Номер 15.25, страница 366 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.25, страница 366.
№15.25 (с. 366)
Условие. №15.25 (с. 366)
скриншот условия

15.25 a) $\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a; \end{cases}$
б) $\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a; \end{cases}$
В) $\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a; \end{cases}$
Г) $\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a. \end{cases}$
Решение 1. №15.25 (с. 366)




Решение 2. №15.25 (с. 366)

Решение 3. №15.25 (с. 366)

Решение 4. №15.25 (с. 366)
а)
Дана система уравнений с параметром $a$:
$\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a \end{cases}$
Рассмотрим первое уравнение системы. Разложим правую часть на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.
Первое уравнение принимает вид: $(a - 1)y = (a - 1)(a + 1)$.
Решение этого уравнения зависит от значения параметра $a$. Рассмотрим два случая.
1. Если коэффициент при $y$ не равен нулю, то есть $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.
В этом случае мы можем разделить обе части уравнения на $(a - 1)$:
$y = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a - 1} = a + 1$.
Теперь подставим найденное значение $y$ во второе уравнение системы, чтобы найти $x$:
$x + (a + 1) = a$
$x = a - a - 1$
$x = -1$.
Таким образом, при $a \neq 1$ система имеет единственное решение: $x = -1, y = a + 1$.
2. Если коэффициент при $y$ равен нулю, то есть $a - 1 = 0 \implies a = 1$.
Подставим $a=1$ в исходную систему уравнений:
$\begin{cases} (1 - 1)y = 1^2 - 1 \\ x + y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x + y = 1 \end{cases}$
Первое уравнение, $0 \cdot y = 0$, является верным равенством для любого значения $y$. Это означает, что система имеет бесконечное множество решений. Все решения лежат на прямой, заданной вторым уравнением $x + y = 1$.
Выразим $x$ через $y$: $x = 1 - y$.
Решениями системы являются все пары чисел $(1 - y, y)$, где $y$ — любое действительное число. Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(1 - t, t)$.
Ответ: при $a = 1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(1-t, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq 1$ система имеет единственное решение $x=-1, y=a+1$.
б)
Дана система уравнений с параметром $a$:
$\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x + y = a \end{cases}$
Рассмотрим первое уравнение. Преобразуем правую часть: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$.
Уравнение принимает вид: $(a + 1)y = (a - 1)(a + 1)$.
Рассмотрим два случая.
1. Если $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$.
Разделим обе части уравнения на $(a + 1)$:
$y = \frac{(a - 1)(a + 1)}{a + 1} = a - 1$.
Подставим $y = a - 1$ во второе уравнение системы:
$x + (a - 1) = a$
$x = a - a + 1$
$x = 1$.
Следовательно, при $a \neq -1$ система имеет единственное решение: $x = 1, y = a - 1$.
2. Если $a + 1 = 0 \implies a = -1$.
Подставим $a=-1$ в исходную систему:
$\begin{cases} (-1 + 1)y = (-1)^2 - 1 \\ x + y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x + y = -1 \end{cases}$
Первое уравнение $0 \cdot y = 0$ верно для любого $y$. Система имеет бесконечное множество решений, которые удовлетворяют второму уравнению $x + y = -1$.
Выразим $x$ через $y$: $x = -1 - y$.
Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(-1 - t, t)$.
Ответ: при $a = -1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(-1-t, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq -1$ система имеет единственное решение $x=1, y=a-1$.
в)
Дана система уравнений с параметром $a$:
$\begin{cases} (a - 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a \end{cases}$
Первое уравнение, как и в пункте а), принимает вид: $(a - 1)y = (a - 1)(a + 1)$.
Рассмотрим два случая.
1. Если $a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1$.
Из первого уравнения получаем $y = a + 1$.
Подставим это значение во второе уравнение системы:
$x - (a + 1) = a$
$x = a + a + 1$
$x = 2a + 1$.
При $a \neq 1$ система имеет единственное решение: $x = 2a + 1, y = a + 1$.
2. Если $a - 1 = 0 \implies a = 1$.
Подставим $a=1$ в систему:
$\begin{cases} (1 - 1)y = 1^2 - 1 \\ x - y = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x - y = 1 \end{cases}$
Первое уравнение $0 \cdot y = 0$ истинно для любого $y$. Система имеет бесконечное множество решений, удовлетворяющих уравнению $x - y = 1$.
Выразим $x$ через $y$: $x = 1 + y$.
Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(1 + t, t)$.
Ответ: при $a = 1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(1+t, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq 1$ система имеет единственное решение $x=2a+1, y=a+1$.
г)
Дана система уравнений с параметром $a$:
$\begin{cases} (a + 1)y = a^2 - 1 \\ x - y = a \end{cases}$
Первое уравнение, как и в пункте б), принимает вид: $(a + 1)y = (a - 1)(a + 1)$.
Рассмотрим два случая.
1. Если $a + 1 \neq 0 \implies a \neq -1$.
Из первого уравнения получаем $y = a - 1$.
Подставим это значение во второе уравнение системы:
$x - (a - 1) = a$
$x = a + a - 1$
$x = 2a - 1$.
При $a \neq -1$ система имеет единственное решение: $x = 2a - 1, y = a - 1$.
2. Если $a + 1 = 0 \implies a = -1$.
Подставим $a=-1$ в систему:
$\begin{cases} (-1 + 1)y = (-1)^2 - 1 \\ x - y = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} 0 \cdot y = 0 \\ x - y = -1 \end{cases}$
Первое уравнение $0 \cdot y = 0$ истинно для любого $y$. Система имеет бесконечное множество решений, удовлетворяющих уравнению $x - y = -1$.
Выразим $x$ через $y$: $x = y - 1$.
Обозначив $y = t$, где $t \in \mathbb{R}$, получим решения в виде $(t - 1, t)$.
Ответ: при $a = -1$ система имеет бесконечное множество решений вида $(t-1, t)$, где $t \in \mathbb{R}$; при $a \neq -1$ система имеет единственное решение $x=2a-1, y=a-1$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 15.25 расположенного на странице 366 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №15.25 (с. 366), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.