Страница 360 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

15.2 a) $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = a;$

Б) $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = a;$

В) $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = a + 1;$

Г) $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = a - 1.$

а) Решим уравнение $\frac{x^2 - 1}{x - 1} = a$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 1 \neq 0$, что означает $x \neq 1$.

Далее, упростим левую часть уравнения. Числитель $x^2 - 1$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $b^2 - c^2 = (b - c)(b + c)$: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение: $\frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = a$.

Поскольку мы работаем в ОДЗ, где $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(x - 1)$: $x + 1 = a$.

Теперь выразим $x$: $x = a - 1$.

Это решение является верным для всех значений параметра $a$, кроме тех, при которых оно нарушает ОДЗ. Проверим, при каком значении $a$ корень $x$ будет равен $1$: $a - 1 = 1$ $a = 2$.

Таким образом, если $a = 2$, то решение $x=1$ не входит в ОДЗ, и, следовательно, уравнение не имеет корней. Если же $a \neq 2$, то решение $x = a - 1$ является действительным.

Ответ: при $a = 2$ корней нет; при $a \neq 2$, $x = a - 1$.

б) Решим уравнение $\frac{x^2 - 1}{x + 1} = a$.

ОДЗ: знаменатель $x + 1 \neq 0$, следовательно, $x \neq -1$.

Разложим числитель на множители: $x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1)$. Уравнение принимает вид: $\frac{(x - 1)(x + 1)}{x + 1} = a$.

Сокращаем дробь на $(x + 1)$, так как $x \neq -1$: $x - 1 = a$.

Выразим $x$: $x = a + 1$.

Проверим, при каком значении $a$ найденный корень нарушает ОДЗ, то есть $x = -1$: $a + 1 = -1$ $a = -2$.

Если $a = -2$, то уравнение не имеет решений. При всех остальных значениях $a$ ($a \neq -2$) решение $x = a + 1$ является верным.

Ответ: при $a = -2$ корней нет; при $a \neq -2$, $x = a + 1$.

в) Решим уравнение $\frac{x^2 - 4}{x + 2} = a + 1$.

ОДЗ: знаменатель $x + 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq -2$.

Разложим числитель $x^2 - 4$ как разность квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Уравнение принимает вид: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2} = a + 1$.

Сокращаем дробь на $(x + 2)$, так как $x \neq -2$: $x - 2 = a + 1$.

Выразим $x$: $x = a + 1 + 2$ $x = a + 3$.

Проверим, при каком значении $a$ найденный корень нарушает ОДЗ, то есть $x = -2$: $a + 3 = -2$ $a = -5$.

Если $a = -5$, то уравнение не имеет решений. При всех $a \neq -5$ решение $x = a + 3$ является верным.

Ответ: при $a = -5$ корней нет; при $a \neq -5$, $x = a + 3$.

г) Решим уравнение $\frac{x^2 - 4}{x - 2} = a - 1$.

ОДЗ: знаменатель $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Разложим числитель $x^2 - 4$ на множители: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$. Уравнение принимает вид: $\frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = a - 1$.

Сокращаем дробь на $(x - 2)$, так как $x \neq 2$: $x + 2 = a - 1$.

Выразим $x$: $x = a - 1 - 2$ $x = a - 3$.

Проверим, при каком значении $a$ найденный корень нарушает ОДЗ, то есть $x = 2$: $a - 3 = 2$ $a = 5$.

Если $a = 5$, то уравнение не имеет решений. При всех $a \neq 5$ решение $x = a - 3$ является верным.

Ответ: при $a = 5$ корней нет; при $a \neq 5$, $x = a - 3$.

15.3 a) $\frac{x-1}{x^2-1} = a;$

б) $\frac{x+1}{x^2-1} = a;$

В) $\frac{x+2}{x^2-4} = a-1;$

Г) $\frac{x-2}{x^2-4} = a+1.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x-1}{x^2-1} = a $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $ x^2 - 1 \neq 0 $ $ (x-1)(x+1) \neq 0 $ Следовательно, $ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $.

Разложим знаменатель на множители и упростим левую часть уравнения, учитывая, что $ x \neq 1 $: $ \frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = a $ $ \frac{1}{x+1} = a $

Теперь рассмотрим возможные значения параметра $a$.

1. Если $ a = 0 $, то уравнение принимает вид $ \frac{1}{x+1} = 0 $. Это уравнение не имеет решений, так как дробь с числителем 1 не может равняться нулю.

2. Если $ a \neq 0 $, выразим $x$: $ x+1 = \frac{1}{a} $ $ x = \frac{1}{a} - 1 $

Проверим, при каких значениях $a$ найденный корень не удовлетворяет ОДЗ ($ x \neq 1 $ и $ x \neq -1 $).

Проверим $ x = 1 $: $ \frac{1}{a} - 1 = 1 \implies \frac{1}{a} = 2 \implies a = \frac{1}{2} $. При $ a = \frac{1}{2} $ корень $ x=1 $ является посторонним, поэтому решений нет.

Проверим $ x = -1 $: $ \frac{1}{a} - 1 = -1 \implies \frac{1}{a} = 0 $. Это невозможно, значит корень никогда не будет равен -1.

