Номер 15.35, страница 372 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.35, страница 372.

Условие.

15.35 При каких значениях параметра $a$ уравнение:

а) $\sqrt{x+1} = x+a$;

б) $\sqrt{x+a} = x+3$

имеет единственный корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $\sqrt{x+1} = x+a$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется двумя условиями:

1. Подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.
2. Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как она равна значению арифметического квадратного корня: $x+a \ge 0$.

Возведем обе части уравнения в квадрат при условии $x+a \ge 0$:

$x+1 = (x+a)^2$

$x+1 = x^2 + 2ax + a^2$

$x^2 + (2a-1)x + (a^2-1) = 0$

Это квадратное уравнение относительно $x$. Количество его корней зависит от знака дискриминанта $D$.

$D = (2a-1)^2 - 4(a^2-1) = 4a^2 - 4a + 1 - 4a^2 + 4 = 5-4a$.

Рассмотрим несколько случаев.

Случай 1: $D=0$.

Квадратное уравнение имеет один корень. Это соответствует случаю, когда прямая $y=x+a$ касается графика функции $y=\sqrt{x+1}$.

$5-4a = 0 \implies a = \frac{5}{4}$.

При этом значении $a$ корень уравнения: $x = -\frac{2a-1}{2} = \frac{1-2a}{2} = \frac{1-2(5/4)}{2} = \frac{1-5/2}{2} = -\frac{3}{4}$.

Проверим, удовлетворяет ли этот корень условиям ОДЗ:

• $x \ge -1 \implies -3/4 \ge -1$. Верно.
• $x+a \ge 0 \implies -3/4 + 5/4 = 2/4 = 1/2 \ge 0$. Верно.

Следовательно, при $a=5/4$ исходное уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: $D>0$.

$5-4a > 0 \implies a < 5/4$.

Квадратное уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \frac{1-2a \pm \sqrt{5-4a}}{2}$.

Для того чтобы исходное уравнение имело единственный корень, только один из этих двух корней должен удовлетворять условиям ОДЗ, в частности условию $x+a \ge 0$.

Проверим условие $x+a \ge 0$ для каждого корня:

$x+a = \frac{1-2a \pm \sqrt{5-4a}}{2} + a = \frac{1-2a \pm \sqrt{5-4a} + 2a}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5-4a}}{2}$.

Для корня $x_2$ (со знаком «+»): $x_2+a = \frac{1+\sqrt{5-4a}}{2}$. Так как $a < 5/4$, $\sqrt{5-4a}>0$, значит $x_2+a>0$ всегда.

Для корня $x_1$ (со знаком «-»): $x_1+a = \frac{1-\sqrt{5-4a}}{2}$.

Выражение $x_1+a$ будет отрицательным, если $1 < \sqrt{5-4a}$, что эквивалентно $1 < 5-4a$, то есть $4a < 4$, или $a<1$.

Таким образом, если $a < 1$, то корень $x_1$ является посторонним ($x_1+a < 0$), а для корня $x_2$ выполняется условие $x_2+a > 0$. Необходимо еще проверить для $x_2$ условие $x_2 \ge -1$. Неравенство $\frac{1-2a+\sqrt{5-4a}}{2} \ge -1$ равносильно $\sqrt{5-4a} \ge 2a-3$. При $a<1$ правая часть $2a-3$ отрицательна, а левая неотрицательна, поэтому неравенство всегда верно. Значит, при $a<1$ есть ровно один корень.

Если $1 \le a < 5/4$, то $1-\sqrt{5-4a} \ge 0$, и оба корня $x_1, x_2$ удовлетворяют условию $x+a \ge 0$. Проверка показывает, что они также удовлетворяют условию $x \ge -1$, следовательно, при $1 \le a < 5/4$ уравнение имеет два корня.

Случай 3: $D<0$.

$5-4a < 0 \implies a > 5/4$. Квадратное уравнение не имеет действительных корней, значит и исходное уравнение не имеет корней.

Объединяя результаты, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=5/4$ и при $a<1$.

Ответ: $a \in (-\infty, 1) \cup \{5/4\}$.

б)

Исходное уравнение: $\sqrt{x+a} = x+3$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

1. $x+a \ge 0 \implies x \ge -a$.
2. $x+3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

Возводим обе части в квадрат при $x+3 \ge 0$:

$x+a = (x+3)^2$

$x+a = x^2+6x+9$

$x^2+5x+(9-a) = 0$

Это квадратное уравнение. Его дискриминант $D = 5^2 - 4(9-a) = 25 - 36 + 4a = 4a-11$.

Уравнение имеет действительные корни при $D \ge 0$, то есть $4a-11 \ge 0 \implies a \ge 11/4$.

Случай 1: $D=0$.

Уравнение имеет один корень при $a = 11/4$.

Корень $x = -5/2 = -2.5$.

Проверим условия ОДЗ:

• $x \ge -3 \implies -2.5 \ge -3$. Верно.
• $x \ge -a \implies -2.5 \ge -11/4 \implies -2.5 \ge -2.75$. Верно.

При $a=11/4$ уравнение имеет единственный корень.

Случай 2: $D>0$.

$4a-11 > 0 \implies a > 11/4$.

Квадратное уравнение имеет два различных корня: $x_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{4a-11}}{2}$.

Чтобы исходное уравнение имело один корень, только один из этих корней должен удовлетворять обоим условиям ОДЗ.

Проверим условие $x+3 \ge 0$. Для корней $x_{1,2}$ имеем $x_{1,2}+3 = \frac{1 \pm \sqrt{4a-11}}{2}$.

Для $x_2$ (со знаком «+»): $x_2+3 = \frac{1+\sqrt{4a-11}}{2} > 0$ всегда, так как $a > 11/4$.

Для $x_1$ (со знаком «-»): $x_1+3 = \frac{1-\sqrt{4a-11}}{2}$. Это выражение будет отрицательным, если $1 < \sqrt{4a-11}$, что равносильно $1 < 4a-11$, или $12 < 4a$, то есть $a>3$.

Если $a>3$, то корень $x_1$ является посторонним ($x_1+3 < 0$). Остается только корень $x_2$, который удовлетворяет $x_2+3 \ge 0$. Проверим для него второе условие $x_2 \ge -a$.

$\frac{-5+\sqrt{4a-11}}{2} \ge -a \iff \sqrt{4a-11} \ge 5-2a$.

При $a>3$ правая часть $5-2a$ отрицательна, а левая неотрицательна, поэтому неравенство выполняется всегда. Значит, при $a>3$ есть ровно один корень $x_2$.

Если $11/4 < a \le 3$, то оба корня $x_1, x_2$ удовлетворяют условию $x+3 \ge 0$. Проверка показывает, что они оба удовлетворяют и условию $x \ge -a$. Следовательно, в этом случае уравнение имеет два корня.

Случай 3: $D<0$.

$a < 11/4$. Действительных корней нет.

Объединяя результаты, получаем, что уравнение имеет единственный корень при $a=11/4$ и при $a>3$.

Ответ: $a \in \{11/4\} \cup (3, +\infty)$.