметра $a$ уравнение:

a) $x + 2 = a |x - 1|$;

б) $a |x - 3| = x + 1$

имеет единственное решение? Найдите это решение.

а) $x + 2 = a|x - 1|$

Для решения данного уравнения с параметром воспользуемся графическим методом. Преобразуем уравнение. Заметим, что $x=1$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получаем неверное равенство $1 + 2 = a|1 - 1| \Rightarrow 3 = 0$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $|x-1|$, не равное нулю.

Получим: $a = \frac{x+2}{|x-1|}$.

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $f(x) = \frac{x+2}{|x-1|}$ ровно в одной точке.

Рассмотрим функцию $f(x)$, раскрыв модуль для двух случаев:

1. Если $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$:
$f(x) = \frac{x+2}{x-1} = \frac{(x-1)+3}{x-1} = 1 + \frac{3}{x-1}$.
Это гипербола. При $x \to 1^+$, $f(x) \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $f(x) \to 1$. На промежутке $(1, +\infty)$ функция монотонно убывает, и ее область значений — $(1, +\infty)$.

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$:
$f(x) = \frac{x+2}{-(x-1)} = -\frac{x+2}{x-1} = -\frac{(x-1)+3}{x-1} = -1 - \frac{3}{x-1}$.
Это также гипербола. При $x \to 1^-$, $f(x) \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $f(x) \to -1$. На промежутке $(-\infty, 1)$ функция монотонно возрастает, и ее область значений — $(-1, +\infty)$.

Проанализируем количество пересечений графика $y=f(x)$ с прямой $y=a$:

• Если $a > 1$, прямая $y=a$ пересекает обе ветви графика, следовательно, уравнение имеет два решения.
• Если $a = 1$, прямая $y=a$ пересекает только левую ветвь (при $x<1$), так как для правой ветви $y=1$ является горизонтальной асимптотой. Следовательно, уравнение имеет одно решение.
• Если $-1 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает только левую ветвь графика. Следовательно, уравнение имеет одно решение.
• Если $a \le -1$, прямая $y=a$ не пересекает график, так как минимальное значение функции на левой ветви стремится к $-1$. Следовательно, решений нет.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение при $a \in (-1, 1]$.

Найдем это решение. Оно соответствует случаю $x < 1$, где уравнение принимает вид $a = \frac{x+2}{-(x-1)}$.

$a(1 - x) = x + 2$

$a - ax = x + 2$

$a - 2 = x + ax$

$a - 2 = x(1 + a)$

Поскольку $a > -1$, то $a+1 \neq 0$, и мы можем выразить $x$:

$x = \frac{a - 2}{a + 1}$

Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \in (-1, 1]$; это решение $x = \frac{a - 2}{a + 1}$.

б) $a|x - 3| = x + 1$

Решим это уравнение аналогичным графическим методом. Заметим, что $x=3$ не является корнем уравнения, так как подстановка дает $a|3-3| = 3+1 \Rightarrow 0=4$, что неверно. Значит, можно разделить обе части на $|x-3|$.

$a = \frac{x+1}{|x-3|}$.

Задача сводится к нахождению числа пересечений графика функции $g(x) = \frac{x+1}{|x-3|}$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Раскроем модуль:

1. Если $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$:
$g(x) = \frac{x+1}{x-3} = \frac{(x-3)+4}{x-3} = 1 + \frac{4}{x-3}$.
Это гипербола. При $x \to 3^+$, $g(x) \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $g(x) \to 1$. Область значений на $(3, +\infty)$ есть $(1, +\infty)$.

2. Если $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$:
$g(x) = \frac{x+1}{-(x-3)} = -\frac{x+1}{x-3} = -\frac{(x-3)+4}{x-3} = -1 - \frac{4}{x-3}$.
Это гипербола. При $x \to 3^-$, $g(x) \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $g(x) \to -1$. Область значений на $(-\infty, 3)$ есть $(-1, +\infty)$.

Анализ количества решений уравнения $g(x)=a$ полностью аналогичен пункту а):

• Если $a > 1$, то 2 решения.
• Если $a = 1$, то 1 решение.
• Если $-1 < a < 1$, то 1 решение.
• Если $a \le -1$, то решений нет.

Следовательно, единственное решение существует при $a \in (-1, 1]$.

Найдем это решение. Оно соответствует случаю $x < 3$, где $a = \frac{x+1}{-(x-3)}$.

$a(3 - x) = x + 1$

$3a - ax = x + 1$

$3a - 1 = x + ax$

$3a - 1 = x(1 + a)$

Так как $a > -1$, $a+1 \neq 0$, получаем:

$x = \frac{3a - 1}{a + 1}$

Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \in (-1, 1]$; это решение $x = \frac{3a - 1}{a + 1}$.

15.32 Сколько решений в зависимости от параметра $a$ имеет уравнение:

а) $|x + 2| = ax + 1;$

б) $|x - 4| = ax + 2?$

а)

Рассмотрим уравнение $|x + 2| = ax + 1$. Данное уравнение можно решить графически. Для этого построим в одной системе координат графики функций $y = |x + 2|$ и $y = ax + 1$. Количество решений уравнения будет равно количеству точек пересечения этих графиков.

График функции $y = |x + 2|$ представляет собой "галочку", состоящую из двух лучей, выходящих из вершины в точке $(-2, 0)$.
При $x \ge -2$, $y = x + 2$ (луч с угловым коэффициентом 1).
При $x < -2$, $y = -(x + 2) = -x - 2$ (луч с угловым коэффициентом -1).

График функции $y = ax + 1$ — это семейство прямых (пучок прямых), проходящих через точку $(0, 1)$, где параметр $a$ является угловым коэффициентом.

Для более строгого анализа решим уравнение аналитически. Уравнение $|A| = B$ равносильно системе $\begin{cases} B \ge 0 \\ A^2 = B^2 \end{cases}$. Применим это к нашему уравнению: $\begin{cases} ax+1 \ge 0 \\ (x+2)^2 = (ax+1)^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение: $x^2 + 4x + 4 = a^2x^2 + 2ax + 1$ $(1-a^2)x^2 + (4-2a)x + 3 = 0$

Рассмотрим случаи:

1. Если $1-a^2 = 0$, то есть $a=1$ или $a=-1$.
- При $a=1$: уравнение принимает вид $(4-2(1))x + 3 = 0 \Rightarrow 2x + 3 = 0 \Rightarrow x = -1.5$. Проверим условие $ax+1 \ge 0$: $1(-1.5) + 1 = -0.5 < 0$. Условие не выполнено, значит, при $a=1$ решений нет.
- При $a=-1$: уравнение принимает вид $(4-2(-1))x + 3 = 0 \Rightarrow 6x + 3 = 0 \Rightarrow x = -0.5$. Проверим условие $ax+1 \ge 0$: $(-1)(-0.5) + 1 = 1.5 > 0$. Условие выполнено, значит, при $a=-1$ есть одно решение $x=-0.5$.

