Страница 373 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

15.39 При каких значениях параметра a неравенство:

a) $\sqrt{x^2 - 10x + 26} \ge \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8}$ выполняется для всех x;

б) $\sqrt{x^2 + 8x + 20} \le \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8}$ не имеет решений?

а)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x^2 - 10x + 26} \ge \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8}$. Оно должно выполняться для всех значений $x$.

Проанализируем левую часть неравенства. Обозначим ее как $f(x) = \sqrt{x^2 - 10x + 26}$.

Для того чтобы найти множество значений функции $f(x)$, выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

$x^2 - 10x + 26 = (x^2 - 10x + 25) + 1 = (x - 5)^2 + 1$.

Поскольку выражение $(x-5)^2$ неотрицательно для любого действительного $x$ (т.е. $(x-5)^2 \ge 0$), минимальное значение подкоренного выражения $(x-5)^2 + 1$ равно $1$ и достигается при $x=5$.

Следовательно, минимальное значение левой части неравенства, функции $f(x)$, равно $\sqrt{1} = 1$. Множество значений функции $f(x)$ есть $[1, +\infty)$.

Для того чтобы неравенство $f(x) \ge C(a)$ (где $C(a) = \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8}$ — правая часть, не зависящая от $x$) выполнялось для всех $x$, необходимо и достаточно, чтобы правая часть была не больше минимального значения левой части.

То есть, должно выполняться условие: $\frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} \le 1$.

Прежде всего, определим область допустимых значений параметра $a$. Знаменатель дроби не должен быть равен нулю:

$a^2 - 2a - 8 \ne 0$.

Решая квадратное уравнение $a^2 - 2a - 8 = 0$, находим корни $a_1 = 4$ и $a_2 = -2$. Таким образом, ОДЗ для $a$: $a \ne 4$ и $a \ne -2$.

Теперь решим неравенство для $a$:

$\frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} - 1 \le 0$

Приведем к общему знаменателю:

$\frac{(2a^2 - 4a - 3) - (a^2 - 2a - 8)}{a^2 - 2a - 8} \le 0$

$\frac{2a^2 - 4a - 3 - a^2 + 2a + 8}{a^2 - 2a - 8} \le 0$

$\frac{a^2 - 2a + 5}{a^2 - 2a - 8} \le 0$

Рассмотрим числитель $a^2 - 2a + 5$. Его дискриминант $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16$. Так как $D < 0$ и старший коэффициент $1 > 0$, выражение $a^2 - 2a + 5$ всегда положительно при любых значениях $a$.

Поскольку числитель всегда положителен, знак дроби определяется знаком знаменателя. Для выполнения неравенства знаменатель должен быть строго отрицательным (равенство нулю невозможно, так как числитель не равен нулю):

$a^2 - 2a - 8 < 0$.

Корни этого квадратного трехчлена: $a_1 = 4$ и $a_2 = -2$. Так как это парабола с ветвями вверх, она принимает отрицательные значения между корнями.

Следовательно, $-2 < a < 4$. Этот интервал не включает значения $-2$ и $4$, поэтому он полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $a \in (-2, 4)$.

б)

Рассмотрим неравенство $\sqrt{x^2 + 8x + 20} \le \frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8}$. Требуется найти значения параметра $a$, при которых это неравенство не имеет решений.

Проанализируем левую часть неравенства. Обозначим ее как $g(x) = \sqrt{x^2 + 8x + 20}$.

Выделим полный квадрат в подкоренном выражении:

$x^2 + 8x + 20 = (x^2 + 8x + 16) + 4 = (x + 4)^2 + 4$.

Поскольку $(x+4)^2 \ge 0$ для любого $x$, минимальное значение подкоренного выражения $(x+4)^2 + 4$ равно $4$ и достигается при $x=-4$.

Следовательно, минимальное значение левой части неравенства, функции $g(x)$, равно $\sqrt{4} = 2$. Множество значений функции $g(x)$ есть $[2, +\infty)$.

Неравенство $g(x) \le C(a)$ (где $C(a)$ — правая часть) не будет иметь решений, если правая часть $C(a)$ будет строго меньше, чем любое возможное значение левой части $g(x)$. Для этого достаточно, чтобы $C(a)$ было строго меньше минимального значения $g(x)$.

То есть, должно выполняться условие: $\frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} < 2$.

Область допустимых значений параметра $a$ та же, что и в пункте а): $a \ne 4$ и $a \ne -2$.

Решим полученное неравенство для $a$:

$\frac{2a^2 - 4a - 3}{a^2 - 2a - 8} - 2 < 0$

$\frac{(2a^2 - 4a - 3) - 2(a^2 - 2a - 8)}{a^2 - 2a - 8} < 0$

$\frac{2a^2 - 4a - 3 - 2a^2 + 4a + 16}{a^2 - 2a - 8} < 0$

$\frac{13}{a^2 - 2a - 8} < 0$

Поскольку числитель $13$ положителен, для выполнения этого неравенства знаменатель должен быть отрицательным:

$a^2 - 2a - 8 < 0$.

Решение этого неравенства, как мы выяснили в пункте а), есть интервал $(-2, 4)$.

При $a \in (-2, 4)$ правая часть исходного неравенства будет строго меньше 2, в то время как левая часть всегда больше или равна 2. Таким образом, неравенство $\sqrt{x^2+8x+20} \le C(a)$ не будет иметь решений.

Ответ: $a \in (-2, 4)$.

15.40 Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство:

a) $a^2 + a - \sin^2 x - 2a \cos x > 1$;

б) $|3 \sin^2 x + 2a \sin x \cos x + \cos^2 x + a| \le 3$

выполняется для любого значения $x$.

а)

Рассмотрим неравенство $a^2 + a - \sin^2 x - 2a \cos x > 1$. Оно должно выполняться для любого значения $x$.

Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$, чтобы выразить неравенство через $\cos x$:

$a^2 + a - (1 - \cos^2 x) - 2a \cos x > 1$

$a^2 + a - 1 + \cos^2 x - 2a \cos x > 1$

Перенесем все члены в левую часть и сгруппируем их относительно $\cos x$:

$\cos^2 x - 2a \cos x + a^2 + a - 2 > 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Поскольку область значений косинуса — отрезок $[-1, 1]$, то $t \in [-1, 1]$.

