Номер 16.1, страница 382 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 3. Комплексные числа. Параграф 16. Алгебраическая форма и геометрическая интерпретация комплексных чисел - номер 16.1, страница 382.

Условие.

16.1° В каком случае выражения $a + bi$ и $c + di$ считаются:

а) равными;

б) различными?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Выражения $a + bi$ и $c + di$ представляют собой комплексные числа в алгебраической форме, где $a, b, c, d$ — действительные числа, а $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Числа $a$ и $c$ называются действительными (вещественными) частями, а числа $b$ и $d$ — мнимыми частями этих комплексных чисел.

а) равными;

Два комплексных числа $a + bi$ и $c + di$ считаются равными тогда и только тогда, когда равны их действительные части и одновременно равны их мнимые части. Иными словами, для выполнения равенства $a + bi = c + di$ необходимо и достаточно, чтобы выполнялась система из двух уравнений:

$a = c$ (равенство действительных частей)
$b = d$ (равенство мнимых частей)

Оба этих условия должны соблюдаться одновременно. Если хотя бы одно из них не выполняется, числа не равны.

Ответ: Выражения $a + bi$ и $c + di$ считаются равными, если $a = c$ и $b = d$.

б) различными?

Два комплексных числа $a + bi$ и $c + di$ считаются различными (неравными), если они не являются равными. Это означает, что нарушается хотя бы одно из условий равенства. То есть, их действительные части не равны, или их мнимые части не равны, или и то, и другое. Математически это записывается как $a + bi \neq c + di$ и выполняется в том случае, если справедливо хотя бы одно из неравенств:

$a \neq c$
или
$b \neq d$

Таким образом, для того чтобы комплексные числа были различными, достаточно, чтобы отличалась либо их действительная часть, либо мнимая.

Ответ: Выражения $a + bi$ и $c + di$ считаются различными, если $a \neq c$ или $b \neq d$.