2. Если $1-a^2 \ne 0$, то есть $a \ne \pm 1$. Мы имеем квадратное уравнение. Найдем его дискриминант: $D = (4-2a)^2 - 4(1-a^2)(3) = 4(2-a)^2 - 12(1-a^2) = 4(4-4a+a^2) - 12+12a^2 = 16-16a+4a^2-12+12a^2 = 16a^2-16a+4 = 4(4a^2-4a+1) = 4(2a-1)^2 = (2(2a-1))^2$. Так как $D \ge 0$ при любом $a$, уравнение всегда имеет действительные корни.

Корни уравнения: $x = \frac{-(4-2a) \pm \sqrt{4(2a-1)^2}}{2(1-a^2)} = \frac{2a-4 \pm 2(2a-1)}{2(1-a^2)} = \frac{a-2 \pm (2a-1)}{1-a^2}$.
$x_1 = \frac{a-2 + (2a-1)}{1-a^2} = \frac{3a-3}{(1-a)(1+a)} = \frac{-3(1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{-3}{1+a}$.
$x_2 = \frac{a-2 - (2a-1)}{1-a^2} = \frac{-a-1}{1-a^2} = \frac{-(a+1)}{(1-a)(1+a)} = \frac{-1}{1-a} = \frac{1}{a-1}$.

Корни совпадают при $D=0$, то есть при $2a-1=0 \Rightarrow a=1/2$. В этом случае есть один корень $x=-2$.

Теперь для каждого корня проверим выполнение условия $ax+1 \ge 0$.
- Для $x_1 = \frac{-3}{1+a}$: $a(\frac{-3}{1+a}) + 1 = \frac{-3a+1+a}{1+a} = \frac{1-2a}{1+a} \ge 0$. Методом интервалов получаем, что это неравенство выполняется при $a \in (-1, 1/2]$.
- Для $x_2 = \frac{1}{a-1}$: $a(\frac{1}{a-1}) + 1 = \frac{a+a-1}{a-1} = \frac{2a-1}{a-1} \ge 0$. Методом интервалов получаем, что это неравенство выполняется при $a \in (-\infty, 1/2] \cup (1, \infty)$.

Сведем результаты в таблицу и определим количество решений:

• При $a \in (-\infty, -1)$: $x_1$ не является решением, $x_2$ является решением. Одно решение.
• При $a = -1$: Одно решение ($x=-0.5$).
• При $a \in (-1, 1/2)$: $x_1$ и $x_2$ являются различными решениями. Два решения.
• При $a = 1/2$: $x_1=x_2=-2$, и оба условия выполнены. Одно решение.
• При $a \in (1/2, 1)$: ни $x_1$, ни $x_2$ не являются решениями. Нет решений.
• При $a = 1$: Нет решений.
• При $a \in (1, \infty)$: $x_1$ не является решением, $x_2$ является решением. Одно решение.

Объединяя интервалы, получаем:

Ответ: при $a \in (-1, 1/2)$ — два решения; при $a \in (-\infty, -1] \cup \{1/2\} \cup (1, \infty)$ — одно решение; при $a \in (1/2, 1]$ — нет решений.

б)

Рассмотрим уравнение $|x - 4| = ax + 2$. Аналогично пункту а), будем решать уравнение $|A|=B$ через систему $\begin{cases} B \ge 0 \\ A^2 = B^2 \end{cases}$. $\begin{cases} ax+2 \ge 0 \\ (x-4)^2 = (ax+2)^2 \end{cases}$

Решим второе уравнение: $x^2 - 8x + 16 = a^2x^2 + 4ax + 4$ $(1-a^2)x^2 - (8+4a)x + 12 = 0$

1. Если $1-a^2 = 0$, то есть $a=1$ или $a=-1$.
- При $a=1$: уравнение принимает вид $-(8+4)x + 12 = 0 \Rightarrow -12x + 12 = 0 \Rightarrow x=1$. Проверим условие $ax+2 \ge 0$: $1(1)+2=3 \ge 0$. Условие выполнено. При $a=1$ есть одно решение $x=1$.
- При $a=-1$: уравнение принимает вид $-(8-4)x + 12 = 0 \Rightarrow -4x+12=0 \Rightarrow x=3$. Проверим условие $ax+2 \ge 0$: $(-1)(3)+2 = -1 < 0$. Условие не выполнено. При $a=-1$ решений нет.

2. Если $1-a^2 \ne 0$, решаем квадратное уравнение. Дискриминант: $D = (-(8+4a))^2 - 4(1-a^2)(12) = 16(2+a)^2 - 48(1-a^2) = 16(4+4a+a^2) - 48+48a^2 = 64+64a+16a^2-48+48a^2 = 64a^2+64a+16 = 16(4a^2+4a+1) = 16(2a+1)^2 = (4(2a+1))^2$.

Корни уравнения: $x = \frac{8+4a \pm \sqrt{16(2a+1)^2}}{2(1-a^2)} = \frac{4(2+a) \pm 4(2a+1)}{2(1-a^2)} = \frac{2(2+a) \pm 2(2a+1)}{1-a^2}$.
$x_1 = \frac{4+2a+4a+2}{1-a^2} = \frac{6a+6}{1-a^2} = \frac{6(a+1)}{(1-a)(1+a)} = \frac{6}{1-a}$.
$x_2 = \frac{4+2a-(4a+2)}{1-a^2} = \frac{2-2a}{1-a^2} = \frac{2(1-a)}{(1-a)(1+a)} = \frac{2}{1+a}$.

Корни совпадают при $D=0$, то есть при $2a+1=0 \Rightarrow a=-1/2$. В этом случае $x=4$.

Проверим для каждого корня условие $ax+2 \ge 0$.
- Для $x_1 = \frac{6}{1-a}$: $a(\frac{6}{1-a}) + 2 = \frac{6a+2(1-a)}{1-a} = \frac{4a+2}{1-a} \ge 0$. Методом интервалов получаем $a \in [-1/2, 1)$.
- Для $x_2 = \frac{2}{1+a}$: $a(\frac{2}{1+a}) + 2 = \frac{2a+2(1+a)}{1+a} = \frac{4a+2}{1+a} \ge 0$. Методом интервалов получаем $a \in (-\infty, -1) \cup [-1/2, \infty)$.

Сведем результаты в таблицу и определим количество решений:

• При $a \in (-\infty, -1)$: $x_1$ не является решением, $x_2$ является решением. Одно решение.
• При $a = -1$: Нет решений.
• При $a \in (-1, -1/2)$: ни $x_1$, ни $x_2$ не являются решениями. Нет решений.
• При $a = -1/2$: $x_1=x_2=4$, и оба условия выполнены. Одно решение.
• При $a \in (-1/2, 1)$: $x_1$ и $x_2$ являются различными решениями. Два решения.
• При $a = 1$: Одно решение ($x=1$).
• При $a \in (1, \infty)$: $x_1$ не является решением, $x_2$ является решением. Одно решение.