Теперь задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $a$, при которых квадратное неравенство $f(t) > 0$ выполняется для всех $t \in [-1, 1]$, где $f(t) = t^2 - 2at + (a^2 + a - 2)$.

График функции $f(t)$ — парабола с ветвями, направленными вверх. Её наименьшее значение на отрезке $[-1, 1]$ должно быть больше нуля. Положение вершины параболы $t_v = -(-2a) / (2 \cdot 1) = a$ определяет, где достигается минимум.

Рассмотрим три случая:

1. Вершина параболы находится левее отрезка $[-1, 1]$, то есть $a < -1$.

В этом случае функция $f(t)$ возрастает на отрезке $[-1, 1]$, и её наименьшее значение достигается в точке $t = -1$.

Требуем, чтобы $f(-1) > 0$:

$f(-1) = (-1)^2 - 2a(-1) + a^2 + a - 2 = 1 + 2a + a^2 + a - 2 = a^2 + 3a - 1 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 + 3a - 1 = 0$: $a = \frac{-3 \pm \sqrt{9 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{13}}{2}$.

Неравенство $a^2 + 3a - 1 > 0$ выполняется при $a < \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$ или $a > \frac{-3 + \sqrt{13}}{2}$.

Учитывая условие $a < -1$, получаем $a < \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}$ (так как $\frac{-3 + \sqrt{13}}{2} \approx \frac{-3+3.6}{2} = 0.3 > -1$).

2. Вершина параболы находится на отрезке $[-1, 1]$, то есть $-1 \le a \le 1$.

В этом случае наименьшее значение функции $f(t)$ на отрезке достигается в вершине $t = a$.

Требуем, чтобы $f(a) > 0$:

$f(a) = a^2 - 2a(a) + a^2 + a - 2 = a^2 - 2a^2 + a^2 + a - 2 = a - 2 > 0$.

Отсюда $a > 2$. Однако это противоречит условию $-1 \le a \le 1$. Следовательно, в этом случае решений нет.

3. Вершина параболы находится правее отрезка $[-1, 1]$, то есть $a > 1$.

В этом случае функция $f(t)$ убывает на отрезке $[-1, 1]$, и её наименьшее значение достигается в точке $t = 1$.

Требуем, чтобы $f(1) > 0$:

$f(1) = 1^2 - 2a(1) + a^2 + a - 2 = 1 - 2a + a^2 + a - 2 = a^2 - a - 1 > 0$.

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - a - 1 = 0$: $a = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Неравенство $a^2 - a - 1 > 0$ выполняется при $a < \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$ или $a > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$.

Учитывая условие $a > 1$, получаем $a > \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ (так как $\frac{1 - \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1-2.23}{2} = -0.615 < 1$ и $\frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx \frac{1+2.23}{2} = 1.615 > 1$).

Объединяя решения из всех случаев, получаем искомые значения параметра $a$.

Ответ: $a \in (-\infty; \frac{-3 - \sqrt{13}}{2}) \cup (\frac{1 + \sqrt{5}}{2}; +\infty)$

б)

Рассмотрим неравенство $|3\sin^2 x + 2a \sin x \cos x + \cos^2 x + a| \le 3$. Оно должно выполняться для любого значения $x$.

Это неравенство равносильно двойному неравенству:

$-3 \le 3\sin^2 x + 2a \sin x \cos x + \cos^2 x + a \le 3$

Преобразуем выражение в середине, используя формулы двойного угла: $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$, $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = 1 - 2\sin^2 x = 2\cos^2 x - 1$. Отсюда $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ и $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

Пусть $E(x) = 3\sin^2 x + 2a \sin x \cos x + \cos^2 x + a$.

$E(x) = 3(\frac{1 - \cos(2x)}{2}) + a \sin(2x) + (\frac{1 + \cos(2x)}{2}) + a$

$E(x) = \frac{3 - 3\cos(2x) + 1 + \cos(2x)}{2} + a \sin(2x) + a$

$E(x) = \frac{4 - 2\cos(2x)}{2} + a \sin(2x) + a$

$E(x) = 2 - \cos(2x) + a \sin(2x) + a$

Сгруппируем члены с $x$:

$E(x) = a \sin(2x) - \cos(2x) + a + 2$

Неравенство принимает вид:

$-3 \le a \sin(2x) - \cos(2x) + a + 2 \le 3$

Вычтем из всех частей $a+2$:

$-5 - a \le a \sin(2x) - \cos(2x) \le 1 - a$

Рассмотрим выражение $F(x) = a \sin(2x) - \cos(2x)$. Его можно представить в виде $R \sin(2x + \phi)$, где $R = \sqrt{a^2 + (-1)^2} = \sqrt{a^2+1}$.

Область значений функции $F(x)$ — это отрезок $[-\sqrt{a^2+1}, \sqrt{a^2+1}]$.

Чтобы неравенство $-5 - a \le F(x) \le 1 - a$ выполнялось для всех $x$, необходимо и достаточно, чтобы вся область значений функции $F(x)$ содержалась в отрезке $[-5-a, 1-a]$. Это эквивалентно системе двух неравенств:

$\begin{cases} -\sqrt{a^2+1} \ge -5 - a \\ \sqrt{a^2+1} \le 1 - a \end{cases}$

Решим первое неравенство: $-\sqrt{a^2+1} \ge -5 - a \Leftrightarrow \sqrt{a^2+1} \le a+5$.

Это неравенство имеет решения только если $a+5 \ge 0$, то есть $a \ge -5$. При этом условии можно возвести обе части в квадрат:

$a^2+1 \le (a+5)^2$

$a^2+1 \le a^2+10a+25$

$-24 \le 10a \Leftrightarrow a \ge -2.4$

Пересекая с условием $a \ge -5$, получаем $a \ge -2.4$.

Решим второе неравенство: $\sqrt{a^2+1} \le 1 - a$.

