Страница 363 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

15.20 а) $\sqrt{x-a} \ge \sqrt{3-x}$;

б) $\sqrt{x+a} \ge \sqrt{13-x}$;

в) $\sqrt{x-a} \le \sqrt{23-x}$;

г) $\sqrt{x-a} \le \sqrt{33-x}$.

а) Дано неравенство $\sqrt{x-a} \ge \sqrt{3-x}$.
1. Найдем Область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнями должны быть неотрицательными:
$\begin{cases} x - a \ge 0 \\ 3 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge a \\ x \le 3 \end{cases}$
Следовательно, ОДЗ задается промежутком $[a, 3]$. Для существования решений необходимо, чтобы этот промежуток не был пустым, то есть $a \le 3$. Если $a > 3$, то ОДЗ является пустым множеством, и решений нет.
2. Решим неравенство. Поскольку обе части неравенства неотрицательны на ОДЗ, мы можем возвести их в квадрат, не меняя знака неравенства:
$(\sqrt{x-a})^2 \ge (\sqrt{3-x})^2$
$x - a \ge 3 - x$
$2x \ge a + 3$
$x \ge \frac{a+3}{2}$
3. Найдем общее решение, объединив результат с ОДЗ. Решение должно удовлетворять системе:
$\begin{cases} x \ge a \\ x \le 3 \\ x \ge \frac{a+3}{2} \end{cases}$
Поскольку мы рассматриваем случай $a \le 3$, то $\frac{a+3}{2} \ge a$. Значит, условие $x \ge \frac{a+3}{2}$ является более сильным, чем $x \ge a$.
Таким образом, система сводится к:
$\begin{cases} x \ge \frac{a+3}{2} \\ x \le 3 \end{cases}$
Решением является промежуток $[\frac{a+3}{2}, 3]$.
Ответ: если $a > 3$, решений нет; если $a \le 3$, то $x \in [\frac{a+3}{2}, 3]$.

б) Дано неравенство $\sqrt{x+a} \ge \sqrt{13-x}$.
1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x + a \ge 0 \\ 13 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge -a \\ x \le 13 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [-a, 13]$. Для существования решений необходимо, чтобы $-a \le 13$, то есть $a \ge -13$. Если $a < -13$, решений нет.
2. Решим неравенство, возведя обе части в квадрат:
$(\sqrt{x+a})^2 \ge (\sqrt{13-x})^2$
$x + a \ge 13 - x$
$2x \ge 13 - a$
$x \ge \frac{13-a}{2}$
3. Найдем общее решение, объединив результат с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge -a \\ x \le 13 \\ x \ge \frac{13-a}{2} \end{cases}$
В рассматриваемом случае $a \ge -13$, условие $\frac{13-a}{2} \ge -a$ выполняется, поэтому оно является более сильным, чем $x \ge -a$.
Система сводится к:
$\begin{cases} x \ge \frac{13-a}{2} \\ x \le 13 \end{cases}$
Решением является промежуток $[\frac{13-a}{2}, 13]$.
Ответ: если $a < -13$, решений нет; если $a \ge -13$, то $x \in [\frac{13-a}{2}, 13]$.

в) Дано неравенство $\sqrt{x-a} \le \sqrt{23-x}$.
1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - a \ge 0 \\ 23 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge a \\ x \le 23 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [a, 23]$. Для существования решений необходимо $a \le 23$. Если $a > 23$, решений нет.
2. Решим неравенство, возведя обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-a})^2 \le (\sqrt{23-x})^2$
$x - a \le 23 - x$
$2x \le 23 + a$
$x \le \frac{23+a}{2}$
3. Найдем общее решение, объединив результат с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge a \\ x \le 23 \\ x \le \frac{23+a}{2} \end{cases}$
В рассматриваемом случае $a \le 23$, условие $\frac{23+a}{2} \le 23$ выполняется, поэтому оно является более сильным, чем $x \le 23$.
Система сводится к:
$\begin{cases} x \ge a \\ x \le \frac{23+a}{2} \end{cases}$
Решением является промежуток $[a, \frac{23+a}{2}]$.
Ответ: если $a > 23$, решений нет; если $a \le 23$, то $x \in [a, \frac{23+a}{2}]$.