Итак, при $ a=0 $ и $ a=\frac{1}{2} $ решений нет. При всех остальных значениях $a$ решение существует.

Ответ: если $ a \in \{0; \frac{1}{2}\} $, то корней нет; если $ a \notin \{0; \frac{

15.4 a) $ \frac{a+10}{ax+5}=2 $;

б) $ \frac{a-8}{ax-4}=2 $;

в) $ \frac{a+1}{ax+4}=1 $;

г) $ \frac{a-2}{ax-3}=1 $.

а)

Дано уравнение с параметром $a$: $\frac{a+10}{ax+5} = 2$.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ax+5 \neq 0$, откуда $ax \neq -5$.

Для решения уравнения умножим обе части на знаменатель $(ax+5)$:

$a + 10 = 2(ax + 5)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$a + 10 = 2ax + 10$

$a = 2ax$

Перенесем все члены в одну сторону:

$2ax - a = 0$

$a(2x - 1) = 0$

Это уравнение распадается на два случая в зависимости от значения параметра $a$.

Случай 1: $a = 0$.

Подставим $a=0$ в исходное уравнение: $\frac{0+10}{0 \cdot x+5} = \frac{10}{5} = 2$. Равенство $2=2$ является верным для любого значения $x$. Ограничение ОДЗ ($0 \cdot x \neq -5$, то есть $0 \neq -5$) также выполняется для любого $x$. Следовательно, при $a=0$ решением является любое действительное число.

Случай 2: $a \neq 0$.

В этом случае мы можем разделить обе части уравнения $a(2x - 1) = 0$ на $a$:

$2x - 1 = 0$

$2x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Теперь необходимо проверить, при каких значениях $a$ этот корень удовлетворяет ОДЗ ($ax \neq -5$).

Подставим $x = \frac{1}{2}$ в это условие:

$a \cdot \frac{1}{2} \neq -5$

$a \neq -10$

Значит, если $a \neq 0$ и $a \neq -10$, уравнение имеет единственный корень $x = \frac{1}{2}$.

Если $a = -10$, то найденный корень $x = \frac{1}{2}$ обращает знаменатель исходного уравнения в ноль ($(-10) \cdot \frac{1}{2} + 5 = -5 + 5 = 0$), что недопустимо. В этом случае уравнение не имеет решений. Это также видно, если подставить $a=-10$ в исходное уравнение: $\frac{-10+10}{-10x+5}=2$, или $\frac{0}{-10x+5}=2$, что неверно.

Ответ: если $a=0$, то $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a=-10$, то решений нет; если $a \neq 0$ и $a \neq -10$, то $x=\frac{1}{2}$.

б)

Дано уравнение с параметром $a$: $\frac{a-8}{ax-4} = 2$.

ОДЗ: $ax-4 \neq 0$, откуда $ax \neq 4$.

Решим уравнение, умножив обе части на знаменатель $(ax-4)$:

$a - 8 = 2(ax - 4)$

$a - 8 = 2ax - 8$

$a = 2ax$

$2ax - a = 0$

$a(2x - 1) = 0$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.

Подставим $a=0$ в исходное уравнение: $\frac{0-8}{0 \cdot x-4} = \frac{-8}{-4} = 2$. Равенство $2=2$ верно для любого $x$. Ограничение ОДЗ ($0 \cdot x \neq 4$, то есть $0 \neq 4$) выполняется для любого $x$. Следовательно, при $a=0$ решением является любое действительное число.

Случай 2: $a \neq 0$.

Разделим обе части уравнения $a(2x - 1) = 0$ на $a$:

$2x - 1 = 0$

$x = \frac{1}{2}$

Проверим ОДЗ ($ax \neq 4$) для этого корня.

Подставим $x = \frac{1}{2}$:

$a \cdot \frac{1}{2} \neq 4$

$a \neq 8$

Таким образом, если $a \neq 0$ и $a \neq 8$, то корень $x = \frac{1}{2}$ существует.

Если $a = 8$, то корень $x = \frac{1}{2}$ обращает знаменатель в ноль ($8 \cdot \frac{1}{2} - 4 = 4 - 4 = 0$), поэтому решений нет. При подстановке $a=8$ в исходное уравнение получаем $\frac{8-8}{8x-4}=2$, или $\frac{0}{8x-4}=2$, что неверно.

Ответ: если $a=0$, то $x$ - любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$); если $a=8$, то решений нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 8$, то $x=\frac{1}{2}$.

в)

Дано уравнение с параметром $a$: $\frac{a+1}{ax+4} = 1$.

ОДЗ: $ax+4 \neq 0$, откуда $ax \neq -4$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(ax+4)$:

$a+1 = ax+4$

Выразим член с $x$:

$ax = a+1-4$

$ax = a-3$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0-3$, то есть $0 = -3$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ решений нет.

Случай 2: $a \neq 0$.

Разделим обе части на $a$:

$x = \frac{a-3}{a}$

Проверим ОДЗ ($ax \neq -4$) для найденного корня.