Это неравенство имеет решения только если $1-a \ge 0$, то есть $a \le 1$. При этом условии можно возвести обе части в квадрат:

$a^2+1 \le (1-a)^2$

$a^2+1 \le 1-2a+a^2$

$0 \le -2a \Leftrightarrow 2a \le 0 \Leftrightarrow a \le 0$.

Пересекая с условием $a \le 1$, получаем $a \le 0$.

Теперь найдем пересечение решений обоих неравенств системы:

$\begin{cases} a \ge -2.4 \\ a \le 0 \end{cases}$

Решением системы является отрезок $[-2.4, 0]$.

Ответ: $a \in [-2.4; 0]$

15.41 Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых множество всех решений неравенства $(p - x)^2(p + x - 2) < 0$ не содержит ни одного решения неравенства $x^2 \le 1$.

Пусть $M_1$ — множество решений неравенства $(p - x)^2(p + x - 2) < 0$, а $M_2$ — множество решений неравенства $x^2 \le 1$.

Сначала найдем множество $M_2$:$x^2 \le 1 \iff -1 \le x \le 1$.Таким образом, $M_2 = [-1, 1]$.

По условию задачи, множество $M_1$ не должно содержать ни одного решения из множества $M_2$. Это означает, что их пересечение должно быть пустым: $M_1 \cap M_2 = \emptyset$.

Это равносильно тому, что ни одно число из отрезка $[-1, 1]$ не является решением первого неравенства. То есть, для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$ должно выполняться неравенство, противоположное исходному:$(p - x)^2(p + x - 2) \ge 0$.

Проанализируем это неравенство. Множитель $(p - x)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(p-x)^2 \ge 0$ при любых $x$ и $p$. Поэтому знак левой части неравенства зависит от знака множителя $(p + x - 2)$.Неравенство $(p - x)^2(p + x - 2) \ge 0$ выполняется в двух случаях:
1. Если $p + x - 2 \ge 0$.
2. Если $p - x = 0$, то есть $x=p$, тогда неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$.

Таким образом, для всех $x \in [-1, 1]$ должно выполняться хотя бы одно из условий: $p + x - 2 \ge 0$ или $x = p$.

Рассмотрим функцию $g(x) = p + x - 2$ на отрезке $[-1, 1]$. Эта функция является линейной и возрастающей, так как коэффициент при $x$ положителен. Следовательно, свое наименьшее значение на отрезке $[-1, 1]$ функция $g(x)$ принимает при $x = -1$.$g_{min} = g(-1) = p - 1 - 2 = p - 3$.

Если наименьшее значение функции $g(x)$ на отрезке $[-1, 1]$ неотрицательно, то есть $g_{min} \ge 0$, то условие $p + x - 2 \ge 0$ будет выполняться для всех $x \in [-1, 1]$.$p - 3 \ge 0 \implies p \ge 3$.При $p \ge 3$ условие задачи выполняется, так как для любого $x \in [-1, 1]$ выполняется $p+x-2 \ge p-1 \ge 3-1 = 2 > 0$.

Если же наименьшее значение функции $g(x)$ на отрезке $[-1, 1]$ отрицательно, то есть $p - 3 < 0 \implies p < 3$, то на отрезке $[-1, 1]$ существуют значения $x$, для которых $p + x - 2 < 0$. Для всех таких $x$ должно выполняться условие $x = p$.Это означает, что множество $A = \{x \in [-1, 1] \mid p + x - 2 < 0\}$ должно быть подмножеством множества $\{p\}$, то есть $A \subseteq \{p\}$.

Найдем множество $A$:$A = \{x \in [-1, 1] \mid x < 2 - p\} = [-1, 1] \cap (-\infty, 2-p)$.Поскольку мы рассматриваем случай $p < 3$, то $2 - p > 2 - 3 = -1$.Так как правая граница интервала $(-\infty, 2-p)$ больше, чем левая граница отрезка $[-1, 1]$, их пересечение непусто. Множество $A$ представляет собой полуинтервал $A = [-1, \min(1, 2-p))$.Такой полуинтервал содержит бесконечное число точек, за исключением случая, когда он пуст, но, как мы показали, он не пуст при $p<3$. Множество, содержащее бесконечное число точек, не может быть подмножеством множества $\{p\}$, которое содержит только один элемент.Следовательно, при $p < 3$ условие задачи не выполняется.

Объединяя полученные результаты, приходим к выводу, что условию задачи удовлетворяют все значения параметра $p \ge 3$.

Ответ: $p \in [3, +\infty)$.

15.42 Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых неравенство $x + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < -7a$ не имеет решений $x$, больших 1.

Исходное неравенство: $x + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < -7a$.

Область допустимых значений для $x$ определяется условием $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Перенесем все члены неравенства в левую часть и приведем к общему знаменателю:

$x + 7a + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < 0$

$\frac{(x + 7a)(x - 2) + 7a^2 - a - 2}{x - 2} < 0$

$\frac{x^2 - 2x + 7ax - 14a + 7a^2 - a - 2}{x - 2} < 0$

$\frac{x^2 + (7a - 2)x + (7a^2 - 15a - 2)}{x - 2} < 0$

Обозначим числитель дроби как квадратичную функцию от $x$: $P(x) = x^2 + (7a - 2)x + (7a^2 - 15a - 2)$.

Неравенство принимает вид $\frac{P(x)}{x - 2} < 0$.

По условию задачи, это неравенство не должно иметь решений $x$, больших 1. Это означает, что для любого $x \in (1, +\infty)$ данное неравенство неверно. Таким образом, для всех $x \in (1, +\infty)$ (кроме $x=2$) должно выполняться противоположное неравенство:

$\frac{P(x)}{x - 2} \geq 0$

Рассмотрим это условие на двух интервалах, на которые точка $x=2$ делит область $x > 1$.

1. Интервал (1, 2)

На этом интервале знаменатель $x - 2$ отрицателен. Чтобы дробь $\frac{P(x)}{x - 2}$ была неотрицательной, числитель $P(x)$ должен быть неположительным.

Итак, для всех $x \in (1, 2)$ должно выполняться $P(x) \leq 0$.

