Номер 15.31, страница 372 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.31, страница 372.

Условие.

15.31 При каких значениях параметра $a$ уравнение:

a) $x + 2 = a |x - 1|$;

б) $a |x - 3| = x + 1$

имеет единственное решение? Найдите это решение.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а) $x + 2 = a|x - 1|$

Для решения данного уравнения с параметром воспользуемся графическим методом. Преобразуем уравнение. Заметим, что $x=1$ не является корнем уравнения, так как при подстановке получаем неверное равенство $1 + 2 = a|1 - 1| \Rightarrow 3 = 0$. Следовательно, можно разделить обе части уравнения на $|x-1|$, не равное нулю.

Получим: $a = \frac{x+2}{|x-1|}$.

Теперь задача сводится к тому, чтобы найти, при каких значениях параметра $a$ горизонтальная прямая $y=a$ пересекает график функции $f(x) = \frac{x+2}{|x-1|}$ ровно в одной точке.

Рассмотрим функцию $f(x)$, раскрыв модуль для двух случаев:

1. Если $x - 1 > 0$, то есть $x > 1$:
$f(x) = \frac{x+2}{x-1} = \frac{(x-1)+3}{x-1} = 1 + \frac{3}{x-1}$.
Это гипербола. При $x \to 1^+$, $f(x) \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $f(x) \to 1$. На промежутке $(1, +\infty)$ функция монотонно убывает, и ее область значений — $(1, +\infty)$.

2. Если $x - 1 < 0$, то есть $x < 1$:
$f(x) = \frac{x+2}{-(x-1)} = -\frac{x+2}{x-1} = -\frac{(x-1)+3}{x-1} = -1 - \frac{3}{x-1}$.
Это также гипербола. При $x \to 1^-$, $f(x) \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $f(x) \to -1$. На промежутке $(-\infty, 1)$ функция монотонно возрастает, и ее область значений — $(-1, +\infty)$.

Проанализируем количество пересечений графика $y=f(x)$ с прямой $y=a$:

• Если $a > 1$, прямая $y=a$ пересекает обе ветви графика, следовательно, уравнение имеет два решения.
• Если $a = 1$, прямая $y=a$ пересекает только левую ветвь (при $x<1$), так как для правой ветви $y=1$ является горизонтальной асимптотой. Следовательно, уравнение имеет одно решение.
• Если $-1 < a < 1$, прямая $y=a$ пересекает только левую ветвь графика. Следовательно, уравнение имеет одно решение.
• Если $a \le -1$, прямая $y=a$ не пересекает график, так как минимальное значение функции на левой ветви стремится к $-1$. Следовательно, решений нет.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение при $a \in (-1, 1]$.

Найдем это решение. Оно соответствует случаю $x < 1$, где уравнение принимает вид $a = \frac{x+2}{-(x-1)}$.

$a(1 - x) = x + 2$

$a - ax = x + 2$

$a - 2 = x + ax$

$a - 2 = x(1 + a)$

Поскольку $a > -1$, то $a+1 \neq 0$, и мы можем выразить $x$:

$x = \frac{a - 2}{a + 1}$

Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \in (-1, 1]$; это решение $x = \frac{a - 2}{a + 1}$.

б) $a|x - 3| = x + 1$

Решим это уравнение аналогичным графическим методом. Заметим, что $x=3$ не является корнем уравнения, так как подстановка дает $a|3-3| = 3+1 \Rightarrow 0=4$, что неверно. Значит, можно разделить обе части на $|x-3|$.

$a = \frac{x+1}{|x-3|}$.

Задача сводится к нахождению числа пересечений графика функции $g(x) = \frac{x+1}{|x-3|}$ с горизонтальной прямой $y=a$.

Раскроем модуль:

1. Если $x - 3 > 0$, то есть $x > 3$:
$g(x) = \frac{x+1}{x-3} = \frac{(x-3)+4}{x-3} = 1 + \frac{4}{x-3}$.
Это гипербола. При $x \to 3^+$, $g(x) \to +\infty$. При $x \to +\infty$, $g(x) \to 1$. Область значений на $(3, +\infty)$ есть $(1, +\infty)$.

2. Если $x - 3 < 0$, то есть $x < 3$:
$g(x) = \frac{x+1}{-(x-3)} = -\frac{x+1}{x-3} = -\frac{(x-3)+4}{x-3} = -1 - \frac{4}{x-3}$.
Это гипербола. При $x \to 3^-$, $g(x) \to +\infty$. При $x \to -\infty$, $g(x) \to -1$. Область значений на $(-\infty, 3)$ есть $(-1, +\infty)$.

Анализ количества решений уравнения $g(x)=a$ полностью аналогичен пункту а):

• Если $a > 1$, то 2 решения.
• Если $a = 1$, то 1 решение.
• Если $-1 < a < 1$, то 1 решение.
• Если $a \le -1$, то решений нет.

Следовательно, единственное решение существует при $a \in (-1, 1]$.

Найдем это решение. Оно соответствует случаю $x < 3$, где $a = \frac{x+1}{-(x-3)}$.

$a(3 - x) = x + 1$

$3a - ax = x + 1$

$3a - 1 = x + ax$

$3a - 1 = x(1 + a)$

Так как $a > -1$, $a+1 \neq 0$, получаем:

$x = \frac{3a - 1}{a + 1}$

Ответ: уравнение имеет единственное решение при $a \in (-1, 1]$; это решение $x = \frac{3a - 1}{a + 1}$.