Номер 15.41, страница 373 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.41, страница 373.

Условие.

15.41 Найдите все значения параметра $p$, при каждом из которых множество всех решений неравенства $(p - x)^2(p + x - 2) < 0$ не содержит ни одного решения неравенства $x^2 \le 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Пусть $M_1$ — множество решений неравенства $(p - x)^2(p + x - 2) < 0$, а $M_2$ — множество решений неравенства $x^2 \le 1$.

Сначала найдем множество $M_2$:$x^2 \le 1 \iff -1 \le x \le 1$.Таким образом, $M_2 = [-1, 1]$.

По условию задачи, множество $M_1$ не должно содержать ни одного решения из множества $M_2$. Это означает, что их пересечение должно быть пустым: $M_1 \cap M_2 = \emptyset$.

Это равносильно тому, что ни одно число из отрезка $[-1, 1]$ не является решением первого неравенства. То есть, для любого $x$ из отрезка $[-1, 1]$ должно выполняться неравенство, противоположное исходному:$(p - x)^2(p + x - 2) \ge 0$.

Проанализируем это неравенство. Множитель $(p - x)^2$ всегда неотрицателен, то есть $(p-x)^2 \ge 0$ при любых $x$ и $p$. Поэтому знак левой части неравенства зависит от знака множителя $(p + x - 2)$.Неравенство $(p - x)^2(p + x - 2) \ge 0$ выполняется в двух случаях:
1. Если $p + x - 2 \ge 0$.
2. Если $p - x = 0$, то есть $x=p$, тогда неравенство обращается в верное равенство $0 \ge 0$.

Таким образом, для всех $x \in [-1, 1]$ должно выполняться хотя бы одно из условий: $p + x - 2 \ge 0$ или $x = p$.

Рассмотрим функцию $g(x) = p + x - 2$ на отрезке $[-1, 1]$. Эта функция является линейной и возрастающей, так как коэффициент при $x$ положителен. Следовательно, свое наименьшее значение на отрезке $[-1, 1]$ функция $g(x)$ принимает при $x = -1$.$g_{min} = g(-1) = p - 1 - 2 = p - 3$.

Если наименьшее значение функции $g(x)$ на отрезке $[-1, 1]$ неотрицательно, то есть $g_{min} \ge 0$, то условие $p + x - 2 \ge 0$ будет выполняться для всех $x \in [-1, 1]$.$p - 3 \ge 0 \implies p \ge 3$.При $p \ge 3$ условие задачи выполняется, так как для любого $x \in [-1, 1]$ выполняется $p+x-2 \ge p-1 \ge 3-1 = 2 > 0$.

Если же наименьшее значение функции $g(x)$ на отрезке $[-1, 1]$ отрицательно, то есть $p - 3 < 0 \implies p < 3$, то на отрезке $[-1, 1]$ существуют значения $x$, для которых $p + x - 2 < 0$. Для всех таких $x$ должно выполняться условие $x = p$.Это означает, что множество $A = \{x \in [-1, 1] \mid p + x - 2 < 0\}$ должно быть подмножеством множества $\{p\}$, то есть $A \subseteq \{p\}$.

Найдем множество $A$:$A = \{x \in [-1, 1] \mid x < 2 - p\} = [-1, 1] \cap (-\infty, 2-p)$.Поскольку мы рассматриваем случай $p < 3$, то $2 - p > 2 - 3 = -1$.Так как правая граница интервала $(-\infty, 2-p)$ больше, чем левая граница отрезка $[-1, 1]$, их пересечение непусто. Множество $A$ представляет собой полуинтервал $A = [-1, \min(1, 2-p))$.Такой полуинтервал содержит бесконечное число точек, за исключением случая, когда он пуст, но, как мы показали, он не пуст при $p<3$. Множество, содержащее бесконечное число точек, не может быть подмножеством множества $\{p\}$, которое содержит только один элемент.Следовательно, при $p < 3$ условие задачи не выполняется.

Объединяя полученные результаты, приходим к выводу, что условию задачи удовлетворяют все значения параметра $p \ge 3$.

Ответ: $p \in [3, +\infty)$.