Подставим $x = \frac{a-3}{a}$:

$a \cdot \frac{a-3}{a} \neq -4$

$a-3 \neq -4$

$a \neq -1$

Следовательно, если $a \neq 0$ и $a \neq -1$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{a-3}{a}$.

Если $a=-1$, то корень $x = \frac{-1-3}{-1} = 4$ обращает знаменатель в ноль ($-1 \cdot 4 + 4 = 0$). При $a=-1$ исходное уравнение имеет вид $\frac{-1+1}{-x+4}=1$, или $\frac{0}{-x+4}=1$, что неверно. Значит, при $a=-1$ решений нет.

Ответ: если $a=0$ или $a=-1$, то решений нет; если $a \neq 0$ и $a \neq -1$, то $x=\frac{a-3}{a}$.

г)

Дано уравнение с параметром $a$: $\frac{a-2}{ax-3} = 1$.

ОДЗ: $ax-3 \neq 0$, откуда $ax \neq 3$.

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(ax-3)$:

$a-2 = ax-3$

$ax = a-2+3$

$ax = a+1$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $a = 0$.

Уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0+1$, то есть $0 = 1$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ решений нет.

Случай 2: $a \neq 0$.

Разделим обе части на $a$:

$x = \frac{a+1}{a}$

Проверим ОДЗ ($ax \neq 3$) для найденного корня.

Подставим $x = \frac{a+1}{a}$:

$a \cdot \frac{a+1}{a} \neq 3$

$a+1 \neq 3$

$a \neq 2$

Следовательно, если $a \neq 0$ и $a \neq 2$, то уравнение имеет единственный корень $x = \frac{a+1}{a}$.

Если $a=2$, то корень $x = \frac{2+1}{2} = \frac{3}{2}$ обращает знаменатель в ноль ($2 \cdot \frac{3}{2} - 3 = 0$). При $a=2$ исходное уравнение имеет вид $\frac{2-2}{2x-3}=1$, или $\frac{0}{2x-3}=1$, что неверно. Значит, при $a=2$ решений нет.

Ответ: если $a=0$ или $a=2$, то решений нет; если $a \neq 0$ и $a \neq 2$, то $x=\frac{a+1}{a}$.

15.5 а) $|x - 1| - a|x + 1| = 2;$

Б) $|\dot{x} - 2| - a|x + 1| = 3;$

В) $|x + 3| - a|x - 1| = 4;$

Г) $|x + 2| - a|x - 3| = 5.$

а) Решим уравнение $|x - 1| - a|x + 1| = 2$ методом интервалов. Критические точки, в которых выражения под модулем равны нулю: $x = 1$ и $x = -1$. Эти точки разбивают числовую прямую на три промежутка.

1. При $x \le -1$, имеем $|x - 1| = -(x - 1)$ и $|x + 1| = -(x + 1)$. Уравнение принимает вид:
$-(x - 1) - a(-(x + 1)) = 2$
$1 - x + a(x + 1) = 2$
$1 - x + ax + a = 2$
$x(a - 1) = 1 - a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$. Следовательно, все $x$ из промежутка $x \le -1$ являются решениями.
Если $a \neq 1$, получаем $x = \frac{1 - a}{a - 1} = -1$. Этот корень принадлежит рассматриваемому промежутку.

2. При $-1 < x < 1$, имеем $|x - 1| = -(x - 1)$ и $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид:
$-(x - 1) - a(x + 1) = 2$
$1 - x - ax - a = 2$
$-x(1 + a) = 1 + a$
Если $a = -1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$. Следовательно, все $x$ из интервала $(-1, 1)$ являются решениями.
Если $a \neq -1$, получаем $x = -1$. Этот корень не принадлежит рассматриваемому интервалу.

3. При $x \ge 1$, имеем $|x - 1| = x - 1$ и $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид:
$(x - 1) - a(x + 1) = 2$
$x - 1 - ax - a = 2$
$x(1 - a) = 3 + a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 4$, что не имеет решений.
Если $a \neq 1$, получаем $x = \frac{3 + a}{1 - a}$. Проверим, при каких $a$ этот корень принадлежит промежутку $x \ge 1$:
$\frac{3 + a}{1 - a} \ge 1 \Leftrightarrow \frac{3 + a - (1 - a)}{1 - a} \ge 0 \Leftrightarrow \frac{2a + 2}{1 - a} \ge 0$.
Решая это неравенство, получаем $a \in [-1, 1)$.

Ответ:

• при $a = 1$, $x \in (-\infty, -1]$;
• при $a = -1$, объединяя решения из всех случаев ($x=-1$, $x \in (-1, 1)$, $x=1$), получаем $x \in [-1, 1]$;
• при $a \in (-1, 1)$, решениями являются $x = -1$ и $x = \frac{3 + a}{1 - a}$;
• при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, решением является $x = -1$.

б) Предполагая, что в условии $|ẋ - 2| - a|x + 1| = 3$ имеется опечатка и должно быть $|x - 2|$, решим уравнение. Критические точки: $x = 2$ и $x = -1$.