г) Дано неравенство $\sqrt{x-a} \le \sqrt{33-x}$.
1. Найдем ОДЗ:
$\begin{cases} x - a \ge 0 \\ 33 - x \ge 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x \ge a \\ x \le 33 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in [a, 33]$. Для существования решений необходимо $a \le 33$. Если $a > 33$, решений нет.
2. Решим неравенство, возведя обе части в квадрат:
$(\sqrt{x-a})^2 \le (\sqrt{33-x})^2$
$x - a \le 33 - x$
$2x \le 33 + a$
$x \le \frac{33+a}{2}$
3. Найдем общее решение, объединив результат с ОДЗ:
$\begin{cases} x \ge a \\ x \le 33 \\ x \le \frac{33+a}{2} \end{cases}$
В рассматриваемом случае $a \le 33$, условие $\frac{33+a}{2} \le 33$ выполняется, поэтому оно является более сильным, чем $x \le 33$.
Система сводится к:
$\begin{cases} x \ge a \\ x \le \frac{33+a}{2} \end{cases}$
Решением является промежуток $[a, \frac{33+a}{2}]$.
Ответ: если $a > 33$, решений нет; если $a \le 33$, то $x \in [a, \frac{33+a}{2}]$.

15.21 a) $ \log_2(x - a) \ge \log_2(13 - x) $;

Б) $ \log_3(x - a) \ge \log_3(11 - x) $;

В) $ \log_4(x - a) \le \log_4(9 - x) $;

Г) $ \log_5(x - a) \le \log_5(7 - x) $.

a) Решим неравенство $\log_2(x - a) \geq \log_2(13 - x)$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$\begin{cases} x - a > 0 \\ 13 - x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > a \\ x < 13 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (a; 13)$. Для существования непустой ОДЗ необходимо, чтобы выполнялось условие $a < 13$. Если $a \geq 13$, система неравенств, задающая ОДЗ, не имеет решений, а значит, и исходное неравенство не имеет решений.

2. Решим само неравенство. Так как основание логарифма $2 > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:
$x - a \geq 13 - x$
$2x \geq 13 + a$
$x \geq \frac{13 + a}{2}$

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ. Решение неравенства — это множество всех $x$, удовлетворяющих системе:
$\begin{cases} x < 13 \\ x \geq \frac{13 + a}{2} \end{cases}$
Таким образом, $x \in [\frac{13 + a}{2}; 13)$.
Для того чтобы этот промежуток был непустым, необходимо, чтобы его левая граница была меньше правой: $\frac{13 + a}{2} < 13$, что равносильно $13 + a < 26$, или $a < 13$. Это условие совпадает с условием существования ОДЗ.
Ответ: при $a \geq 13$ решений нет; при $a < 13$ $x \in [\frac{13+a}{2}, 13)$.

б) Решим неравенство $\log_3(x - a) \geq \log_3(11 - x)$.

1. ОДЗ:
$\begin{cases} x - a > 0 \\ 11 - x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > a \\ x < 11 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (a; 11)$. Для существования решений необходимо $a < 11$.

2. Решение неравенства. Основание $3 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x - a \geq 11 - x$
$2x \geq 11 + a$
$x \geq \frac{11 + a}{2}$

3. Пересечение с ОДЗ:
$\begin{cases} x < 11 \\ x \geq \frac{11 + a}{2} \end{cases}$
Решение: $x \in [\frac{11 + a}{2}; 11)$.
Промежуток непустой, если $\frac{11 + a}{2} < 11$, то есть $a < 11$.
Ответ: при $a \geq 11$ решений нет; при $a < 11$ $x \in [\frac{11+a}{2}, 11)$.

в) Решим неравенство $\log_4(x - a) \leq \log_4(9 - x)$.

1. ОДЗ:
$\begin{cases} x - a > 0 \\ 9 - x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > a \\ x < 9 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (a; 9)$. Для существования решений необходимо $a < 9$.

2. Решение неравенства. Основание $4 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x - a \leq 9 - x$
$2x \leq 9 + a$
$x \leq \frac{9 + a}{2}$

3. Пересечение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > a \\ x \leq \frac{9 + a}{2} \end{cases}$
Решение: $x \in (a; \frac{9 + a}{2}]$.
Промежуток непустой, если $a < \frac{9 + a}{2}$, то есть $2a < 9+a$, что равносильно $a < 9$.
Ответ: при $a \geq 9$ решений нет; при $a < 9$ $x \in (a, \frac{9+a}{2}]$.

г) Решим неравенство $\log_5(x - a) \leq \log_5(7 - x)$.

1. ОДЗ:
$\begin{cases} x - a > 0 \\ 7 - x > 0 \end{cases}$
$\begin{cases} x > a \\ x < 7 \end{cases}$
ОДЗ: $x \in (a; 7)$. Для существования решений необходимо $a < 7$.