Объединяя интервалы, получаем:

Ответ: при $a \in (-1/2, 1)$ — два решения; при $a \in (-\infty, -1) \cup \{-1/2\} \cup [1, \infty)$ — одно решение; при $a \in [-1, -1/2)$ — нет решений.

15.33 При каких значениях параметра $a$ уравнение:

а) $x^2 - (3a - 1)|x| + 2a^2 - a = 0$ имеет 4 различных корня;

б) $x^2 - (4a - 2)|x| + 3a^2 - 2a = 0$ имеет ровно два различных корня?

а) Исходное уравнение $x^2 - (3a - 1)|x| + 2a^2 - a = 0$ является биквадратным относительно $x$, так как $x^2 = |x|^2$.
Чтобы оно имело 4 различных корня, необходимо, чтобы после замены $y = |x|$ ($y \ge 0$) полученное квадратное уравнение имело два различных положительных корня.

Произведем замену $y = |x|$. Уравнение примет вид:
$y^2 - (3a - 1)y + (2a^2 - a) = 0$.

Для того чтобы это квадратное уравнение имело два различных положительных корня ($y_1 > 0, y_2 > 0, y_1 \neq y_2$), должны одновременно выполняться три условия:

1. Дискриминант должен быть строго положительным: $D > 0$.
2. Произведение корней должно быть положительным (по теореме Виета): $y_1 y_2 > 0$.
3. Сумма корней должна быть положительной (по теореме Виета): $y_1 + y_2 > 0$.

Проверим каждое условие:
1. Найдем дискриминант:
$D = (-(3a - 1))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (2a^2 - a) = 9a^2 - 6a + 1 - 8a^2 + 4a = a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$.
Условие $D > 0$ сводится к $(a-1)^2 > 0$, что выполняется для всех $a$, кроме $a=1$. Итак, $a \neq 1$.

2. Произведение корней: $y_1 y_2 = 2a^2 - a$.
Условие $y_1 y_2 > 0$ дает неравенство $2a^2 - a > 0$, или $a(2a - 1) > 0$.
Решением этого неравенства является объединение интервалов $a \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$.

3. Сумма корней: $y_1 + y_2 = 3a - 1$.
Условие $y_1 + y_2 > 0$ дает неравенство $3a - 1 > 0$, откуда $a > \frac{1}{3}$.

Теперь найдем значения $a$, которые удовлетворяют всем трем условиям одновременно, то есть найдем пересечение множеств:
$\{ a \neq 1 \} \cap \{ a \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, +\infty) \} \cap \{ a > \frac{1}{3} \}$.
Из условий $a > \frac{1}{3}$ и $a \in (-\infty, 0) \cup (\frac{1}{2}, +\infty)$ следует, что $a > \frac{1}{2}$.
Добавляя к этому условие $a \neq 1$, получаем окончательное решение.

Ответ: $a \in (\frac{1}{2}, 1) \cup (1, +\infty)$.

б) Рассматриваем уравнение $x^2 - (4a - 2)|x| + 3a^2 - 2a = 0$.
Так же, как и в пункте а), сделаем замену $y = |x|$, где $y \ge 0$. Получим квадратное уравнение:
$y^2 - (4a - 2)y + 3a^2 - 2a = 0$.

Исходное уравнение будет иметь ровно два различных корня в следующих двух случаях:

• Квадратное уравнение для $y$ имеет один двукратный (кратности 2) положительный корень. Если $y_1=y_2>0$, то $|x| = y_1$ дает два различных корня для $x$.
• Квадратное уравнение для $y$ имеет один положительный и один отрицательный корень. Если $y_1 > 0$ и $y_2 < 0$, то $|x|=y_1$ дает два различных корня для $x$, а уравнение $|x|=y_2$ не имеет решений.

Найдем корни уравнения для $y$. Вычислим дискриминант:
$D = (-(4a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a^2 - 2a) = 16a^2 - 16a + 4 - 12a^2 + 8a = 4a^2 - 8a + 4 = 4(a-1)^2$.
Корни уравнения для $y$:
$y = \frac{(4a - 2) \pm \sqrt{4(a-1)^2}}{2} = \frac{4a - 2 \pm 2|a-1|}{2} = (2a-1) \pm |a-1|$.
Можно показать, что корнями всегда являются $y_1 = a$ и $y_2 = 3a-2$.

Теперь рассмотрим каждый случай отдельно:
1. Один двукратный положительный корень.
Это условие выполняется, когда $D=0$, то есть $4(a-1)^2=0$, откуда $a=1$.
При $a=1$ корень уравнения для $y$ будет $y=2(1)-1=1$. Так как $y=1>0$, это решение нам подходит.

2. Один положительный и один отрицательный корень.
Это условие эквивалентно тому, что произведение корней отрицательно: $y_1 y_2 < 0$.
Произведение корней равно $a(3a-2)$.
Решаем неравенство $a(3a-2) < 0$. Корнями соответствующего уравнения являются $a=0$ и $a=\frac{2}{3}$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется между корнями.
Таким образом, $0 < a < \frac{2}{3}$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $a \in (0, \frac{2}{3}) \cup \{1\}$.

15.34 При каких значениях параметра a число:

а) 0 является корнем уравнения $\sqrt{a \cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x$;

б) $-\frac{\pi}{2}$ является корнем уравнения $\sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} = -\sin x?$

Для каждого такого значения a решите уравнение.

а)

Исходное уравнение: $ \sqrt{a \cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x $.

По условию, $ x = 0 $ является корнем уравнения. Подставим это значение в уравнение, учитывая, что $ \cos(2 \cdot 0) = 1 $, $ \sin(2 \cdot 0) = 0 $ и $ \cos(0) = 1 $:

$ \sqrt{a \cdot 1 - 3 \cdot 0} = 1 $

$ \sqrt{a} = 1 $

Возводя обе части в квадрат, получаем $ a = 1 $. Это значение удовлетворяет условию неотрицательности подкоренного выражения ($ a \ge 0 $). Таким образом, искомое значение параметра $ a = 1 $.