1. При $x \le -1$, имеем $|x - 2| = -(x - 2)$ и $|x + 1| = -(x + 1)$. Уравнение принимает вид:
$-(x - 2) - a(-(x + 1)) = 3$
$-x + 2 + ax + a = 3$
$x(a - 1) = 1 - a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \le -1$.
Если $a \neq 1$, получаем $x = -1$.

2. При $-1 < x < 2$, имеем $|x - 2| = -(x - 2)$ и $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид:
$-(x - 2) - a(x + 1) = 3$
$-x + 2 - ax - a = 3$
$-x(1 + a) = 1 + a$
Если $a = -1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \in (-1, 2)$.
Если $a \neq -1$, получаем $x = -1$, что не входит в данный интервал.

3. При $x \ge 2$, имеем $|x - 2| = x - 2$ и $|x + 1| = x + 1$. Уравнение принимает вид:
$(x - 2) - a(x + 1) = 3$
$x - 2 - ax - a = 3$
$x(1 - a) = 5 + a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 6$, что не имеет решений.
Если $a \neq 1$, получаем $x = \frac{5 + a}{1 - a}$. Корень принадлежит промежутку $x \ge 2$ при условии $\frac{5 + a}{1 - a} \ge 2 \Leftrightarrow \frac{3a + 3}{1 - a} \ge 0$, что выполняется для $a \in [-1, 1)$.

Ответ:

• при $a = 1$, $x \in (-\infty, -1]$;
• при $a = -1$, объединяя решения, получаем $x \in [-1, 2]$;
• при $a \in (-1, 1)$, решениями являются $x = -1$ и $x = \frac{5 + a}{1 - a}$;
• при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, решением является $x = -1$.

в) Решим уравнение $|x + 3| - a|x - 1| = 4$ методом интервалов. Критические точки: $x = -3$ и $x = 1$.

1. При $x < -3$, имеем $|x + 3| = -(x + 3)$ и $|x - 1| = -(x - 1)$. Уравнение принимает вид:
$-(x + 3) - a(-(x - 1)) = 4$
$-x - 3 + ax - a = 4$
$x(a - 1) = 7 + a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 8$, решений нет.
Если $a \neq 1$, получаем $x = \frac{7 + a}{a - 1}$. Корень принадлежит промежутку $x < -3$ при условии $\frac{7 + a}{a - 1} < -3 \Leftrightarrow \frac{4a + 4}{a - 1} < 0$, что выполняется для $a \in (-1, 1)$.

2. При $-3 \le x < 1$, имеем $|x + 3| = x + 3$ и $|x - 1| = -(x - 1)$. Уравнение принимает вид:
$(x + 3) - a(-(x - 1)) = 4$
$x + 3 + ax - a = 4$
$x(1 + a) = 1 + a$
Если $a = -1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \in [-3, 1)$.
Если $a \neq -1$, получаем $x = 1$, что не входит в данный промежуток.

3. При $x \ge 1$, имеем $|x + 3| = x + 3$ и $|x - 1| = x - 1$. Уравнение принимает вид:
$(x + 3) - a(x - 1) = 4$
$x + 3 - ax + a = 4$
$x(1 - a) = 1 - a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \ge 1$.
Если $a \neq 1$, получаем $x = 1$.

Ответ:

• при $a = 1$, $x \in [1, \infty)$;
• при $a = -1$, объединяя решения, получаем $x \in [-3, 1]$;
• при $a \in (-1, 1)$, решениями являются $x = 1$ и $x = \frac{7 + a}{a - 1}$;
• при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, решением является $x = 1$.

г) Решим уравнение $|x + 2| - a|x - 3| = 5$ методом интервалов. Критические точки: $x = -2$ и $x = 3$.

1. При $x < -2$, имеем $|x + 2| = -(x + 2)$ и $|x - 3| = -(x - 3)$. Уравнение принимает вид:
$-(x + 2) - a(-(x - 3)) = 5$
$-x - 2 + ax - 3a = 5$
$x(a - 1) = 7 + 3a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 10$, решений нет.
Если $a \neq 1$, получаем $x = \frac{7 + 3a}{a - 1}$. Корень принадлежит промежутку $x < -2$ при условии $\frac{7 + 3a}{a - 1} < -2 \Leftrightarrow \frac{5a + 5}{a - 1} < 0$, что выполняется для $a \in (-1, 1)$.

2. При $-2 \le x < 3$, имеем $|x + 2| = x + 2$ и $|x - 3| = -(x - 3)$. Уравнение принимает вид:
$(x + 2) - a(-(x - 3)) = 5$
$x + 2 + ax - 3a = 5$
$x(1 + a) = 3 + 3a$
Если $a = -1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \in [-2, 3)$.
Если $a \neq -1$, получаем $x = 3$, что не входит в данный промежуток.

3. При $x \ge 3$, имеем $|x + 2| = x + 2$ и $|x - 3| = x - 3$. Уравнение принимает вид:
$(x + 2) - a(x - 3) = 5$
$x + 2 - ax + 3a = 5$
$x(1 - a) = 3 - 3a$
Если $a = 1$, получаем $0 \cdot x = 0$, что верно для всех $x \ge 3$.
Если $a \neq 1$, получаем $x = 3$.