2. Решение неравенства. Основание $5 > 1$, поэтому знак неравенства сохраняется:
$x - a \leq 7 - x$
$2x \leq 7 + a$
$x \leq \frac{7 + a}{2}$

3. Пересечение с ОДЗ:
$\begin{cases} x > a \\ x \leq \frac{7 + a}{2} \end{cases}$
Решение: $x \in (a; \frac{7 + a}{2}]$.
Промежуток непустой, если $a < \frac{7 + a}{2}$, то есть $a < 7$.
Ответ: при $a \geq 7$ решений нет; при $a < 7$ $x \in (a, \frac{7+a}{2}]$.

15.22 а) $\log_a(x - 2) \ge \log_a(13 - x)$;

б) $\log_a(x - 3) \ge \log_a(15 - 2x)$;

в) $\log_a(4 - x) \ge \log_a(3x - 15)$;

г) $\log_a(5 - x) \ge \log_a(4x - 35)$.

а) Решение данного логарифмического неравенства зависит от основания логарифма a.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными:

$\begin{cases} x - 2 > 0 \\ 13 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 2 \\ x < 13 \end{cases}$

Отсюда ОДЗ: $x \in (2, 13)$.

Далее рассмотрим два случая для основания a.

Случай 1: $a > 1$

Если основание логарифма больше 1, то логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:

$x - 2 \ge 13 - x$

$2x \ge 15$

$x \ge 7.5$

С учетом ОДЗ ($2 < x < 13$), получаем решение для этого случая: $x \in [7.5, 13)$.

Случай 2: $0 < a < 1$

Если основание логарифма находится в интервале от 0 до 1, то логарифмическая функция является убывающей. Поэтому знак неравенства меняется на противоположный:

$x - 2 \le 13 - x$

$2x \le 15$

$x \le 7.5$

С учетом ОДЗ ($2 < x < 13$), получаем решение для этого случая: $x \in (2, 7.5]$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in [7.5, 13)$; при $0 < a < 1$ решение $x \in (2, 7.5]$.

б) Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив систему неравенств:

$\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 15 - 2x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ 2x < 15 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x < 7.5 \end{cases}$

ОДЗ: $x \in (3, 7.5)$.

Рассмотрим два случая для основания a.

Случай 1: $a > 1$

Логарифмическая функция возрастающая, знак неравенства сохраняется:

$x - 3 \ge 15 - 2x$

$3x \ge 18$

$x \ge 6$

Пересекая с ОДЗ ($3 < x < 7.5$), получаем: $x \in [6, 7.5)$.

Случай 2: $0 < a < 1$

Логарифмическая функция убывающая, знак неравенства меняется:

$x - 3 \le 15 - 2x$

$3x \le 18$

$x \le 6$

Пересекая с ОДЗ ($3 < x < 7.5$), получаем: $x \in (3, 6]$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in [6, 7.5)$; при $0 < a < 1$ решение $x \in (3, 6]$.

в) Найдем область допустимых значений (ОДЗ), при которой определены оба логарифма:

$\begin{cases} 4 - x > 0 \\ 3x - 15 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ 3x > 15 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 4 \\ x > 5 \end{cases}$

Эта система неравенств не имеет решений, так как не существует такого числа x, которое было бы одновременно меньше 4 и больше 5. Область допустимых значений является пустым множеством. Следовательно, исходное неравенство не имеет решений ни при каком допустимом значении основания a.

Ответ: решений нет.

г) Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$\begin{cases} 5 - x > 0 \\ 4x - 35 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ 4x > 35 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x > \frac{35}{4} \end{cases} \implies \begin{cases} x < 5 \\ x > 8.75 \end{cases}$

Данная система не имеет решений, так как не существует x, удовлетворяющего обоим условиям (быть одновременно меньше 5 и больше 8.75). Область допустимых значений является пустым множеством, следовательно, неравенство не имеет решений.

Ответ: решений нет.

15.23 a) $log_a(x - 1) \ge 2 \log_a(3 - x);$

б) $log_a(x - 3) \ge 2 \log_a(5 - x);$

в) $log_a(7 - x) \ge 2 \log_a(x - 5);$

г) $log_a(13 - x) \ge 2 \log_a(x - 1).$

а) Решим неравенство $\log_a(x - 1) \ge 2\log_a(3 - x)$.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

$\begin{cases} x - 1 > 0 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 1 \\ x < 3 \end{cases}$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (1, 3)$.

Преобразуем неравенство, используя свойство логарифма $n\log_b(c) = \log_b(c^n)$: $\log_a(x - 1) \ge \log_a((3 - x)^2)$.

Решение неравенства зависит от основания логарифма $a$. Рассмотрим два случая.