Теперь решим уравнение при $ a = 1 $:

$ \sqrt{\cos 2x - 3 \sin 2x} = \cos x $

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} \cos 2x - 3 \sin 2x = \cos^2 x \\ \cos x \ge 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы, используя формулы двойного угла $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $ и $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $:

$ (2\cos^2 x - 1) - 3(2\sin x \cos x) = \cos^2 x $

$ \cos^2 x - 6\sin x \cos x - 1 = 0 $

Заменим $ -1 $ на $ -(\sin^2 x + \cos^2 x) $ согласно основному тригонометрическому тождеству:

$ \cos^2 x - 6\sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 $

$ -\sin^2 x - 6\sin x \cos x = 0 $

$ \sin x (\sin x + 6\cos x) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \sin x = 0 \implies x = \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin x + 6\cos x = 0 $. Так как $ \cos x = 0 $ не является решением этого уравнения, разделим его на $ \cos x $:

$ \tan x + 6 = 0 \implies \tan x = -6 \implies x = -\arctan(6) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Теперь отберем корни с учетом условия $ \cos x \ge 0 $.

Для первой серии корней $ x = \pi k $: $ \cos(\pi k) = (-1)^k $. Условие $ \cos x \ge 0 $ выполняется, только если $ k $ — четное число. Пусть $ k = 2m, m \in \mathbb{Z} $. Тогда решениями являются $ x = 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Для второй серии корней $ x = -\arctan(6) + \pi n $: так как $ \tan x = -6 < 0 $, угол $ x $ находится во II или IV координатной четверти. Условие $ \cos x \ge 0 $ выполняется в I и IV четвертях. Следовательно, угол $ x $ должен находиться в IV четверти. Этому условию соответствуют корни, когда $ n $ — четное число. Пусть $ n = 2m, m \in \mathbb{Z} $. Тогда решениями являются $ x = -\arctan(6) + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ a=1; \quad x = 2\pi m, \quad x = -\arctan(6) + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $.

б)

Исходное уравнение: $ \sqrt{2 \sin 2x - a \cos 2x} = -\sin x $.

По условию, $ x = -\frac{\pi}{2} $ является корнем уравнения. Подставим это значение в уравнение, учитывая, что $ \sin(2 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = \sin(-\pi) = 0 $, $ \cos(2 \cdot (-\frac{\pi}{2})) = \cos(-\pi) = -1 $ и $ \sin(-\frac{\pi}{2}) = -1 $:

$ \sqrt{2 \cdot 0 - a \cdot (-1)} = -(-1) $

$ \sqrt{a} = 1 $

Отсюда, с учетом области определения корня ($ a \ge 0 $), получаем $ a = 1 $.

Теперь решим уравнение при $ a = 1 $:

$ \sqrt{2 \sin 2x - \cos 2x} = -\sin x $

Данное уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} 2 \sin 2x - \cos 2x = (-\sin x)^2 = \sin^2 x \\ -\sin x \ge 0 \implies \sin x \le 0 \end{cases} $

Решим первое уравнение системы. Используем формулы двойного угла $ \sin 2x = 2\sin x \cos x $ и $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $:

$ 2(2\sin x \cos x) - (1 - 2\sin^2 x) = \sin^2 x $

$ 4\sin x \cos x - 1 + 2\sin^2 x - \sin^2 x = 0 $

$ \sin^2 x + 4\sin x \cos x - 1 = 0 $

Заменим $ -1 $ на $ -(\sin^2 x + \cos^2 x) $:

$ \sin^2 x + 4\sin x \cos x - (\sin^2 x + \cos^2 x) = 0 $

$ 4\sin x \cos x - \cos^2 x = 0 $

$ \cos x (4\sin x - \cos x) = 0 $

Это уравнение распадается на два:

1) $ \cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} $.

2) $ 4\sin x - \cos x = 0 $. Разделив на $ \cos x \ne 0 $, получим:

$ 4\tan x - 1 = 0 \implies \tan x = \frac{1}{4} \implies x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi n, n \in \mathbb{Z} $.

Теперь отберем корни с учетом условия $ \sin x \le 0 $.

Для первой серии корней $ x = \frac{\pi}{2} + \pi k $: условие $ \sin x \le 0 $ выполняется, когда $ \sin x = -1 $. Это происходит при $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Для второй серии корней $ x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi n $: так как $ \tan x = \frac{1}{4} > 0 $, угол $ x $ находится в I или III координатной четверти. Условие $ \sin x \le 0 $ выполняется в III и IV четвертях. Следовательно, угол $ x $ должен находиться в III четверти. Этому условию соответствуют корни, когда к $ \arctan(\frac{1}{4}) $ (угол из I четверти) прибавляется $ \pi $ и его полные обороты. То есть, $ x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi + 2\pi m, m \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ a=1; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, \quad x = \arctan(\frac{1}{4}) + \pi + 2\pi m, \quad m \in \mathbb{Z} $.

15.35 При каких значениях параметра $a$ уравнение:

а) $\sqrt{x+1} = x+a$;

б) $\sqrt{x+a} = x+3$

имеет единственный корень?

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{x+1} = x+a$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $x+a \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат при условии $x+a \ge 0$:

$x+1 = (x+a)^2$

$x+1 = x^2 + 2ax + a^2$

$x^2 + (2a-1)x + (a^2-1) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Количество его корней зависит от знака дискриминанта $D$.

$D = (2a-1)^2 - 4(a^2-1) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 4 = 5-4a$.

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: $D=0$.

Квадратное уравнение имеет один корень. Это соответствует случаю, когда прямая $y=x+a$ касается графика функции $y=\sqrt{x+1}$.

$5-4a = 0 \implies a = \frac{5}{4}$.

При этом значении $a$ корень уравнения: $x = -\frac{2a-1}{2} = \frac{1-2a}{2} = \frac{1-2(5/4)}{2} = \frac{1-5/2}{2} = -\frac{3}{4}$.

Проверим, удовлетворяет ли этот корень условиям ОДЗ:

• $x \ge -1 \implies -3/4 \ge -1$. Верно.
• $x+a \ge 0 \implies -3/4 + 5/4 = 2/4 = 1/2 \ge 0$. Верно.

Следовательно, при $a=5/4$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: $D>0$.

$5-4a > 0 \implies a < 5/4$.

Квадратное уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \frac{1-2a \pm \sqrt{5-4a}}{2}$.

Для того чтобы исходное уравнение имело единственный корень, только один из этих двух корней должен удовлетворять условиям ОДЗ, в частности условию $x+a \ge 0$.

Проверим условие $x+a \ge 0$ для каждого корня:

$x+a = \frac{1-2a \pm \sqrt{5-4a}}{2} + a = \frac{1-2a \pm \sqrt{5-4a} + 2a}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5-4a}}{2}$.

Для корня $x_2$ (со знаком «+»): $x_2+a = \frac{1+\sqrt{5-4a}}{2}$. Так как $a < 5/4$, $\sqrt{5-4a}>0$, значит $x_2+a>0$ всегда.

Для корня $x_1$ (со знаком «-»): $x_1+a = \frac{1-\sqrt{5-4a}}{2}$.

Выражение $x_1+a$ будет отрицательным, если $1 < \sqrt{5-4a}$, что эквивалентно $1 < 5-4a$, то есть $4a < 4$, или $a<1$.