Ответ:

• при $a = 1$, $x \in [3, \infty)$;
• при $a = -1$, объединяя решения, получаем $x \in [-2, 3]$;
• при $a \in (-1, 1)$, решениями являются $x = 3$ и $x = \frac{7 + 3a}{a - 1}$;
• при $a \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty)$, решением является $x = 3$.

15.6 a) $\frac{a-5}{4ax+1} = 1;$

б) $\frac{a-4}{3ax+1} = 2;$

В) $\frac{a-3}{2ax+1} = 3;$

Г) $\frac{a-2}{ax+1} = 4.$

а) Решим уравнение с параметром $a$: $\frac{a-5}{4ax+1} = 1$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $4ax+1 \neq 0$.
При условии $4ax+1 \neq 0$, умножим обе части уравнения на знаменатель:
$a-5 = 1 \cdot (4ax+1)$
$a-5 = 4ax+1$
Выразим член, содержащий $x$:
$4ax = a-5-1$
$4ax = a-6$
Теперь необходимо проанализировать это линейное уравнение относительно $x$.
1. Если коэффициент при $x$ не равен нулю, то есть $4a \neq 0 \implies a \neq 0$.
В этом случае решение существует и единственно:
$x = \frac{a-6}{4a}$
Проверим, удовлетворяет ли это решение ОДЗ. Подставим найденное значение $x$ в выражение $4ax+1$:
$4a(\frac{a-6}{4a}) + 1 = (a-6) + 1 = a-5$.
Условие $4ax+1 \neq 0$ равносильно условию $a-5 \neq 0$, то есть $a \neq 5$.
2. Если $a=0$.
Уравнение $4ax = a-6$ принимает вид $0 \cdot x = 0-6$, то есть $0 = -6$. Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет решений.
3. Если $a=5$.
В этом случае найденное выражение для $x$ приводит к обращению знаменателя в ноль, что недопустимо. Исходное уравнение принимает вид $\frac{5-5}{20x+1} = 1 \implies \frac{0}{20x+1}=1$, что при $20x+1 \neq 0$ равносильно $0=1$. Это неверно, значит, решений нет.
Соберем все случаи вместе.
Ответ: при $a \in \{0, 5\}$ решений нет; при $a \notin \{0, 5\}$ $x = \frac{a-6}{4a}$.

б) Решим уравнение с параметром $a$: $\frac{a-4}{3ax+1} = 2$.
ОДЗ: $3ax+1 \neq 0$.
При условии $3ax+1 \neq 0$, умножим обе части уравнения на знаменатель:
$a-4 = 2(3ax+1)$
$a-4 = 6ax+2$
$6ax = a-4-2$
$6ax = a-6$
Проанализируем полученное уравнение.
1. Если $6a \neq 0 \implies a \neq 0$.
Тогда $x = \frac{a-6}{6a}$.
Проверим ОДЗ: $3ax+1 = 3a(\frac{a-6}{6a}) + 1 = \frac{a-6}{2} + 1 = \frac{a-6+2}{2} = \frac{a-4}{2}$.
Условие $3ax+1 \neq 0$ равносильно $\frac{a-4}{2} \neq 0$, то есть $a \neq 4$.
2. Если $a=0$.
Уравнение $6ax = a-6$ принимает вид $0 \cdot x = -6$, что неверно. Решений нет.
3. Если $a=4$.
Знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Исходное уравнение: $\frac{4-4}{12x+1}=2 \implies \frac{0}{12x+1}=2$. При $12x+1 \neq 0$ получаем $0=2$, что неверно. Решений нет.
Ответ: при $a \in \{0, 4\}$ решений нет; при $a \notin \{0, 4\}$ $x = \frac{a-6}{6a}$.

в) Решим уравнение с параметром $a$: $\frac{a-3}{2ax+1} = 3$.
ОДЗ: $2ax+1 \neq 0$.
При условии $2ax+1 \neq 0$, умножим обе части уравнения на знаменатель:
$a-3 = 3(2ax+1)$
$a-3 = 6ax+3$
$6ax = a-3-3$
$6ax = a-6$
Проанализируем полученное уравнение.
1. Если $6a \neq 0 \implies a \neq 0$.
Тогда $x = \frac{a-6}{6a}$.
Проверим ОДЗ: $2ax+1 = 2a(\frac{a-6}{6a}) + 1 = \frac{a-6}{3} + 1 = \frac{a-6+3}{3} = \frac{a-3}{3}$.
Условие $2ax+1 \neq 0$ равносильно $\frac{a-3}{3} \neq 0$, то есть $a \neq 3$.
2. Если $a=0$.
Уравнение $6ax = a-6$ принимает вид $0 \cdot x = -6$, что неверно. Решений нет.
3. Если $a=3$.
Знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Исходное уравнение: $\frac{3-3}{6x+1}=3 \implies \frac{0}{6x+1}=3$. При $6x+1 \neq 0$ получаем $0=3$, что неверно. Решений нет.
Ответ: при $a \in \{0, 3\}$ решений нет; при $a \notin \{0, 3\}$ $x = \frac{a-6}{6a}$.

