Номер 15.31, страница 372 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.31, страница 372.
№15.31 (с. 372)
Условие. №15.31 (с. 372)
скриншот условия

15.31 При каких значениях параметра $a$ уравнение:
a) $x + 2 = a |x - 1|$;
б) $a |x - 3| = x + 1$
имеет единственное решение? Найдите это решение.
Решение 1. №15.31 (с. 372)


Решение 2. №15.31 (с. 372)


Решение 3. №15.31 (с. 372)


Решение 4. №15.31 (с. 372)
а) $x + 2 = a|x - 1|$
Для решения данного уравнения с параметром воспользуемся графическим методом. Преобразуем уравнение. Заметим, что $x=1$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получаем неверное равенство $1 + 2 = a|1 - 1| \Rightarrow 3 = 0$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $|x-1|$, не равное нулю.
Получим: $a = \frac{x+2}{|x-1|}$.
Теперь задача сводится к тому, чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $f(x) = \frac{x+2}{|x-1|}$ ровно в одной точке.
Рассмотрим функцию $f(x)$, раскрыв модуль для двух случаев:
1. Если $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$:
$f(x) = \frac{x+2}{x-1} = \frac{(x-1)+3}{x-1} = 1 + \frac{3}{x-1}$.
Это гипербола. При $x \to 1^+$, $f(x) \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $f(x) \to 1$. На промежутке $(1, +\infty)$ функция монотонно убывает, и ее область значений — $(1, +\infty)$.
2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$:
$f(x) = \frac{x+2}{-(x-1)} = -\frac{x+2}{x-1} = -\frac{(x-1)+3}{x-1} = -1 - \frac{3}{x-1}$.
Это также гипербола. При $x \to 1^-$, $f(x) \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $f(x) \to -1$. На промежутке $(-\infty, 1)$ функция монотонно возрастает, и ее область значений — $(-1, +\infty)$.
Проанализируем количество пересечений графика $y=f(x)$ с прямой $y=a$:
- Если $a > 1$, прямая $y=a$ пересекает обе ветви графика, следовательно, уравнение имеет два решения.
- Если $a = 1$, прямая $y=a$ пересекает только левую ветвь (при $x<1$), так как для правой ветви $y=1$ является горизонтальной асимптотой. Следовательно, уравнение имеет одно решение.
- Если $-1 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает только левую ветвь графика. Следовательно, уравнение имеет одно решение.
- Если $a \le -1$, прямая $y=a$ не пересекает график, так как минимальное значение функции на левой ветви стремится к $-1$. Следовательно, решений нет.
Таким образом, уравнение имеет единственное решение при $a \in (-1, 1]$.
Найдем это решение. Оно соответствует случаю $x < 1$, где уравнение принимает вид $a = \frac{x+2}{-(x-1)}$.
$a(1 - x) = x + 2$
$a - ax = x + 2$
$a - 2 = x + ax$
$a - 2 = x(1 + a)$
Поскольку $a > -1$, то $a+1 \neq 0$, и мы можем выразить $x$:
$x = \frac{a - 2}{a + 1}$
Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \in (-1, 1]$; это решение $x = \frac{a - 2}{a + 1}$.
б) $a|x - 3| = x + 1$
Решим это уравнение аналогичным графическим методом. Заметим, что $x=3$ не является корнем уравнения, так как подстановка дает $a|3-3| = 3+1 \Rightarrow 0=4$, что неверно. Значит, можно разделить обе части на $|x-3|$.
$a = \frac{x+1}{|x-3|}$.
Задача сводится к нахождению числа пересечений графика функции $g(x) = \frac{x+1}{|x-3|}$ с горизонтальной прямой $y=a$.
Раскроем модуль:
1. Если $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$:
$g(x) = \frac{x+1}{x-3} = \frac{(x-3)+4}{x-3} = 1 + \frac{4}{x-3}$.
Это гипербола. При $x \to 3^+$, $g(x) \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $g(x) \to 1$. Область значений на $(3, +\infty)$ есть $(1, +\infty)$.
2. Если $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$:
$g(x) = \frac{x+1}{-(x-3)} = -\frac{x+1}{x-3} = -\frac{(x-3)+4}{x-3} = -1 - \frac{4}{x-3}$.
Это гипербола. При $x \to 3^-$, $g(x) \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $g(x) \to -1$. Область значений на $(-\infty, 3)$ есть $(-1, +\infty)$.
Анализ количества решений уравнения $g(x)=a$ полностью аналогичен пункту а):
- Если $a > 1$, то 2 решения.
- Если $a = 1$, то 1 решение.
- Если $-1 < a < 1$, то 1 решение.
- Если $a \le -1$, то решений нет.
Следовательно, единственное решение существует при $a \in (-1, 1]$.
Найдем это решение. Оно соответствует случаю $x < 3$, где $a = \frac{x+1}{-(x-3)}$.
$a(3 - x) = x + 1$
$3a - ax = x + 1$
$3a - 1 = x + ax$
$3a - 1 = x(1 + a)$
Так как $a > -1$, $a+1 \neq 0$, получаем:
$x = \frac{3a - 1}{a + 1}$
Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \in (-1, 1]$; это решение $x = \frac{3a - 1}{a + 1}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 15.31 расположенного на странице 372 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15.31 (с. 372), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.