Таким образом, если $a < 1$, то корень $x_1$ является посторонним ($x_1+a < 0$), а для корня $x_2$ выполняется условие $x_2+a > 0$. Необходимо еще проверить для $x_2$ условие $x_2 \ge -1$. Неравенство $\frac{1-2a+\sqrt{5-4a}}{2} \ge -1$ равносильно $\sqrt{5-4a} \ge 2a-3$. При $a<1$ правая часть $2a-3$ отрицательна, а левая неотрицательна, поэтому неравенство всегда верно. Значит, при $a<1$ есть ровно один корень.

Если $1 \le a < 5/4$, то $1-\sqrt{5-4a} \ge 0$, и оба корня $x_1, x_2$ удовлетворяют условию $x+a \ge 0$. Проверка показывает, что они также удовлетворяют условию $x \ge -1$, следовательно, при $1 \le a < 5/4$ уравнение имеет два корня.

Случай 3: $D<0$.

$5-4a < 0 \implies a > 5/4$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, значит и исходное уравнение не имеет корней.

Объединяя результаты, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=5/4$ и при $a<1$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1) \cup \{5/4\}$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{x+a} = x+3$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

1. $x+a \ge 0 \implies x \ge -a$.
2. $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Возводим обе части в квадрат при $x+3 \ge 0$:

$x+a = (x+3)^2$

$x+a = x^2+6x+9$

$x^2+5x+(9-a) = 0$

Это квадратное уравнение. Его дискриминант $D = 5^2 - 4(9-a) = 25 - 36 + 4a = 4a-11$.

Уравнение имеет действительные корни при $D \ge 0$, то есть $4a-11 \ge 0 \implies a \ge 11/4$.

Случай 1: $D=0$.

Уравнение имеет один корень при $a = 11/4$.

Корень $x = -5/2 = -2.5$.

Проверим условия ОДЗ:

• $x \ge -3 \implies -2.5 \ge -3$. Верно.
• $x \ge -a \implies -2.5 \ge -11/4 \implies -2.5 \ge -2.75$. Верно.

При $a=11/4$ уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: $D>0$.

$4a-11 > 0 \implies a > 11/4$.

Квадратное уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{4a-11}}{2}$.

Чтобы исходное уравнение имело один корень, только один из этих корней должен удовлетворять обоим условиям ОДЗ.

Проверим условие $x+3 \ge 0$. Для корней $x_{1,2}$ имеем $x_{1,2}+3 = \frac{1 \pm \sqrt{4a-11}}{2}$.

Для $x_2$ (со знаком «+»): $x_2+3 = \frac{1+\sqrt{4a-11}}{2} > 0$ всегда, так как $a > 11/4$.

Для $x_1$ (со знаком «-»): $x_1+3 = \frac{1-\sqrt{4a-11}}{2}$. Это выражение будет отрицательным, если $1 < \sqrt{4a-11}$, что равносильно $1 < 4a-11$, или $12 < 4a$, то есть $a>3$.

Если $a>3$, то корень $x_1$ является посторонним ($x_1+3 < 0$). Остается только корень $x_2$, который удовлетворяет $x_2+3 \ge 0$. Проверим для него второе условие $x_2 \ge -a$.

$\frac{-5+\sqrt{4a-11}}{2} \ge -a \iff \sqrt{4a-11} \ge 5-2a$.

При $a>3$ правая часть $5-2a$ отрицательна, а левая неотрицательна, поэтому неравенство выполняется всегда. Значит, при $a>3$ есть ровно один корень $x_2$.

Если $11/4 < a \le 3$, то оба корня $x_1, x_2$ удовлетворяют условию $x+3 \ge 0$. Проверка показывает, что они оба удовлетворяют и условию $x \ge -a$. Следовательно, в этом случае уравнение имеет два корня.

Случай 3: $D<0$.

$a < 11/4$. Действительных корней нет.

Объединяя результаты, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=11/4$ и при $a>3$.

Ответ: $a \in \{11/4\} \cup (3, +\infty)$.

15.36 При каких значениях параметра a уравнение:

а) $4^x - (5a - 3)2^x + 4a^2 - 3a = 0$ имеет единственный корень;

б) $9^x - 2(3a - 2)3^x + 5a^2 - 4a = 0$ имеет два различных корня?

а) Данное уравнение $4^x - (5a - 3)2^x + 4a^2 - 3a = 0$ является показательным. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция $y=2^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$. Уравнение принимает вид квадратного относительно $t$:
$t^2 - (5a - 3)t + 4a^2 - 3a = 0$.
Исходное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет ровно один положительный корень.
Найдем корни этого квадратного уравнения. Можно заметить, что свободный член $4a^2 - 3a$ раскладывается на множители $a(4a-3)$, а коэффициент при $t$ равен $-(5a-3) = -(a + (4a-3))$. По теореме Виета, корнями уравнения являются $t_1 = a$ и $t_2 = 4a - 3$.
Теперь рассмотрим случаи, когда ровно один из этих корней положителен.

1. Квадратное уравнение имеет один корень, и он положителен.
Это происходит, когда дискриминант равен нулю, то есть $t_1 = t_2$.
$a = 4a - 3 \implies 3a = 3 \implies a = 1$.
При $a=1$ корень уравнения $t = 1$. Так как $1 > 0$, это дает один корень для исходного уравнения: $2^x = 1 \implies x = 0$. Следовательно, $a=1$ является решением.

2. Квадратное уравнение имеет два различных корня, но только один из них положителен.
Это означает, что один корень положительный, а другой — отрицательный или равен нулю.

а) Один корень положителен, другой равен нулю. Это эквивалентно тому, что произведение корней равно нулю ($t_1 t_2 = 0$), а сумма корней положительна ($t_1 + t_2 > 0$).
$t_1 t_2 = a(4a-3) = 0 \implies a=0$ или $a=3/4$.
Если $a=0$, то корни $t_1=0, t_2=-3$. Оба корня не являются положительными. Решений для $x$ нет.
Если $a=3/4$, то корни $t_1=3/4, t_2=0$. Один корень ($3/4$) положителен. Это дает один корень для $x$: $2^x=3/4$. Следовательно, $a=3/4$ является решением.

б) Один корень положителен, другой отрицателен. Это эквивалентно тому, что их произведение отрицательно.
$t_1 t_2 = a(4a - 3) < 0$.
Решая неравенство, находим, что $a \in (0, 3/4)$.

Объединяя все найденные значения параметра $a$, получаем: $a=1$, $a=3/4$ и $a \in (0, 3/4)$.
Таким образом, итоговый интервал для $a$ есть $(0, 3/4] \cup \{1\}$.
Ответ: $a \in (0; 3/4] \cup \{1\}$.