г) Решим уравнение с параметром $a$: $\frac{a-2}{ax+1} = 4$.
ОДЗ: $ax+1 \neq 0$.
При условии $ax+1 \neq 0$, умножим обе части уравнения на знаменатель:
$a-2 = 4(ax+1)$
$a-2 = 4ax+4$
$4ax = a-2-4$
$4ax = a-6$
Проанализируем полученное уравнение.
1. Если $4a \neq 0 \implies a \neq 0$.
Тогда $x = \frac{a-6}{4a}$.
Проверим ОДЗ: $ax+1 = a(\frac{a-6}{4a}) + 1 = \frac{a-6}{4} + 1 = \frac{a-6+4}{4} = \frac{a-2}{4}$.
Условие $ax+1 \neq 0$ равносильно $\frac{a-2}{4} \neq 0$, то есть $a \neq 2$.
2. Если $a=0$.
Уравнение $4ax = a-6$ принимает вид $0 \cdot x = -6$, что неверно. Решений нет.
3. Если $a=2$.
Знаменатель исходной дроби обращается в ноль. Исходное уравнение: $\frac{2-2}{2x+1}=4 \implies \frac{0}{2x+1}=4$. При $2x+1 \neq 0$ получаем $0=4$, что неверно. Решений нет.
Ответ: при $a \in \{0, 2\}$ решений нет; при $a \notin \{0, 2\}$ $x = \frac{a-6}{4a}$.

15.7 a) $ \frac{a}{x-3} + \frac{x}{x+3} = \frac{17}{x^2-9}; $

б) $ \frac{x}{x-a} + \frac{1}{x+a} + \frac{7}{x^2-a^2} = 0. $

а)

Исходное уравнение: $\frac{a}{x-3} + \frac{x}{x+3} = \frac{17}{x^2-9}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

Знаменатель в правой части $x^2-9 = (x-3)(x+3)$, поэтому условия ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:

$\frac{a(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{17}{(x-3)(x+3)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x+3)$, избавляясь от дробей, с учетом ОДЗ:

$a(x+3) + x(x-3) = 17$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ax + 3a + x^2 - 3x - 17 = 0$

Запишем полученное уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно переменной $x$:

$x^2 + (a-3)x + (3a - 17) = 0$

Решение этого квадратного уравнения зависит от параметра $a$. Найдем дискриминант $D$:

$D = (a-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a - 17) = a^2 - 6a + 9 - 12a + 68 = a^2 - 18a + 77$

Исследуем количество корней в зависимости от знака дискриминанта.

1. Уравнение не имеет действительных корней, если $D < 0$. Решим неравенство:

$a^2 - 18a + 77 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 18a + 77 = 0$:

$a_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 77}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 308}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{18 \pm 4}{2}$

$a_1 = 7$, $a_2 = 11$.

Парабола $y=a^2 - 18a + 77$ ветвями вверх, значит $D < 0$ при $a \in (7, 11)$. В этом случае у уравнения нет решений.

2. Уравнение имеет один корень, если $D=0$, то есть при $a=7$ или $a=11$.

При $a=7$ корень равен $x = -\frac{a-3}{2} = -\frac{7-3}{2} = -2$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

При $a=11$ корень равен $x = -\frac{a-3}{2} = -\frac{11-3}{2} = -4$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

3. Уравнение имеет два действительных корня, если $D > 0$, то есть при $a \in (-\infty, 7) \cup (11, \infty)$. Корни находятся по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-(a-3) \pm \sqrt{a^2 - 18a + 77}}{2} = \frac{3-a \pm \sqrt{a^2 - 18a + 77}}{2}$

Необходимо проверить, не становятся ли корни посторонними, то есть равными $3$ или $-3$.

Если $x=3$, подставим в уравнение $x^2 + (a-3)x + (3a - 17) = 0$:

$3^2 + (a-3) \cdot 3 + 3a - 17 = 0 \Rightarrow 9 + 3a - 9 + 3a - 17 = 0 \Rightarrow 6a = 17 \Rightarrow a = \frac{17}{6}$.

При $a = \frac{17}{6}$ (это значение входит в область $a<7$), один из корней $x=3$ является посторонним. Найдем второй корень по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 3a - 17$. $3 \cdot x_2 = 3(\frac{17}{6}) - 17 = \frac{17}{2} - 17 = -\frac{17}{2}$, откуда $x_2 = -\frac{17}{6}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, при $a=\frac{17}{6}$ уравнение имеет один корень.

Если $x=-3$, подставим в уравнение: $(-3)^2 + (a-3)(-3) + 3a - 17 = 0 \Rightarrow 9 - 3a + 9 + 3a - 17 = 0 \Rightarrow 1 = 0$. Это неверное равенство, значит корень $x=-3$ невозможен ни при каком $a$.

Ответ:

• при $a \in (7, 11)$ решений нет;
• при $a = 7$, один корень $x = -2$;
• при $a = 11$, один корень $x = -4$;
• при $a = \frac{17}{6}$, один корень $x = -\frac{17}{6}$;
• при $a \in (-\infty, \frac{17}{6}) \cup (\frac{17}{6}, 7) \cup (11, \infty)$, два корня $x = \frac{3-a \pm \sqrt{a^2 - 18a + 77}}{2}$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{x}{x-a} + \frac{1}{x+a} + \frac{7}{x^2-a^2} = 0$.