Так как $P(x)$ — непрерывная функция (парабола), это означает, что на концах интервала должно быть $P(1) \leq 0$ и $P(2) \leq 0$.

2. Интервал (2, +∞)

На этом интервале знаменатель $x - 2$ положителен. Чтобы дробь $\frac{P(x)}{x - 2}$ была неотрицательной, числитель $P(x)$ должен быть неотрицательным.

Итак, для всех $x \in (2, +\infty)$ должно выполняться $P(x) \geq 0$.

Так как $P(x)$ — непрерывная функция, это означает, что $P(2) \geq 0$.

Объединение условий

Из двух полученных условий, $P(2) \leq 0$ и $P(2) \geq 0$, следует, что $P(2)$ может быть только равен нулю:

$P(2) = 0$

Найдем значение $P(2)$:

$P(2) = 2^2 + (7a - 2) \cdot 2 + (7a^2 - 15a - 2) = 4 + 14a - 4 + 7a^2 - 15a - 2 = 7a^2 - a - 2$.

Приравниваем это выражение к нулю:

$7a^2 - a - 2 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $a$:

Дискриминант $D_a = (-1)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-2) = 1 + 56 = 57$.

Корни: $a_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{57}}{2 \cdot 7} = \frac{1 \pm \sqrt{57}}{14}$.

Теперь нужно проверить, выполняются ли при этих значениях $a$ остальные условия. Если $P(2)=0$, то $x=2$ является корнем числителя. Это означает, что в выражении $\frac{P(x)}{x-2}$ можно сократить множитель $(x-2)$.

Когда $7a^2 - a - 2 = 0$, исходное неравенство $x + \frac{7a^2 - a - 2}{x - 2} < -7a$ упрощается:

$x + \frac{0}{x - 2} < -7a$

$x < -7a$ (при условии $x \neq 2$)

Множество решений этого неравенства: $S = (-\infty, -7a) \setminus \{2\}$.

По условию задачи, это множество не должно содержать чисел $x$, больших 1. То есть пересечение $S \cap (1, +\infty)$ должно быть пустым.

Это возможно только в том случае, если верхняя граница множества решений $S$ не превышает 1, то есть:

$-7a \leq 1$

$a \geq -\frac{1}{7}$

Теперь выберем из найденных корней $a_1, a_2$ те, которые удовлетворяют условию $a \geq -\frac{1}{7}$.

Проверка корней

1. $a_1 = \frac{1 - \sqrt{57}}{14}$. Сравним это значение с $-\frac{1}{7} = -\frac{2}{14}$.

$\frac{1 - \sqrt{57}}{14} \geq -\frac{2}{14}$

$1 - \sqrt{57} \geq -2$

$3 \geq \sqrt{57}$

$9 \geq 57$

Это неравенство ложно, следовательно, $a_1$ не является решением.

2. $a_2 = \frac{1 + \sqrt{57}}{14}$. Сравним это значение с $-\frac{1}{7}$.

Так как $\sqrt{57} > 0$, то $1 + \sqrt{57} > 0$, и, следовательно, $a_2 = \frac{1 + \sqrt{57}}{14} > 0$. Любое положительное число больше отрицательного, поэтому $a_2 > -\frac{1}{7}$.

Это неравенство истинно, следовательно, $a_2$ является решением.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, удовлетворяющее условию задачи, это $a = \frac{1 + \sqrt{57}}{14}$.

Ответ: $a = \frac{1 + \sqrt{57}}{14}$.

15.43 Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых множество решений неравенства $2x^2 - 3x + a + 12 \le 0$ не пусто и содержится среди решений неравенства $x^2 + 10x + a \le 0$.

Обозначим $S_1$ — множество решений неравенства $2x^2 - 3x + a + 12 \le 0$, а $S_2$ — множество решений неравенства $x^2 + 10x + a \le 0$. В задаче требуется найти все значения параметра $a$, при которых множество $S_1$ непусто и содержится в множестве $S_2$.

Сначала рассмотрим условие, при котором множество $S_1$ непусто. Неравенство $2x^2 - 3x + a + 12 \le 0$ задает параболу с ветвями, направленными вверх. Множество решений такого неравенства непусто тогда и только тогда, когда соответствующее квадратное уравнение $2x^2 - 3x + a + 12 = 0$ имеет действительные корни. Это означает, что его дискриминант $D_1$ должен быть неотрицательным.$D_1 = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (a + 12) = 9 - 8(a + 12) = 9 - 8a - 96 = -8a - 87$.Из условия $D_1 \ge 0$ получаем:$-8a - 87 \ge 0 \implies -8a \ge 87 \implies a \le -\frac{87}{8}$.При выполнении этого условия множество $S_1$ представляет собой отрезок $[x_1, x_2]$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $2x^2 - 3x + a + 12 = 0$.

Теперь рассмотрим условие вложенности $S_1 \subseteq S_2$. Это означает, что каждое решение первого неравенства должно являться решением второго неравенства $x^2 + 10x + a \le 0$.Пусть $f(x) = 2x^2 - 3x + a + 12$ и $g(x) = x^2 + 10x + a$.Условие $S_1 \subseteq S_2$, где $S_1 = [x_1, x_2]$, а $S_2$ — множество решений $g(x) \le 0$, для параболы $g(x)$ с ветвями вверх эквивалентно выполнению неравенств $g(x_1) \le 0$ и $g(x_2) \le 0$.

Поскольку $x_1$ и $x_2$ являются корнями уравнения $f(x)=0$, для них выполняется равенство $2x^2 - 3x + a + 12 = 0$. Отсюда можно выразить параметр $a$: $a = -2x^2 + 3x - 12$.Подставим это выражение для $a$ в неравенство $g(x) \le 0$, которое должно выполняться для $x_1$ и $x_2$:$x^2 + 10x + (-2x^2 + 3x - 12) \le 0$$-x^2 + 13x - 12 \le 0$$x^2 - 13x + 12 \ge 0$Решим это неравенство. Корни уравнения $t^2 - 13t + 12 = 0$ находятся по теореме Виета или через дискриминант: $t_1 = 1$, $t_2 = 12$.Таким образом, неравенство $x^2 - 13x + 12 \ge 0$ справедливо для $x \in (-\infty, 1] \cup [12, \infty)$.Это означает, что оба корня $x_1$ и $x_2$ уравнения $f(x)=0$ должны принадлежать этому множеству.