б) Данное уравнение $9^x - 2(3a - 2)3^x + 5a^2 - 4a = 0$ является показательным. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как $t > 0$, уравнение примет вид:
$t^2 - 2(3a - 2)t + 5a^2 - 4a = 0$.
Исходное уравнение имеет два различных корня тогда и только тогда, когда это квадратное уравнение имеет два различных положительных корня. Для этого должны выполняться три условия одновременно:

1. Дискриминант должен быть строго больше нуля (два различных действительных корня): $D > 0$.
$D = (-2(3a - 2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (5a^2 - 4a) = 4(9a^2 - 12a + 4) - 20a^2 + 16a = 36a^2 - 48a + 16 - 20a^2 + 16a = 16a^2 - 32a + 16 = 16(a^2 - 2a + 1) = 16(a-1)^2$.
Условие $D > 0$ означает $16(a-1)^2 > 0$, что выполняется для всех $a$, кроме $a=1$. То есть $a \neq 1$.

2. Сумма корней должна быть положительна (по теореме Виета): $t_1 + t_2 > 0$.
$t_1 + t_2 = 2(3a - 2)$.
$2(3a - 2) > 0 \implies 3a - 2 > 0 \implies 3a > 2 \implies a > 2/3$.

3. Произведение корней должно быть положительно (по теореме Виета): $t_1 \cdot t_2 > 0$.
$t_1 \cdot t_2 = 5a^2 - 4a$.
$5a^2 - 4a > 0 \implies a(5a - 4) > 0$.
Корни выражения $a(5a - 4)$ равны $0$ и $4/5$. Это парабола ветвями вверх, поэтому неравенство выполняется при $a \in (-\infty, 0) \cup (4/5, \infty)$.

Теперь найдем пересечение всех трех условий:
$\begin{cases} a \neq 1 \\ a > 2/3 \\ a \in (-\infty, 0) \cup (4/5, \infty) \end{cases}$
Из второго и третьего условий следует, что $a$ должно быть одновременно больше $2/3$ и принадлежать объединению $(-\infty, 0) \cup (4/5, \infty)$. Так как $2/3 \approx 0.667$, а $4/5 = 0.8$, то пересечением будет интервал $a > 4/5$.
Теперь учтем первое условие: $a \neq 1$. Значение $a=1$ входит в интервал $a > 4/5$, поэтому его нужно исключить.
В итоге получаем $a \in (4/5, 1) \cup (1, \infty)$.
Ответ: $a \in (4/5; 1) \cup (1; \infty)$.

15.37 При каких значениях параметра b уравнение:

a) $\log_{2x+1}(3x^2 - bx - 0.25b) = 2$ имеет два различных корня;

б) $\log_{x-b}(0.75x^2 - x + b^2 - b) = 2$ имеет единственный корень?

а) Найдем значения параметра $b$, при которых уравнение $\log_{2x+1}(3x^2 - bx - 0.25b) = 2$ имеет два различных корня.

Данное логарифмическое уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}3x^2 - bx - 0.25b = (2x+1)^2 \\2x+1 > 0 \\2x+1 \neq 1\end{cases}$

Решим первое уравнение системы:

$3x^2 - bx - 0.25b = 4x^2 + 4x + 1$

$4x^2 - 3x^2 + 4x + bx + 1 + 0.25b = 0$

$x^2 + (4+b)x + (1 + 0.25b) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$.

Теперь рассмотрим ограничения на $x$ из области определения логарифма:

1. $2x+1 > 0 \Rightarrow 2x > -1 \Rightarrow x > -0.5$

2. $2x+1 \neq 1 \Rightarrow 2x \neq 0 \Rightarrow x \neq 0$

Задача сводится к тому, чтобы найти такие значения параметра $b$, при которых квадратное уравнение $x^2 + (4+b)x + (1 + 0.25b) = 0$ имеет два различных корня, и оба этих корня удовлетворяют условиям $x > -0.5$ и $x \neq 0$.

Для того чтобы квадратное уравнение имело два различных корня, его дискриминант $D$ должен быть строго больше нуля.

$D = (4+b)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (1 + 0.25b) = 16 + 8b + b^2 - 4 - b = b^2 + 7b + 12$

$D > 0 \Rightarrow b^2 + 7b + 12 > 0$

Найдем корни уравнения $b^2 + 7b + 12 = 0$. По теореме Виета, корни $b_1 = -4$ и $b_2 = -3$.

Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется при $b \in (-\infty, -4) \cup (-3, +\infty)$.

Теперь наложим условия, чтобы оба корня $x_1$ и $x_2$ были больше $-0.5$. Для параболы $f(x) = x^2 + (4+b)x + (1 + 0.25b)$ с ветвями вверх это равносильно выполнению двух условий:

1. Вершина параболы $x_v$ должна быть правее $-0.5$: $x_v = -\frac{4+b}{2} > -0.5 \Rightarrow -(4+b) > -1 \Rightarrow 4+b < 1 \Rightarrow b < -3$.

2. Значение функции в точке $-0.5$ должно быть положительным: $f(-0.5) > 0$.

$f(-0.5) = (-0.5)^2 + (4+b)(-0.5) + (1 + 0.25b) = 0.25 - 2 - 0.5b + 1 + 0.25b = -0.75 - 0.25b$

$-0.75 - 0.25b > 0 \Rightarrow -0.75 > 0.25b \Rightarrow -3 > b \Rightarrow b < -3$.

Объединим все условия для параметра $b$:

$\begin{cases}b \in (-\infty, -4) \cup (-3, +\infty) \\b < -3\end{cases}$

Пересечение этих множеств дает $b \in (-\infty, -4)$.

Наконец, проверим условие $x \neq 0$. Корень $x=0$ возможен, если свободный член квадратного уравнения равен нулю: $1 + 0.25b = 0 \Rightarrow 0.25b = -1 \Rightarrow b = -4$.

Так как найденный интервал $b \in (-\infty, -4)$ не включает точку $b=-4$, то при этих значениях $b$ корень $x=0$ невозможен.

Таким образом, при $b \in (-\infty, -4)$ уравнение имеет два различных корня, удовлетворяющих всем условиям.

Ответ: $b \in (-\infty, -4)$.

б) Найдем значения параметра $b$, при которых уравнение $\log_{x-b}(0.75x^2 - x + b^2 - b) = 2$ имеет единственный корень.

Уравнение равносильно системе:

$\begin{cases}0.75x^2 - x + b^2 - b = (x-b)^2 \\x-b > 0 \\x-b \neq 1\end{cases}$

Упростим первое уравнение:

$0.75x^2 - x + b^2 - b = x^2 - 2bx + b^2$

$0 = x^2 - 0.75x^2 - 2bx + x + b$

$0.25x^2 + (1-2b)x + b = 0$

Умножим на 4, чтобы избавиться от дроби:

$x^2 + 4(1-2b)x + 4b = 0$

Условия на $x$ (область определения): $x > b$ и $x \neq b+1$.