ОДЗ: $x-a \neq 0$ и $x+a \neq 0$, то есть $x \neq \pm a$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$:

$\frac{x(x+a)}{(x-a)(x+a)} + \frac{1(x-a)}{(x-a)(x+a)} + \frac{7}{(x-a)(x+a)} = 0$

Умножим обе части на $(x-a)(x+a)$, учитывая ОДЗ:

$x(x+a) + (x-a) + 7 = 0$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$x^2 + ax + x - a + 7 = 0$

Запишем его в стандартном виде квадратного уравнения относительно $x$:

$x^2 + (a+1)x + (7-a) = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7-a) = a^2 + 2a + 1 - 28 + 4a = a^2 + 6a - 27$

Исследуем количество корней в зависимости от знака дискриминанта.

1. Уравнение не имеет действительных корней, если $D < 0$. Решим неравенство:

$a^2 + 6a - 27 < 0$

Найдем корни трехчлена $a^2 + 6a - 27 = 0$:

$a_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 \pm 12}{2}$

$a_1 = -9$, $a_2 = 3$.

Парабола $y=a^2+6a-27$ ветвями вверх, значит $D < 0$ при $a \in (-9, 3)$. В этом случае решений нет.

2. Уравнение имеет один корень, если $D=0$, то есть при $a=-9$ или $a=3$.

При $a=-9$, корень $x = -\frac{a+1}{2} = -\frac{-9+1}{2} = 4$. Проверка ОДЗ: $4 \neq \pm(-9)$, корень подходит.

При $a=3$, корень $x = -\frac{a+1}{2} = -\frac{3+1}{2} = -2$. Проверка ОДЗ: $-2 \neq \pm 3$, корень подходит.

3. Уравнение имеет два действительных корня, если $D > 0$, то есть при $a \in (-\infty, -9) \cup (3, \infty)$. Корни:

$x_{1,2} = \frac{-(a+1) \pm \sqrt{a^2 + 6a - 27}}{2}$

Проверим, не появляются ли посторонние корни, равные $a$ или $-a$.

Если $x=a$, подставим в $x^2 + (a+1)x + (7-a) = 0$: $a^2 + (a+1)a + (7-a) = 0 \Rightarrow 2a^2+7=0$. Нет действительных решений для $a$, так что $x \neq a$.

Если $x=-a$, подставим в $x^2 + (a+1)x + (7-a) = 0$: $(-a)^2 + (a+1)(-a) + (7-a) = 0 \Rightarrow a^2-a^2-a+7-a=0 \Rightarrow -2a+7=0 \Rightarrow a=3.5$.

При $a=3.5$ (это значение входит в область $a>3$), один из корней $x=-a=-3.5$ является посторонним. Найдем второй корень по теореме Виета: $x_1+x_2 = -(a+1)$. $-3.5+x_2=-(3.5+1)=-4.5 \Rightarrow x_2=-1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-1 \neq \pm 3.5$). Значит, при $a=3.5$ уравнение имеет один корень.

Ответ:

• при $a \in (-9, 3)$ решений нет;
• при $a = -9$, один корень $x = 4$;
• при $a = 3$, один корень $x = -2$;
• при $a = 3.5$, один корень $x = -1$;
• при $a \in (-\infty, -9) \cup (3, 3.5) \cup (3.5, \infty)$, два корня $x = \frac{-(a+1) \pm \sqrt{a^2 + 6a - 27}}{2}$.

15.8 a) $\sqrt{x^2 - 6x - a} = x - 3;$

б) $\sqrt{x^2 + 2x + a} = x + 1.$

а) $\sqrt{x^2 - 6x - a} = x - 3$

Данное иррациональное уравнение равносильно системе, в которой правая часть неотрицательна, и подкоренное выражение равно квадрату правой части:

$ \begin{cases} x - 3 \ge 0 \\ x^2 - 6x - a = (x - 3)^2 \end{cases} $

Решим эту систему. Из первого неравенства получаем:

$x \ge 3$

Теперь решим второе уравнение. Раскроем скобки в правой части, используя формулу квадрата разности:

$x^2 - 6x - a = x^2 - 6x + 9$

Вычтем $x^2 - 6x$ из обеих частей уравнения:

$-a = 9$

$a = -9$

Это уравнение накладывает ограничение на параметр $a$. Теперь необходимо рассмотреть два случая.

1. Если $a \ne -9$.

В этом случае равенство $a = -9$ является неверным. Следовательно, второе уравнение системы не имеет решений, а значит и вся система не имеет решений. Таким образом, при $a \ne -9$ исходное уравнение не имеет корней.

2. Если $a = -9$.

В этом случае равенство $a = -9$ становится тождеством $(-9 = -9)$, которое верно при любом значении $x$. Значит, решение системы сводится к выполнению первого неравенства: $x \ge 3$.