Проанализируем расположение корней $x_1, x_2$ функции $f(x) = 2x^2 - 3x + a + 12$. Вершина этой параболы находится в точке $x_v = -\frac{-3}{2 \cdot 2} = \frac{3}{4}$.Корни $x_1, x_2$ симметричны относительно вершины, то есть $x_1 \le x_v \le x_2$.Так как $x_v = \frac{3}{4} < 1$, то меньший корень $x_1$ всегда удовлетворяет условию $x_1 \le \frac{3}{4} < 1$, а значит, $x_1$ всегда принадлежит промежутку $(-\infty, 1]$.Следовательно, нам нужно лишь обеспечить, чтобы больший корень $x_2$ также принадлежал множеству $(-\infty, 1] \cup [12, \infty)$. Так как $x_2 \ge x_v = \frac{3}{4}$, для $x_2$ возможны два случая.

Первый случай: $x_2 \le 1$.Это означает, что оба корня $x_1, x_2$ не превышают 1. Для параболы $f(x)$ с ветвями вверх и вершиной $x_v=3/4 < 1$, это условие равносильно тому, что $f(1) \ge 0$.$f(1) = 2(1)^2 - 3(1) + a + 12 = 2 - 3 + a + 12 = a + 11$.$a + 11 \ge 0 \implies a \ge -11$.Совмещая это с исходным условием $a \le -\frac{87}{8}$, получаем первую часть решения: $a \in [-11, -\frac{87}{8}]$.

Второй случай: $x_2 \ge 12$.Для параболы $f(x)$ с ветвями вверх и вершиной $x_v=3/4 < 12$, это условие равносильно тому, что $f(12) \le 0$.$f(12) = 2(12)^2 - 3(12) + a + 12 = 2 \cdot 144 - 36 + a + 12 = 288 - 24 + a = a + 264$.$a + 264 \le 0 \implies a \le -264$.Это условие является более строгим, чем $a \le -\frac{87}{8}$ (поскольку $-264 < -10.875$), поэтому условие $D_1 \ge 0$ выполняется автоматически. Отсюда получаем вторую часть решения: $a \in (-\infty, -264]$.

Объединяя множества, полученные в обоих случаях, находим все значения параметра $a$, удовлетворяющие условию задачи.

Ответ: $a \in (-\infty, -264] \cup [-11, -\frac{87}{8}]$.

15.44 При каких значениях параметра $a$ система уравнений:

а) $\begin{cases} x + \sqrt{y} - a - 2 = 0 \\ y^2 - x^2 = a(2x + a) \end{cases}$ имеет два различных решения;

б) $\begin{cases} y + \ln \frac{|y|}{y} = x \\ y + 2(x + a)^2 = x + 2a + 4 \end{cases}$ имеет единственное решение;

в) $\begin{cases} y = \log_2 \left(1 + \frac{|x|}{x}\right) \\ (x - a)^2 + (y - a)^2 = 1 \end{cases}$ имеет единственное решение;

г) $\begin{cases} 2 + \log_2 y = \log_2 (x + 3y) \\ y = x + 2a - 4 + 2(x - a)^2 \end{cases}$ имеет два различных решения?

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x + \sqrt{y - a} - 2 = 0 \\ y^2 - x^2 = a(2x + a) \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение:

$\sqrt{y - a} = 2 - x$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - a = (2 - x)^2 \\ 2 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = x^2 - 4x + 4 + a \\ x \le 2 \end{cases}$

Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(2, a)$, расположенная в полуплоскости $x \le 2$.

Преобразуем второе уравнение:

$y^2 - x^2 = 2ax + a^2$

$y^2 = x^2 + 2ax + a^2$

$y^2 = (x + a)^2$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y = x + a$ или $y = -x - a$.

Графиком является пара пересекающихся прямых.

Задача сводится к нахождению числа точек пересечения части параболы $y = x^2 - 4x + 4 + a$ (при $x \le 2$) с прямыми $y = x + a$ и $y = -x - a$.

Случай 1: Пересечение параболы с прямой $y = x + a$.

$x + a = x^2 - 4x + 4 + a$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Условию $x \le 2$ удовлетворяет только корень $x_1 = 1$. Таким образом, независимо от параметра $a$, всегда есть одно решение, соответствующее пересечению с прямой $y=x+a$.

Случай 2: Пересечение параболы с прямой $y = -x - a$.

$-x - a = x^2 - 4x + 4 + a$

$x^2 - 3x + (4 + 2a) = 0$

Наличие и количество корней этого квадратного уравнения зависят от дискриминанта $D$:

$D = (-3)^2 - 4(1)(4 + 2a) = 9 - 16 - 8a = -7 - 8a$.

Система должна иметь два различных решения. Так как одно решение ($x=1$) уже есть, нам нужно, чтобы уравнение $x^2 - 3x + (4 + 2a) = 0$ давало ровно одно новое решение, удовлетворяющее условию $x \le 2$.

1. Уравнение имеет один корень (случай $D=0$).

$-7 - 8a = 0 \implies a = -7/8$.

Корень уравнения: $x = -(-3)/(2 \cdot 1) = 3/2$.

Поскольку $3/2 \le 2$, это решение подходит. Корень $x=3/2$ не совпадает с $x=1$. Таким образом, при $a = -7/8$ система имеет два различных решения.

2. Уравнение имеет два корня (случай $D>0$), но только один из них удовлетворяет условию $x \le 2$ и не совпадает с $x=1$.

$D > 0 \implies -7 - 8a > 0 \implies a < -7/8$.

Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{-7 - 8a}}{2}$.

Меньший корень $x_4 = \frac{3 - \sqrt{-7 - 8a}}{2}$ всегда меньше $3/2$, значит, он всегда удовлетворяет условию $x_4 \le 2$.

