Номер 15.25, страница 366 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.25, страница 366.

Условие.

15.25 a) $\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a; \end{cases}$

б) $\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a; \end{cases}$

В) $\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a; \end{cases}$

Г) $\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений с параметром $a$:

$\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение системы. Разложим правую часть на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.

Первое уравнение принимает вид: $(a - 1)y = (a - 1)(a + 1)$.

Решение этого уравнения зависит от значения параметра $a$. Рассмотрим два случая.

1. Если коэффициент при $y$ не равен нулю, то есть $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a - 1)$:

$y = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1} = a + 1$.

Теперь подставим найденное значение $y$ во второе уравнение системы, чтобы найти $x$:

$x + (a + 1) = a$

$x = a - a - 1$

$x = -1$.

Таким образом, при $a \neq 1$ система имеет единственное решение: $x = -1, y = a + 1$.

2. Если коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $a - 1 = 0 \implies a = 1$.

Подставим $a=1$ в исходную систему уравнений:

$\begin{cases} (1 - 1)y = 1^2 - 1 \\ x + y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$

Первое уравнение, $0 \cdot y = 0$, является верным равенством для любого значения $y$. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Все решения лежат на прямой, заданной вторым уравнением $x + y = 1$.

Выразим $x$ через $y$: $x = 1 - y$.

Решениями системы являются все пары чисел $(1 - y, y)$, где $y$ — любое действительное число. Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(1 - t, t)$.

Ответ: при $a = 1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(1-t, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq 1$ система имеет единственное решение $x=-1, y=a+1$.

б)

Дана система уравнений с параметром $a$:

$\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a \end{cases}$

Рассмотрим первое уравнение. Преобразуем правую часть: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.

Уравнение принимает вид: $(a + 1)y = (a - 1)(a + 1)$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$.

Разделим обе части уравнения на $(a + 1)$:

$y = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1} = a - 1$.

Подставим $y = a - 1$ во второе уравнение системы:

$x + (a - 1) = a$

$x = a - a + 1$

$x = 1$.

Следовательно, при $a \neq -1$ система имеет единственное решение: $x = 1, y = a - 1$.

2. Если $a + 1 = 0 \implies a = -1$.

Подставим $a=-1$ в исходную систему:

$\begin{cases} (-1 + 1)y = (-1)^2 - 1 \\ x + y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x + y = -1 \end{cases}$

Первое уравнение $0 \cdot y = 0$ верно для любого $y$. Система имеет бесконечное множество решений, которые удовлетворяют второму уравнению $x + y = -1$.

Выразим $x$ через $y$: $x = -1 - y$.

Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(-1 - t, t)$.

Ответ: при $a = -1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(-1-t, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq -1$ система имеет единственное решение $x=1, y=a-1$.

в)

Дана система уравнений с параметром $a$:

$\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a \end{cases}$

Первое уравнение, как и в пункте а), принимает вид: $(a - 1)y = (a - 1)(a + 1)$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.

Из первого уравнения получаем $y = a + 1$.

Подставим это значение во второе уравнение системы:

$x - (a + 1) = a$

$x = a + a + 1$

$x = 2a + 1$.

При $a \neq 1$ система имеет единственное решение: $x = 2a + 1, y = a + 1$.

2. Если $a - 1 = 0 \implies a = 1$.

Подставим $a=1$ в систему:

$\begin{cases} (1 - 1)y = 1^2 - 1 \\ x - y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x - y = 1 \end{cases}$

Первое уравнение $0 \cdot y = 0$ истинно для любого $y$. Система имеет бесконечное множество решений, удовлетворяющих уравнению $x - y = 1$.

Выразим $x$ через $y$: $x = 1 + y$.

Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(1 + t, t)$.

Ответ: при $a = 1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(1+t, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq 1$ система имеет единственное решение $x=2a+1, y=a+1$.

г)

Дана система уравнений с параметром $a$:

$\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a \end{cases}$

Первое уравнение, как и в пункте б), принимает вид: $(a + 1)y = (a - 1)(a + 1)$.

Рассмотрим два случая.

1. Если $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$.

Из первого уравнения получаем $y = a - 1$.

Подставим это значение во второе уравнение системы:

$x - (a - 1) = a$

$x = a + a - 1$

$x = 2a - 1$.

При $a \neq -1$ система имеет единственное решение: $x = 2a - 1, y = a - 1$.

2. Если $a + 1 = 0 \implies a = -1$.

Подставим $a=-1$ в систему:

$\begin{cases} (-1 + 1)y = (-1)^2 - 1 \\ x - y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x - y = -1 \end{cases}$

Первое уравнение $0 \cdot y = 0$ истинно для любого $y$. Система имеет бесконечное множество решений, удовлетворяющих уравнению $x - y = -1$.

Выразим $x$ через $y$: $x = y - 1$.

Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(t - 1, t)$.

Ответ: при $a = -1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(t-1, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq -1$ система имеет единственное решение $x=2a-1, y=a-1$.