Задача сводится к поиску значений $b$, при которых квадратное уравнение $g(x) = x^2 + 4(1-2b)x + 4b = 0$ имеет ровно один корень, удовлетворяющий условиям $x>b$ и $x \neq b+1$.

Рассмотрим два основных случая.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень (дискриминант $D=0$), и этот корень удовлетворяет условиям.

$D = (4(1-2b))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4b) = 16(1-4b+4b^2) - 16b = 64b^2 - 80b + 16$

$D=0 \Rightarrow 64b^2 - 80b + 16 = 0 \Rightarrow 4b^2 - 5b + 1 = 0$.

Корни этого уравнения: $b_1 = \frac{5 - \sqrt{25-16}}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$ и $b_2 = \frac{5 + \sqrt{25-16}}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

При $D=0$ корень уравнения $x_0 = -\frac{4(1-2b)}{2} = 4b-2$.

Если $b = 1/4$, то $x_0 = 4(1/4)-2 = -1$. Проверяем условие $x>b$: $-1 > 1/4$. Неверно. Решений нет.

Если $b=1$, то $x_0 = 4(1)-2 = 2$. Проверяем условия: $x>b \Rightarrow 2>1$ (верно), $x \neq b+1 \Rightarrow 2 \neq 1+1$ (неверно). Решений нет.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня ($D>0$), но только один из них удовлетворяет условиям.

$D > 0 \Rightarrow 4b^2 - 5b + 1 > 0 \Rightarrow b \in (-\infty, 1/4) \cup (1, +\infty)$.

Чтобы ровно один корень удовлетворял условиям, рассмотрим, как корни $x_1, x_2$ расположены относительно $b$ и $b+1$.

Расположение относительно $b$ определяется знаком $g(b)$:$g(b) = b^2 + 4(1-2b)b + 4b = b^2 + 4b - 8b^2 + 4b = -7b^2 + 8b = -b(7b-8)$.

а) Один корень больше $b$, другой меньше $b$. Это происходит, когда $g(b)<0$ (т.к. ветви параболы вверх).

$-b(7b-8) < 0 \Rightarrow b(7b-8) > 0 \Rightarrow b \in (-\infty, 0) \cup (8/7, +\infty)$.

Совмещая с условием $D>0$, получаем $b \in (-\infty, 0) \cup (8/7, +\infty)$. В этом случае у нас есть один корень $x_{val} > b$ и один $x_{inv} < b$. Корень $x_{inv}$ не входит в ОДЗ. Единственным кандидатом в решения является $x_{val}$. Он будет решением, если $x_{val} \neq b+1$. Это условие нарушается, если $b+1$ является корнем, т.е. $g(b+1)=0$.

$g(b+1) = (b+1)^2 + 4(1-2b)(b+1) + 4b = -7b^2+2b+5 = 0$. Корни: $b=1$ и $b=-5/7$.Значение $b=1$ не входит в рассматриваемый диапазон. Значение $b=-5/7$ входит. При $b=-5/7$ один из корней равен $b+1 = 2/7$. Второй корень равен $-10$. Корень $x=-10 < -5/7$, он не подходит. Корень $x=2/7$ отбрасывается по условию $x \neq b+1$. Значит при $b=-5/7$ решений нет.Таким образом, в этом подслучае решения есть при $b \in (-\infty, -5/7) \cup (-5/7, 0) \cup (8/7, +\infty)$.

б) Один корень равен $b$. Это происходит, когда $g(b)=0$, то есть при $b=0$ или $b=8/7$.

При $b=0$, уравнение $x^2+4x=0$ имеет корни $x_1=0, x_2=-4$. Условие $x>b$ (т.е. $x>0$) не выполняется ни для одного из них. Решений нет.

При $b=8/7$, уравнение $x^2 - \frac{36}{7}x + \frac{32}{7}=0$ имеет корни $x_1=b=8/7$ и $x_2=4$. Корень $x_1=8/7$ не удовлетворяет условию $x>b$. Для корня $x_2=4$ проверяем условия: $4 > 8/7$ (верно) и $4 \neq 8/7+1 = 15/7$ (верно). Таким образом, при $b=8/7$ есть ровно один корень. Это значение $b$ является решением.

в) Оба корня больше $b$ или оба меньше $b$. Это происходит, когда $g(b)>0$, то есть $b \in (0, 8/7)$.

Совмещая с $D>0$, получаем $b \in (0, 1/4) \cup (1, 8/7)$.

Положение корней относительно $b$ определяется вершиной $x_v = 4b-2$.При $b \in (0, 1/4)$, $x_v < 4(1/4)-2 = -1 < b$. Оба корня меньше $b$. Решений нет.

При $b \in (1, 8/7)$, $x_v > 4(1)-2=2 > b$. Оба корня больше $b$. Чтобы решение было единственным, один из корней должен быть равен $b+1$. Это происходит, если $g(b+1)=0$, то есть при $b=1$. Но $b=1$ не входит в интервал $(1, 8/7)$. Значит, в этом диапазоне у уравнения всегда два различных решения. Решений для нашей задачи здесь нет.

Объединяем все найденные значения $b$:

Из подслучая а): $b \in (-\infty, -5/7) \cup (-5/7, 0) \cup (8/7, +\infty)$.

Из подслучая б): $b = 8/7$.

Объединяя эти множества, получаем окончательный ответ.

Ответ: $b \in (-\infty, -5/7) \cup (-5/7, 0) \cup [8/7, +\infty)$.

15.38 При каких значениях параметра a:

а) все $x > 3$ являются решениями неравенства

$(a - 2)x^2 - 2x - a > 0;$

б) все $x > 1,5$ являются решениями неравенства

$(a - 2)x^2 - 2x - 3a + 10 > 0?$

а) Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $(a - 2)x^2 - 2x - a > 0$ выполняется для всех $x > 3$. Обозначим левую часть неравенства как $f(x) = (a - 2)x^2 - 2x - a$.

Рассмотрим три случая в зависимости от знака коэффициента при $x^2$.

1. Случай $a - 2 = 0$, то есть $a = 2$.
Неравенство становится линейным: $-2x - 2 > 0$, что равносильно $2x < -2$, или $x < -1$.Множество решений $x \in (-\infty, -1)$ не содержит интервал $(3, +\infty)$. Следовательно, $a=2$ не является решением.

2. Случай $a - 2 < 0$, то есть $a < 2$.
График функции $f(x)$ — парабола, ветви которой направлены вниз. При $x \to +\infty$, значение $f(x) \to -\infty$. Таким образом, неравенство $f(x) > 0$ не может выполняться для всех $x$ из бесконечного интервала $(3, +\infty)$. Значит, при $a < 2$ решений нет.