Чтобы решение было единственным из этой пары, нужно чтобы больший корень $x_3$ не удовлетворял условию $x \le 2$, то есть $x_3 > 2$.

$\frac{3 + \sqrt{-7 - 8a}}{2} > 2 \implies 3 + \sqrt{-7 - 8a} > 4 \implies \sqrt{-7 - 8a} > 1$.

$-7 - 8a > 1 \implies -8 > 8a \implies a < -1$.

При $a < -1$ у нас есть корень $x=1$ и корень $x_4 = \frac{3 - \sqrt{-7 - 8a}}{2}$. Эти корни различны. Таким образом, при $a < -1$ система имеет два различных решения.

3. Уравнение имеет два корня, удовлетворяющих $x \le 2$, но один из них совпадает с уже найденным корнем $x=1$.

Подставим $x=1$ в уравнение $x^2 - 3x + (4 + 2a) = 0$:

$1 - 3 + 4 + 2a = 0 \implies 2 + 2a = 0 \implies a = -1$.

При $a = -1$ уравнение принимает вид $x^2 - 3x + 2 = 0$. Его корни $x=1$ и $x=2$. Оба корня удовлетворяют условию $x \le 2$. Так как один корень ($x=1$) совпадает с решением из первого случая, всего система имеет два различных решения: $x=1$ и $x=2$. Значит, $a=-1$ подходит.

Объединяя все найденные значения $a$, получаем, что система имеет два различных решения при $a < -1$, $a = -1$ и $a = -7/8$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1] \cup \{-7/8\}$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y + \ln \frac{|y|}{y} = x \\ y + 2(x + a)^2 = x + 2a + 4 \end{cases}$

Проанализируем первое уравнение. Область определения: $y \ne 0$.

Если $y > 0$, то $|y|=y$, и уравнение принимает вид $y + \ln(1) = x$, то есть $y=x$. С учетом условия $y > 0$, получаем луч $y=x$ при $x>0$.

Если $y < 0$, то $|y|=-y$, и уравнение принимает вид $y + \ln(-1) = x$. Логарифм отрицательного числа не определен, поэтому решений в этой области нет.

Таким образом, первое уравнение задает множество точек $(x,y)$, для которых $y=x$ и $x>0$.

Подставим $y=x$ во второе уравнение системы:

$x + 2(x + a)^2 = x + 2a + 4$

$2(x + a)^2 = 2a + 4$

$(x + a)^2 = a + 2$

Нам нужно найти значения параметра $a$, при которых это уравнение имеет ровно одно решение, удовлетворяющее условию $x>0$.

Для существования действительных корней необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $a + 2 \ge 0 \implies a \ge -2$.

1. Если $a = -2$, уравнение принимает вид $(x - 2)^2 = 0$, откуда $x=2$. Этот корень удовлетворяет условию $x>0$. Следовательно, при $a=-2$ система имеет единственное решение.

2. Если $a > -2$, то $x + a = \pm\sqrt{a + 2}$, откуда $x = -a \pm\sqrt{a + 2}$.

Получаем два корня: $x_1 = -a + \sqrt{a + 2}$ и $x_2 = -a - \sqrt{a + 2}$.

Нам нужно, чтобы ровно один из этих корней был положителен.

Рассмотрим произведение и сумму корней: $x_1 x_2 = (-a)^2 - (a+2) = a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1)$ и $x_1 + x_2 = -2a$.

Единственный положительный корень будет в двух случаях:

а) Корни имеют разные знаки, то есть один положительный, другой отрицательный. Это происходит, когда их произведение отрицательно: $x_1 x_2 < 0$.

$(a-2)(a+1) < 0 \implies -1 < a < 2$. В этом интервале система имеет единственное решение.

б) Один корень равен нулю, а другой — положительный. Это происходит, когда их произведение равно нулю, а сумма положительна: $x_1 x_2 = 0$ и $x_1 + x_2 > 0$.

$(a-2)(a+1) = 0 \implies a=2$ или $a=-1$.

При $a=2$ сумма корней $x_1+x_2 = -4 < 0$. Корни 0 и -4, ни один не является положительным. Решений нет.

При $a=-1$ сумма корней $x_1+x_2 = 2 > 0$. Корни 0 и 2. Корень $x=2$ удовлетворяет условию $x>0$. Значит, при $a=-1$ система имеет единственное решение.

Объединим все найденные значения $a$: $a=-2$, $a=-1$ и интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $a \in \{-2\} \cup [-1, 2)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \log_2(1 + \frac{|x|}{x}) \\ (x - a)^2 + (y - a)^2 = 1 \end{cases}$

Проанализируем первое уравнение. Область определения: $x \ne 0$.

Если $x > 0$, то $|x|=x$, и уравнение принимает вид $y = \log_2(1+1) = \log_2(2) = 1$. Это открытый луч $y=1$ при $x>0$.

Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и уравнение принимает вид $y = \log_2(1-1) = \log_2(0)$, что не определено.

Таким образом, первое уравнение задает луч $y=1$ для $x>0$.

Второе уравнение — это уравнение окружности с центром в точке $(a, a)$ и радиусом $R=1$.

Задача сводится к нахождению значений $a$, при которых окружность имеет ровно одну точку пересечения с лучом $y=1, x>0$.

Расстояние от центра окружности $(a,a)$ до прямой $y=1$ равно $|a-1|$.

1. Касание окружности и прямой $y=1$. Это происходит, когда расстояние равно радиусу: $|a-1|=1$.

$a-1=1 \implies a=2$ или $a-1=-1 \implies a=0$.

При $a=2$ центр окружности $(2,2)$. Точка касания имеет координаты $(2,1)$. Так как $x=2>0$, эта точка лежит на луче. Следовательно, при $a=2$ есть единственное решение.

При $a=0$ центр окружности $(0,0)$. Точка касания имеет координаты $(0,1)$. Так как $x=0$, эта точка не лежит на луче ($x>0$). Решений нет.

2. Пересечение окружности и прямой $y=1$ в двух точках. Это происходит, когда расстояние меньше радиуса: $|a-1|<1$, что равносильно $-1 < a-1 < 1$, то есть $0 < a < 2$.

