Номер 15.44, страница 373 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.44, страница 373.

Условие.

15.44 При каких значениях параметра $a$ система уравнений:

а) $\begin{cases} x + \sqrt{y} - a - 2 = 0 \\ y^2 - x^2 = a(2x + a) \end{cases}$ имеет два различных решения;

б) $\begin{cases} y + \ln \frac{|y|}{y} = x \\ y + 2(x + a)^2 = x + 2a + 4 \end{cases}$ имеет единственное решение;

в) $\begin{cases} y = \log_2 \left(1 + \frac{|x|}{x}\right) \\ (x - a)^2 + (y - a)^2 = 1 \end{cases}$ имеет единственное решение;

г) $\begin{cases} 2 + \log_2 y = \log_2 (x + 3y) \\ y = x + 2a - 4 + 2(x - a)^2 \end{cases}$ имеет два различных решения?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} x + \sqrt{y - a} - 2 = 0 \\ y^2 - x^2 = a(2x + a) \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение:

$\sqrt{y - a} = 2 - x$

Это уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} y - a = (2 - x)^2 \\ 2 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} y = x^2 - 4x + 4 + a \\ x \le 2 \end{cases}$

Графиком является часть параболы, ветви которой направлены вверх, с вершиной в точке $(2, a)$, расположенная в полуплоскости $x \le 2$.

Преобразуем второе уравнение:

$y^2 - x^2 = 2ax + a^2$

$y^2 = x^2 + 2ax + a^2$

$y^2 = (x + a)^2$

Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$y = x + a$ или $y = -x - a$.

Графиком является пара пересекающихся прямых.

Задача сводится к нахождению числа точек пересечения части параболы $y = x^2 - 4x + 4 + a$ (при $x \le 2$) с прямыми $y = x + a$ и $y = -x - a$.

Случай 1: Пересечение параболы с прямой $y = x + a$.

$x + a = x^2 - 4x + 4 + a$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

Корни этого уравнения: $x_1 = 1$, $x_2 = 4$.

Условию $x \le 2$ удовлетворяет только корень $x_1 = 1$. Таким образом, независимо от параметра $a$, всегда есть одно решение, соответствующее пересечению с прямой $y=x+a$.

Случай 2: Пересечение параболы с прямой $y = -x - a$.

$-x - a = x^2 - 4x + 4 + a$

$x^2 - 3x + (4 + 2a) = 0$

Наличие и количество корней этого квадратного уравнения зависят от дискриминанта $D$:

$D = (-3)^2 - 4(1)(4 + 2a) = 9 - 16 - 8a = -7 - 8a$.

Система должна иметь два различных решения. Так как одно решение ($x=1$) уже есть, нам нужно, чтобы уравнение $x^2 - 3x + (4 + 2a) = 0$ давало ровно одно новое решение, удовлетворяющее условию $x \le 2$.

1. Уравнение имеет один корень (случай $D=0$).

$-7 - 8a = 0 \implies a = -7/8$.

Корень уравнения: $x = -(-3)/(2 \cdot 1) = 3/2$.

Поскольку $3/2 \le 2$, это решение подходит. Корень $x=3/2$ не совпадает с $x=1$. Таким образом, при $a = -7/8$ система имеет два различных решения.

2. Уравнение имеет два корня (случай $D>0$), но только один из них удовлетворяет условию $x \le 2$ и не совпадает с $x=1$.

$D > 0 \implies -7 - 8a > 0 \implies a < -7/8$.

Корни уравнения: $x_{3,4} = \frac{3 \pm \sqrt{-7 - 8a}}{2}$.

Меньший корень $x_4 = \frac{3 - \sqrt{-7 - 8a}}{2}$ всегда меньше $3/2$, значит, он всегда удовлетворяет условию $x_4 \le 2$.

Чтобы решение было единственным из этой пары, нужно чтобы больший корень $x_3$ не удовлетворял условию $x \le 2$, то есть $x_3 > 2$.

$\frac{3 + \sqrt{-7 - 8a}}{2} > 2 \implies 3 + \sqrt{-7 - 8a} > 4 \implies \sqrt{-7 - 8a} > 1$.

$-7 - 8a > 1 \implies -8 > 8a \implies a < -1$.

При $a < -1$ у нас есть корень $x=1$ и корень $x_4 = \frac{3 - \sqrt{-7 - 8a}}{2}$. Эти корни различны. Таким образом, при $a < -1$ система имеет два различных решения.