3. Случай $a - 2 > 0$, то есть $a > 2$.
График функции $f(x)$ — парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $f(x) > 0$ выполняется для значений $x$ за пределами корней квадратного трехчлена. Найдем корни уравнения $(a - 2)x^2 - 2x - a = 0$.
Дискриминант $D = (-2)^2 - 4(a - 2)(-a) = 4 + 4a(a - 2) = 4 + 4a^2 - 8a = 4(a^2 - 2a + 1) = 4(a - 1)^2$.Поскольку $a > 2$, то $D > 0$, и уравнение всегда имеет два различных корня.$x_{1,2} = \frac{-(-2) \pm \sqrt{4(a-1)^2}}{2(a-2)} = \frac{2 \pm 2|a-1|}{2(a-2)}$.Так как $a > 2$, то $a-1 > 0$, и $|a-1| = a-1$.$x_1 = \frac{2 - 2(a-1)}{2(a-2)} = \frac{2 - 2a + 2}{2(a-2)} = \frac{4 - 2a}{2(a-2)} = \frac{-2(a-2)}{2(a-2)} = -1$.$x_2 = \frac{2 + 2(a-1)}{2(a-2)} = \frac{2a}{2(a-2)} = \frac{a}{a-2}$.Сравним корни: при $a > 2$, $\frac{a}{a-2} = \frac{a-2+2}{a-2} = 1 + \frac{2}{a-2} > 1$. Значит, $x_2 > x_1$.Решение неравенства $f(x) > 0$ есть объединение интервалов $(-\infty, -1) \cup (\frac{a}{a-2}, +\infty)$.По условию, все $x > 3$ должны быть решениями, то есть должно выполняться включение $(3, +\infty) \subseteq (-\infty, -1) \cup (\frac{a}{a-2}, +\infty)$.Это возможно только если $(3, +\infty) \subseteq (\frac{a}{a-2}, +\infty)$, что равносильно условию $\frac{a}{a-2} \le 3$.Решим это неравенство при условии $a > 2$:$\frac{a}{a-2} - 3 \le 0 \implies \frac{a - 3(a-2)}{a-2} \le 0 \implies \frac{a - 3a + 6}{a-2} \le 0 \implies \frac{6 - 2a}{a-2} \le 0$.$\frac{-2(a-3)}{a-2} \le 0 \implies \frac{a-3}{a-2} \ge 0$.Так как мы рассматриваем случай $a>2$, знаменатель $a-2$ положителен. Следовательно, числитель $a-3$ должен быть неотрицателен: $a-3 \ge 0$, то есть $a \ge 3$.Это значение удовлетворяет условию $a > 2$.

Ответ: $a \in [3, +\infty)$.

б) Требуется найти все значения параметра $a$, при которых неравенство $(a - 2)x^2 - 2x - 3a + 10 > 0$ выполняется для всех $x > 1.5$. Обозначим левую часть как $g(x) = (a - 2)x^2 - 2x - 3a + 10$.

Аналогично пункту а), случаи $a=2$ и $a<2$ не дают решений. Рассмотрим случай $a - 2 > 0$, то есть $a > 2$.График $g(x)$ — парабола с ветвями вверх. Положение ее вершины относительно точки $x=1.5$ определяет поведение функции на интервале $(1.5, +\infty)$.Координата вершины по оси абсцисс: $x_v = -\frac{-2}{2(a-2)} = \frac{1}{a-2}$.

Разобьем решение на два случая.

1. Вершина левее или в точке $x=1.5$: $x_v \le 1.5$.
$\frac{1}{a-2} \le 1.5$. Так как $a>2$, то $a-2 > 0$. Умножим обе части на $a-2$:$1 \le 1.5(a-2) \implies 1 \le 1.5a - 3 \implies 4 \le 1.5a \implies a \ge \frac{4}{1.5} = \frac{8}{3}$.В этом случае ($a \ge 8/3$) функция $g(x)$ возрастает на промежутке $[1.5, +\infty)$. Для выполнения условия $g(x) > 0$ при $x > 1.5$ достаточно, чтобы $g(1.5) \ge 0$.$g(1.5) = g(3/2) = (a-2)(3/2)^2 - 2(3/2) - 3a + 10 = \frac{9}{4}(a-2) - 3 - 3a + 10 = \frac{9}{4}a - \frac{9}{2} - 3a + 7 = -\frac{3}{4}a + \frac{5}{2}$.Решим неравенство $g(1.5) \ge 0$:$-\frac{3}{4}a + \frac{5}{2} \ge 0 \implies \frac{5}{2} \ge \frac{3}{4}a \implies 10 \ge 3a \implies a \le \frac{10}{3}$.Объединяя условия этого случая, получаем $a \in [8/3, 10/3]$.

2. Вершина правее точки $x=1.5$: $x_v > 1.5$.
$\frac{1}{a-2} > 1.5 \implies 1 > 1.5a - 3 \implies 4 > 1.5a \implies a < 8/3$.С учетом $a>2$, этот случай соответствует $2 < a < 8/3$.Здесь минимум функции на луче $[1.5, +\infty)$ достигается в вершине $x_v$. Условие $g(x) > 0$ будет выполнено, если $g(x_v) > 0$.Значение функции в вершине $g(x_v) = -\frac{D}{4A}$, где $A=a-2$, а $D$ — дискриминант.$D = (-2)^2 - 4(a-2)(-3a+10) = 4 - 4(-3a^2 + 10a + 6a - 20) = 4(-3a^2+16a-20) + 4 = 12a^2 - 64a + 84 = 4(3a^2 - 16a + 21)$.$g(x_v) = -\frac{4(3a^2 - 16a + 21)}{4(a-2)} = -\frac{3a^2 - 16a + 21}{a-2}$.Требуем $g(x_v) > 0$: $-\frac{3a^2 - 16a + 21}{a-2} > 0$.Так как $a-2 > 0$, это равносильно $-(3a^2 - 16a + 21) > 0$, или $3a^2 - 16a + 21 < 0$.Найдем корни уравнения $3a^2 - 16a + 21 = 0$: $a = \frac{16 \pm \sqrt{16^2 - 4 \cdot 3 \cdot 21}}{2 \cdot 3} = \frac{16 \pm \sqrt{256 - 252}}{6} = \frac{16 \pm 2}{6}$.Корни $a_1 = \frac{14}{6} = \frac{7}{3}$ и $a_2 = \frac{18}{6} = 3$.Неравенство $3a^2 - 16a + 21 < 0$ выполняется между корнями: $a \in (7/3, 3)$.Пересекая с условием этого случая $a \in (2, 8/3)$, получаем $a \in (7/3, 8/3)$.

Итоговое решение — это объединение результатов двух случаев:$a \in [8/3, 10/3] \cup (7/3, 8/3)$.Объединяя эти множества, получаем $a \in (7/3, 10/3]$.

Ответ: $a \in (7/3, 10/3]$.