Подставим $y=1$ в уравнение окружности: $(x-a)^2 + (1-a)^2 = 1 \implies (x-a)^2 = 1 - (1-a)^2 = 2a-a^2$.

Корни этого уравнения: $x = a \pm \sqrt{2a-a^2}$.

Нам нужно, чтобы ровно один из этих корней был положителен.

Корень $x_1 = a + \sqrt{2a-a^2}$ всегда положителен при $a \in (0,2)$, так как оба слагаемых положительны.

Значит, для единственности решения нужно, чтобы второй корень был неположительным: $x_2 = a - \sqrt{2a-a^2} \le 0$.

$a \le \sqrt{2a-a^2}$.

Так как $a>0$, можно возвести в квадрат: $a^2 \le 2a-a^2 \implies 2a^2-2a \le 0 \implies 2a(a-1) \le 0$.

Учитывая, что $a>0$, это неравенство выполняется при $a-1 \le 0$, то есть $a \le 1$.

Таким образом, в интервале $0 < a < 2$ единственное решение существует при $0 < a \le 1$.

Объединяя случаи 1 и 2, получаем, что система имеет единственное решение при $a=2$ и при $a \in (0, 1]$.

Ответ: $a \in (0, 1] \cup \{2\}$.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2 + \log_2 y = \log_2 (x + 3y) \\ y = x + 2a - 4 + 2(x - a)^2 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ): $y>0$ и $x+3y>0$.

$\log_2 4 + \log_2 y = \log_2 (x + 3y)$

$\log_2(4y) = \log_2(x + 3y)$

$4y = x + 3y \implies y=x$.

Проверим ОДЗ для $y=x$: $x>0$ и $x+3x > 0 \implies 4x>0 \implies x>0$.

Следовательно, первое уравнение задает луч $y=x$ при $x>0$.

Подставим $y=x$ во второе уравнение:

$x = x + 2a - 4 + 2(x-a)^2$

$0 = 2a - 4 + 2(x-a)^2$

$4 - 2a = 2(x-a)^2$

$2 - a = (x-a)^2$

Нам нужно найти значения $a$, при которых это уравнение имеет два различных положительных решения ($x>0$).

Для существования двух различных действительных корней необходимо, чтобы правая часть была строго положительной: $2 - a > 0 \implies a < 2$.

При этом условии корни равны $x = a \pm \sqrt{2-a}$.

Чтобы оба корня были положительными, их сумма и произведение должны быть положительными.

Рассмотрим уравнение в виде $x^2 - 2ax + a^2 - 2 + a = 0$.

По теореме Виета:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2a$. $2a > 0 \implies a > 0$.

2. Произведение корней: $x_1 x_2 = a^2 + a - 2$. $a^2 + a - 2 > 0 \implies (a+2)(a-1) > 0$. Это неравенство выполняется при $a > 1$ или $a < -2$.

Соберем все три условия в систему:

$\begin{cases} a < 2 \\ a > 0 \\ a \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty) \end{cases}$

Пересечение этих условий дает интервал $1 < a < 2$.

Ответ: $a \in (1, 2)$.

15.45* При каких значениях параметра a система уравнений:

a) $y = \frac{2x^2}{x + |x|}$

$(x - 2(a + 2))^2 + (y - a)^2 = 8;$

б) $y = \frac{2\sqrt{3} x^2}{x + |x|}$

$\left(x - \frac{2a + 1}{\sqrt{3}}\right)^2 + (y - a)^2 = 4$

имеет хотя бы одно решение?

а)

Рассмотрим первое уравнение системы: $y = \frac{2x^2}{x + |x|}$.

Знаменатель $x + |x|$ не может быть равен нулю. Это происходит при $x \le 0$. Следовательно, область определения этого уравнения — $x > 0$.

При $x > 0$, $|x| = x$, и уравнение упрощается:

$y = \frac{2x^2}{x + x} = \frac{2x^2}{2x} = x$.

Таким образом, первое уравнение задает луч $y=x$ с началом в точке $(0,0)$ (не включая саму точку), расположенный в первой координатной четверти.

Второе уравнение системы: $(x - 2(a + 2))^2 + (y - a)^2 = 8$.

Это уравнение окружности с центром в точке $C(2(a+2), a)$ и радиусом $R = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$.

Система имеет хотя бы одно решение, если окружность пересекает луч $y=x$ при $x>0$.

Подставим $y=x$ в уравнение окружности, чтобы найти точки пересечения:

$(x - 2(a + 2))^2 + (x - a)^2 = 8$

$x^2 - 4(a+2)x + 4(a+2)^2 + x^2 - 2ax + a^2 = 8$

$2x^2 - (4a+8+2a)x + 4(a^2+4a+4) + a^2 - 8 = 0$

$2x^2 - (6a+8)x + 5a^2+16a+8 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Система имеет решение, если это уравнение имеет хотя бы один положительный корень ($x>0$).

Найдем дискриминант $D$ этого уравнения:

$D = (-(6a+8))^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5a^2+16a+8) = (6a+8)^2 - 8(5a^2+16a+8)$

$D = 36a^2 + 96a + 64 - 40a^2 - 128a - 64 = -4a^2 - 32a = -4a(a+8)$

Для существования действительных корней необходимо, чтобы $D \ge 0$, то есть $-4a(a+8) \ge 0$, или $a(a+8) \le 0$. Это выполняется при $a \in [-8, 0]$.

Теперь выясним, при каких значениях $a$ из этого отрезка существует хотя бы один положительный корень. Легче найти, когда положительных корней нет (т.е. оба корня неположительны: $x_1 \le 0, x_2 \le 0$), а затем исключить эти значения $a$.

По теореме Виета:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = \frac{6a+8}{2} = 3a+4$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = \frac{5a^2+16a+8}{2}$.

Для того чтобы оба корня были неположительны, должны выполняться условия: $D \ge 0$, $x_1+x_2 \le 0$ и $x_1x_2 \ge 0$.

1. $D \ge 0 \implies a \in [-8, 0]$.