1. Если основание $a > 1$, функция логарифма возрастающая, поэтому знак неравенства сохраняется при переходе к аргументам: $x - 1 \ge (3 - x)^2$

$x - 1 \ge 9 - 6x + x^2$

$x^2 - 7x + 10 \le 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 7x + 10 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = 5$. Так как ветви параболы $y = x^2 - 7x + 10$ направлены вверх, решение неравенства: $x \in [2, 5]$. Пересекая это решение с ОДЗ $x \in (1, 3)$, получаем: $x \in [2, 3)$.

2. Если основание $0 < a < 1$, функция логарифма убывающая, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $x - 1 \le (3 - x)^2$

$x - 1 \le 9 - 6x + x^2$

$x^2 - 7x + 10 \ge 0$

Решение этого неравенства: $x \in (-\infty, 2] \cup [5, \infty)$. Пересекая это решение с ОДЗ $x \in (1, 3)$, получаем: $x \in (1, 2]$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in [2, 3)$; при $0 < a < 1$ решение $x \in (1, 2]$.

б) Решим неравенство $\log_a(x - 3) \ge 2\log_a(5 - x)$.

ОДЗ: $\begin{cases} x - 3 > 0 \\ 5 - x > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x > 3 \\ x < 5 \end{cases}$. ОДЗ: $x \in (3, 5)$.

Преобразуем неравенство: $\log_a(x - 3) \ge \log_a((5 - x)^2)$.

1. При $a > 1$: $x - 3 \ge (5 - x)^2$

$x - 3 \ge 25 - 10x + x^2$

$x^2 - 11x + 28 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 11x + 28 = 0$: $x_1 = 4$, $x_2 = 7$. Решение неравенства: $x \in [4, 7]$. С учетом ОДЗ $x \in (3, 5)$, получаем: $x \in [4, 5)$.

2. При $0 < a < 1$: $x - 3 \le (5 - x)^2$

$x^2 - 11x + 28 \ge 0$

Решение неравенства: $x \in (-\infty, 4] \cup [7, \infty)$. С учетом ОДЗ $x \in (3, 5)$, получаем: $x \in (3, 4]$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in [4, 5)$; при $0 < a < 1$ решение $x \in (3, 4]$.

в) Решим неравенство $\log_a(7 - x) \ge 2\log_a(x - 5)$.

ОДЗ: $\begin{cases} 7 - x > 0 \\ x - 5 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 7 \\ x > 5 \end{cases}$. ОДЗ: $x \in (5, 7)$.

Преобразуем неравенство: $\log_a(7 - x) \ge \log_a((x - 5)^2)$.

1. При $a > 1$: $7 - x \ge (x - 5)^2$

$7 - x \ge x^2 - 10x + 25$

$x^2 - 9x + 18 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - 9x + 18 = 0$: $x_1 = 3$, $x_2 = 6$. Решение неравенства: $x \in [3, 6]$. С учетом ОДЗ $x \in (5, 7)$, получаем: $x \in (5, 6]$.

2. При $0 < a < 1$: $7 - x \le (x - 5)^2$

$x^2 - 9x + 18 \ge 0$

Решение неравенства: $x \in (-\infty, 3] \cup [6, \infty)$. С учетом ОДЗ $x \in (5, 7)$, получаем: $x \in [6, 7)$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in (5, 6]$; при $0 < a < 1$ решение $x \in [6, 7)$.

г) Решим неравенство $\log_a(13 - x) \ge 2\log_a(x - 1)$.

ОДЗ: $\begin{cases} 13 - x > 0 \\ x - 1 > 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x < 13 \\ x > 1 \end{cases}$. ОДЗ: $x \in (1, 13)$.

Преобразуем неравенство: $\log_a(13 - x) \ge \log_a((x - 1)^2)$.

1. При $a > 1$: $13 - x \ge (x - 1)^2$

$13 - x \ge x^2 - 2x + 1$

$x^2 - x - 12 \le 0$

Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$: $x_1 = -3$, $x_2 = 4$. Решение неравенства: $x \in [-3, 4]$. С учетом ОДЗ $x \in (1, 13)$, получаем: $x \in (1, 4]$.

2. При $0 < a < 1$: $13 - x \le (x - 1)^2$

$x^2 - x - 12 \ge 0$

Решение неравенства: $x \in (-\infty, -3] \cup [4, \infty)$. С учетом ОДЗ $x \in (1, 13)$, получаем: $x \in [4, 13)$.

Ответ: при $a > 1$ решение $x \in (1, 4]$; при $0 < a < 1$ решение $x \in [4, 13)$.