Номер 16.3, страница 382 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.3, страница 382.

Условие.

16.3° При каком условии комплексное число $a + bi$ отождествляется с действительным числом $a$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

16.3°

Комплексное число в алгебраической форме записывается как $z = a + bi$, где $a$ и $b$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Число $a$ называется действительной частью комплексного числа $z$ (обозначается $a = \text{Re}(z)$), а число $b$ — мнимой частью (обозначается $b = \text{Im}(z)$).

Действительные числа являются подмножеством комплексных чисел. Любое действительное число $a$ можно представить в виде комплексного числа, у которого мнимая часть равна нулю: $a = a + 0 \cdot i$.

Чтобы комплексное число $a + bi$ отождествлялось (было равно) с действительным числом $a$, необходимо и достаточно, чтобы их значения были равны. Запишем это равенство, представив правую часть также в виде комплексного числа:

$a + bi = a + 0 \cdot i$

Два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда равны их действительные части и равны их мнимые части.

Приравняем действительные части:

$a = a$

Это равенство является тождеством и выполняется при любых значениях $a$.

Приравняем мнимые части:

$b = 0$

Это и есть искомое условие. Таким образом, комплексное число $a + bi$ является действительным числом $a$ тогда и только тогда, когда его мнимая часть $b$ равна нулю.

Ответ: $b = 0$.