Номер 15.23, страница 363 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами - номер 15.23, страница 363.

Условие.

15.23 a) $log_a(x - 1) \ge 2 \log_a(3 - x);$

б) $log_a(x - 3) \ge 2 \log_a(5 - x);$

в) $log_a(7 - x) \ge 2 \log_a(x - 5);$

г) $log_a(13 - x) \ge 2 \log_a(x - 1).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим неравенство $\log_a(x - 1) \ge 2\log_a(3 - x)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x < 3 \end{cases}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, 3)$.

Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма $n\log_b(c) = \log_b(c^n)$: $\log_a(x - 1) \ge \log_a((3 - x)^2)$.

Решение неравенства зависит от основания логарифма $a$. Рассмотрим два случая.

1. Если основание $a > 1$, функция логарифма возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам: $x - 1 \ge (3 - x)^2$

$x - 1 \ge 9 - 6x + x^2$

$x^2 - 7x + 10 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 7x + 10$ направлены вверх, решение неравенства: $x \in [2, 5]$. Пересекая это решение с ОДЗ $x \in (1, 3)$, получаем: $x \in [2, 3)$.

2. Если основание $0 < a < 1$, функция логарифма убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $x - 1 \le (3 - x)^2$

$x - 1 \le 9 - 6x + x^2$

$x^2 - 7x + 10 \ge 0$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$. Пересекая это решение с ОДЗ $x \in (1, 3)$, получаем: $x \in (1, 2]$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in [2, 3)$; при $0 < a < 1$ решение $x \in (1, 2]$.

б) Решим неравенство $\log_a(x - 3) \ge 2\log_a(5 - x)$.

ОДЗ: $\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x < 5 \end{cases}$. ОДЗ: $x \in (3, 5)$.

Преобразуем неравенство: $\log_a(x - 3) \ge \log_a((5 - x)^2)$.

1. При $a > 1$: $x - 3 \ge (5 - x)^2$

$x - 3 \ge 25 - 10x + x^2$

$x^2 - 11x + 28 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 11x + 28 = 0$: $x_1 = 4$, $x_2 = 7$. Решение неравенства: $x \in [4, 7]$. С учетом ОДЗ $x \in (3, 5)$, получаем: $x \in [4, 5)$.

2. При $0 < a < 1$: $x - 3 \le (5 - x)^2$

$x^2 - 11x + 28 \ge 0$

Решение неравенства: $x \in (-\infty, 4] \cup [7, \infty)$. С учетом ОДЗ $x \in (3, 5)$, получаем: $x \in (3, 4]$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in [4, 5)$; при $0 < a < 1$ решение $x \in (3, 4]$.

в) Решим неравенство $\log_a(7 - x) \ge 2\log_a(x - 5)$.

ОДЗ: $\begin{cases} 7 - x > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ x > 5 \end{cases}$. ОДЗ: $x \in (5, 7)$.

Преобразуем неравенство: $\log_a(7 - x) \ge \log_a((x - 5)^2)$.

1. При $a > 1$: $7 - x \ge (x - 5)^2$

$7 - x \ge x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 9x + 18 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 9x + 18 = 0$: $x_1 = 3$, $x_2 = 6$. Решение неравенства: $x \in [3, 6]$. С учетом ОДЗ $x \in (5, 7)$, получаем: $x \in (5, 6]$.

2. При $0 < a < 1$: $7 - x \le (x - 5)^2$

$x^2 - 9x + 18 \ge 0$

Решение неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [6, \infty)$. С учетом ОДЗ $x \in (5, 7)$, получаем: $x \in [6, 7)$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in (5, 6]$; при $0 < a < 1$ решение $x \in [6, 7)$.

г) Решим неравенство $\log_a(13 - x) \ge 2\log_a(x - 1)$.

ОДЗ: $\begin{cases} 13 - x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 13 \\ x > 1 \end{cases}$. ОДЗ: $x \in (1, 13)$.

Преобразуем неравенство: $\log_a(13 - x) \ge \log_a((x - 1)^2)$.

1. При $a > 1$: $13 - x \ge (x - 1)^2$

$13 - x \ge x^2 - 2x + 1$

$x^2 - x - 12 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$. Решение неравенства: $x \in [-3, 4]$. С учетом ОДЗ $x \in (1, 13)$, получаем: $x \in (1, 4]$.

2. При $0 < a < 1$: $13 - x \le (x - 1)^2$

$x^2 - x - 12 \ge 0$

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [4, \infty)$. С учетом ОДЗ $x \in (1, 13)$, получаем: $x \in [4, 13)$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in (1, 4]$; при $0 < a < 1$ решение $x \in [4, 13)$.