2. $x_1+x_2 \le 0 \implies 3a+4 \le 0 \implies a \le -4/3$.

3. $x_1x_2 \ge 0 \implies 5a^2+16a+8 \ge 0$. Корни квадратного трехчлена $5a^2+16a+8=0$ равны $a = \frac{-16 \pm \sqrt{256-160}}{10} = \frac{-16 \pm \sqrt{96}}{10} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{6}}{5}$. Таким образом, неравенство выполняется при $a \in (-\infty, \frac{-8-2\sqrt{6}}{5}] \cup [\frac{-8+2\sqrt{6}}{5}, \infty)$.

Найдем пересечение этих трех условий. Пересечение первых двух ($a \in [-8, 0]$ и $a \le -4/3$) дает $a \in [-8, -4/3]$.

Теперь пересечем этот результат с третьим условием. Учитывая, что $\frac{-8-2\sqrt{6}}{5} \approx -2.58$ и $\frac{-8+2\sqrt{6}}{5} \approx -0.62$, а $-4/3 \approx -1.33$, получаем:

$a \in [-8, -4/3] \cap ((-\infty, \frac{-8-2\sqrt{6}}{5}] \cup [\frac{-8+2\sqrt{6}}{5}, \infty)) = [-8, \frac{-8-2\sqrt{6}}{5}]$.

Итак, при $a \in [-8, \frac{-8-2\sqrt{6}}{5}]$ у уравнения нет положительных корней. Система будет иметь хотя бы одно решение, если $a$ принадлежит отрезку $[-8, 0]$, но не принадлежит найденному множеству.

$a \in [-8, 0] \setminus [-8, \frac{-8-2\sqrt{6}}{5}] = (\frac{-8-2\sqrt{6}}{5}, 0]$.

Ответ: $a \in (\frac{-8-2\sqrt{6}}{5}, 0]$.

б)

Аналогично пункту а), рассмотрим первое уравнение: $y = \frac{2\sqrt{3} x^2}{x + |x|}$.

Область определения: $x > 0$. При $x > 0$ уравнение принимает вид:

$y = \frac{2\sqrt{3} x^2}{2x} = \sqrt{3}x$.

Это луч $y=\sqrt{3}x$ при $x>0$, исходящий из начала координат под углом $60^\circ$ к оси Ox.

Второе уравнение — это уравнение окружности $\left(x - \frac{2a+1}{\sqrt{3}}\right)^2 + (y - a)^2 = 4$ с центром в точке $C(\frac{2a+1}{\sqrt{3}}, a)$ и радиусом $R = 2$.

Система имеет решение, если окружность пересекает луч $y=\sqrt{3}x$ при $x>0$. Подставим $y=\sqrt{3}x$ в уравнение окружности:

$\left(x - \frac{2a+1}{\sqrt{3}}\right)^2 + (\sqrt{3}x - a)^2 = 4$

$x^2 - \frac{2(2a+1)}{\sqrt{3}}x + \frac{(2a+1)^2}{3} + 3x^2 - 2a\sqrt{3}x + a^2 = 4$

$4x^2 - \left(\frac{2(2a+1)}{\sqrt{3}} + 2a\sqrt{3}\right)x + \frac{4a^2+4a+1}{3} + a^2 - 4 = 0$

$4x^2 - \frac{2(5a+1)}{\sqrt{3}}x + \frac{7a^2+4a-11}{3} = 0$

Система имеет решение, если это квадратное уравнение имеет хотя бы один положительный корень.

Дискриминант $D$ (точнее, $D/4$):

$D/4 = \left(-\frac{5a+1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 4 \cdot \frac{7a^2+4a-11}{3} = \frac{(5a+1)^2}{3} - \frac{4(7a^2+4a-11)}{3}$

$D/4 = \frac{1}{3} (25a^2+10a+1 - 28a^2-16a+44) = \frac{1}{3}(-3a^2-6a+45) = -(a^2+2a-15)$

Для существования действительных корней нужно $D \ge 0$, то есть $-(a^2+2a-15) \ge 0$, что эквивалентно $a^2+2a-15 \le 0$. Корни $a^2+2a-15=0$ это $a=-5$ и $a=3$. Следовательно, $a \in [-5, 3]$.

Снова найдем, при каких $a$ из этого отрезка нет положительных корней. Используем теорему Виета:

Сумма корней: $x_1+x_2 = \frac{2(5a+1)/\sqrt{3}}{4} = \frac{5a+1}{2\sqrt{3}}$.

Произведение корней: $x_1x_2 = \frac{(7a^2+4a-11)/3}{4} = \frac{7a^2+4a-11}{12}$.

Условия отсутствия положительных корней ($x_1 \le 0, x_2 \le 0$): $D \ge 0$, $x_1+x_2 \le 0$, $x_1x_2 \ge 0$.

1. $D \ge 0 \implies a \in [-5, 3]$.

2. $x_1+x_2 \le 0 \implies \frac{5a+1}{2\sqrt{3}} \le 0 \implies 5a+1 \le 0 \implies a \le -1/5$.

3. $x_1x_2 \ge 0 \implies 7a^2+4a-11 \ge 0$. Корни уравнения $7a^2+4a-11=0$ равны $a_1=\frac{-4-18}{14}=-\frac{11}{7}$ и $a_2=\frac{-4+18}{14}=1$. Неравенство выполняется при $a \in (-\infty, -11/7] \cup [1, \infty)$.

Объединяя все три условия: $a \in [-5, 3] \cap (-\infty, -1/5] \cap ((-\infty, -11/7] \cup [1, \infty))$.

Пересечение первых двух: $a \in [-5, -1/5]$.

Пересечение с третьим: $a \in [-5, -1/5] \cap ((-\infty, -11/7] \cup [1, \infty)) = [-5, -11/7]$.

Итак, при $a \in [-5, -11/7]$ положительных корней нет. Система имеет хотя бы одно решение, если $a$ принадлежит множеству $[-5, 3] \setminus [-5, -11/7]$.

$a \in (-11/7, 3]$.

Ответ: $a \in (-11/7, 3]$.