3. Уравнение имеет два корня, удовлетворяющих $x \le 2$, но один из них совпадает с уже найденным корнем $x=1$.

Подставим $x=1$ в уравнение $x^2 - 3x + (4 + 2a) = 0$:

$1 - 3 + 4 + 2a = 0 \implies 2 + 2a = 0 \implies a = -1$.

При $a = -1$ уравнение принимает вид $x^2 - 3x + 2 = 0$. Его корни $x=1$ и $x=2$. Оба корня удовлетворяют условию $x \le 2$. Так как один корень ($x=1$) совпадает с решением из первого случая, всего система имеет два различных решения: $x=1$ и $x=2$. Значит, $a=-1$ подходит.

Объединяя все найденные значения $a$, получаем, что система имеет два различных решения при $a < -1$, $a = -1$ и $a = -7/8$.

Ответ: $a \in (-\infty, -1] \cup \{-7/8\}$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y + \ln \frac{|y|}{y} = x \\ y + 2(x + a)^2 = x + 2a + 4 \end{cases}$

Проанализируем первое уравнение. Область определения: $y \ne 0$.

Если $y > 0$, то $|y|=y$, и уравнение принимает вид $y + \ln(1) = x$, то есть $y=x$. С учетом условия $y > 0$, получаем луч $y=x$ при $x>0$.

Если $y < 0$, то $|y|=-y$, и уравнение принимает вид $y + \ln(-1) = x$. Логарифм отрицательного числа не определен, поэтому решений в этой области нет.

Таким образом, первое уравнение задает множество точек $(x,y)$, для которых $y=x$ и $x>0$.

Подставим $y=x$ во второе уравнение системы:

$x + 2(x + a)^2 = x + 2a + 4$

$2(x + a)^2 = 2a + 4$

$(x + a)^2 = a + 2$

Нам нужно найти значения параметра $a$, при которых это уравнение имеет ровно одно решение, удовлетворяющее условию $x>0$.

Для существования действительных корней необходимо, чтобы правая часть была неотрицательной: $a + 2 \ge 0 \implies a \ge -2$.

1. Если $a = -2$, уравнение принимает вид $(x - 2)^2 = 0$, откуда $x=2$. Этот корень удовлетворяет условию $x>0$. Следовательно, при $a=-2$ система имеет единственное решение.

2. Если $a > -2$, то $x + a = \pm\sqrt{a + 2}$, откуда $x = -a \pm\sqrt{a + 2}$.

Получаем два корня: $x_1 = -a + \sqrt{a + 2}$ и $x_2 = -a - \sqrt{a + 2}$.

Нам нужно, чтобы ровно один из этих корней был положителен.

Рассмотрим произведение и сумму корней: $x_1 x_2 = (-a)^2 - (a+2) = a^2 - a - 2 = (a-2)(a+1)$ и $x_1 + x_2 = -2a$.

Единственный положительный корень будет в двух случаях:

а) Корни имеют разные знаки, то есть один положительный, другой отрицательный. Это происходит, когда их произведение отрицательно: $x_1 x_2 < 0$.

$(a-2)(a+1) < 0 \implies -1 < a < 2$. В этом интервале система имеет единственное решение.

б) Один корень равен нулю, а другой — положительный. Это происходит, когда их произведение равно нулю, а сумма положительна: $x_1 x_2 = 0$ и $x_1 + x_2 > 0$.

$(a-2)(a+1) = 0 \implies a=2$ или $a=-1$.

При $a=2$ сумма корней $x_1+x_2 = -4 < 0$. Корни 0 и -4, ни один не является положительным. Решений нет.

При $a=-1$ сумма корней $x_1+x_2 = 2 > 0$. Корни 0 и 2. Корень $x=2$ удовлетворяет условию $x>0$. Значит, при $a=-1$ система имеет единственное решение.

Объединим все найденные значения $a$: $a=-2$, $a=-1$ и интервал $(-1, 2)$.

Ответ: $a \in \{-2\} \cup [-1, 2)$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} y = \log_2(1 + \frac{|x|}{x}) \\ (x - a)^2 + (y - a)^2 = 1 \end{cases}$

Проанализируем первое уравнение. Область определения: $x \ne 0$.

Если $x > 0$, то $|x|=x$, и уравнение принимает вид $y = \log_2(1+1) = \log_2(2) = 1$. Это открытый луч $y=1$ при $x>0$.

Если $x < 0$, то $|x|=-x$, и уравнение принимает вид $y = \log_2(1-1) = \log_2(0)$, что не определено.

Таким образом, первое уравнение задает луч $y=1$ для $x>0$.

Второе уравнение — это уравнение окружности с центром в точке $(a, a)$ и радиусом $R=1$.

Задача сводится к нахождению значений $a$, при которых окружность имеет ровно одну точку пересечения с лучом $y=1, x>0$.

Расстояние от центра окружности $(a,a)$ до прямой $y=1$ равно $|a-1|$.

1. Касание окружности и прямой $y=1$. Это происходит, когда расстояние равно радиусу: $|a-1|=1$.

$a-1=1 \implies a=2$ или $a-1=-1 \implies a=0$.

При $a=2$ центр окружности $(2,2)$. Точка касания имеет координаты $(2,1)$. Так как $x=2>0$, эта точка лежит на луче. Следовательно, при $a=2$ есть единственное решение.

При $a=0$ центр окружности $(0,0)$. Точка касания имеет координаты $(0,1)$. Так как $x=0$, эта точка не лежит на луче ($x>0$). Решений нет.

2. Пересечение окружности и прямой $y=1$ в двух точках. Это происходит, когда расстояние меньше радиуса: $|a-1|<1$, что равносильно $-1 < a-1 < 1$, то есть $0 < a < 2$.

Подставим $y=1$ в уравнение окружности: $(x-a)^2 + (1-a)^2 = 1 \implies (x-a)^2 = 1 - (1-a)^2 = 2a-a^2$.

Корни этого уравнения: $x = a \pm \sqrt{2a-a^2}$.

Нам нужно, чтобы ровно один из этих корней был положителен.

Корень $x_1 = a + \sqrt{2a-a^2}$ всегда положителен при $a \in (0,2)$, так как оба слагаемых положительны.

Значит, для единственности решения нужно, чтобы второй корень был неположительным: $x_2 = a - \sqrt{2a-a^2} \le 0$.

$a \le \sqrt{2a-a^2}$.

Так как $a>0$, можно возвести в квадрат: $a^2 \le 2a-a^2 \implies 2a^2-2a \le 0 \implies 2a(a-1) \le 0$.

Учитывая, что $a>0$, это неравенство выполняется при $a-1 \le 0$, то есть $a \le 1$.

Таким образом, в интервале $0 < a < 2$ единственное решение существует при $0 < a \le 1$.

Объединяя случаи 1 и 2, получаем, что система имеет единственное решение при $a=2$ и при $a \in (0, 1]$.

Ответ: $a \in (0, 1] \cup \{2\}$.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$\begin{cases} 2 + \log_2 y = \log_2 (x + 3y) \\ y = x + 2a - 4 + 2(x - a)^2 \end{cases}$

Преобразуем первое уравнение. Область допустимых значений (ОДЗ): $y>0$ и $x+3y>0$.

$\log_2 4 + \log_2 y = \log_2 (x + 3y)$

$\log_2(4y) = \log_2(x + 3y)$

$4y = x + 3y \implies y=x$.

Проверим ОДЗ для $y=x$: $x>0$ и $x+3x > 0 \implies 4x>0 \implies x>0$.

Следовательно, первое уравнение задает луч $y=x$ при $x>0$.

Подставим $y=x$ во второе уравнение:

$x = x + 2a - 4 + 2(x-a)^2$

$0 = 2a - 4 + 2(x-a)^2$

$4 - 2a = 2(x-a)^2$

$2 - a = (x-a)^2$

Нам нужно найти значения $a$, при которых это уравнение имеет два различных положительных решения ($x>0$).

Для существования двух различных действительных корней необходимо, чтобы правая часть была строго положительной: $2 - a > 0 \implies a < 2$.

При этом условии корни равны $x = a \pm \sqrt{2-a}$.

Чтобы оба корня были положительными, их сумма и произведение должны быть положительными.

Рассмотрим уравнение в виде $x^2 - 2ax + a^2 - 2 + a = 0$.

По теореме Виета:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = 2a$. $2a > 0 \implies a > 0$.

2. Произведение корней: $x_1 x_2 = a^2 + a - 2$. $a^2 + a - 2 > 0 \implies (a+2)(a-1) > 0$. Это неравенство выполняется при $a > 1$ или $a < -2$.

Соберем все три условия в систему:

$\begin{cases} a < 2 \\ a > 0 \\ a \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty) \end{cases}$

Пересечение этих условий дает интервал $1 < a < 2$.

Ответ: $a \in (1, 2)$.