При $a = -9$ исходное уравнение принимает вид $\sqrt{x^2 - 6x + 9} = x - 3$, что равносильно $\sqrt{(x-3)^2} = x-3$, или $|x-3| = x-3$. Это равенство верно тогда и только тогда, когда выражение под модулем неотрицательно, то есть $x-3 \ge 0$, откуда $x \ge 3$.

Таким образом, при $a = -9$ решением уравнения является любое число $x$ из промежутка $[3; +\infty)$.

Ответ: при $a = -9$ решением является $x \in [3; +\infty)$; при $a \ne -9$ решений нет.

б) $\sqrt{x^2 + 2x + a} = x + 1$

Данное уравнение равносильно следующей системе:

$ \begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x^2 + 2x + a = (x + 1)^2 \end{cases} $

Решим систему. Первое неравенство дает нам условие на $x$:

$x \ge -1$

Решим второе уравнение. Раскроем скобки в правой части по формуле квадрата суммы:

$x^2 + 2x + a = x^2 + 2x + 1$

Упростим уравнение, вычитая $x^2 + 2x$ из обеих частей:

$a = 1$

Мы получили условие на параметр $a$. Рассмотрим два возможных случая.

1. Если $a \ne 1$.

В этом случае равенство $a = 1$ не выполняется. Значит, второе уравнение системы не имеет решений, и, следовательно, вся система, а с ней и исходное уравнение, не имеют решений.

2. Если $a = 1$.

В этом случае равенство $a = 1$ является тождеством ($1 = 1$), верным для любого $x$. Решение системы определяется первым неравенством: $x \ge -1$.

При $a = 1$ исходное уравнение выглядит так: $\sqrt{x^2 + 2x + 1} = x + 1$, что равносильно $\sqrt{(x+1)^2} = x+1$, или $|x+1| = x+1$. Это равенство выполняется для всех $x$, при которых $x+1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.

Следовательно, при $a=1$ решением уравнения является любое число $x$ из промежутка $[-1; +\infty)$.

Ответ: при $a = 1$ решением является $x \in [-1; +\infty)$; при $a \ne 1$ решений нет.

15.9 Для каждого значения параметра a определите, сколько корней имеет уравнение:

а) $x^3 - 3x^2 + a = 0$;

б) $x^4 - 2x^2 + a = 0$.

а) $x^3 - 3x^2 + a = 0$

Для определения количества корней уравнения в зависимости от параметра $a$, преобразуем его к виду $x^3 - 3x^2 = -a$.

Задача сводится к нахождению количества точек пересечения графика функции $f(x) = x^3 - 3x^2$ и горизонтальной прямой $y = -a$.

Исследуем функцию $f(x) = x^3 - 3x^2$ на монотонность и экстремумы с помощью производной.

1. Находим производную функции:

$f'(x) = (x^3 - 3x^2)' = 3x^2 - 6x$.

2. Находим критические точки, приравняв производную к нулю:

$3x^2 - 6x = 0$

$3x(x - 2) = 0$

Критическими точками являются $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$.

3. Определяем точки экстремума. Производная $f'(x)$ представляет собой параболу с ветвями вверх, пересекающую ось абсцисс в точках 0 и 2. Следовательно, $f'(x) > 0$ на $(-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ и $f'(x) < 0$ на $(0, 2)$.

Таким образом, в точке $x = 0$ функция имеет локальный максимум, а в точке $x = 2$ — локальный минимум.

4. Вычисляем значения функции в точках экстремума:

Значение в точке максимума: $f(0) = 0^3 - 3(0)^2 = 0$.

Значение в точке минимума: $f(2) = 2^3 - 3(2)^2 = 8 - 12 = -4$.

5. Анализируем количество пересечений графика $y = f(x)$ с прямой $y = -a$:

• Прямая $y=-a$ пересекает график в одной точке, если значение $-a$ больше локального максимума ($y=0$) или меньше локального минимума ($y=-4$).
  $-a > 0 \Rightarrow a < 0$.
  $-a < -4 \Rightarrow a > 4$.
  Итак, один корень будет при $a \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$.
• Прямая $y=-a$ пересекает график в двух точках, если она касается его в точках экстремума.
  $-a = 0 \Rightarrow a = 0$.
  $-a = -4 \Rightarrow a = 4$.
  Итак, два корня будет при $a=0$ и $a=4$.
• Прямая $y=-a$ пересекает график в трех точках, если она находится между локальным максимумом и минимумом.
  $-4 < -a < 0 \Rightarrow 0 < a < 4$.
  Итак, три корня будет при $a \in (0, 4)$.

Ответ:

• при $a \in (-\infty, 0) \cup (4, +\infty)$ — 1 корень;
• при $a = 0$ и $a = 4$ — 2 корня;
• при $a \in (0, 4)$ — 3 корня.

б) $x^4 - 2x^2 + a = 0$

Перепишем уравнение в виде $x^4 - 2x^2 = -a$.

Как и в предыдущем пункте, количество корней равно числу точек пересечения графика функции $g(x) = x^4 - 2x^2$ и прямой $y = -a$.

Функция $g(x)$ является четной, поскольку $g(-x) = (-x)^4 - 2(-x)^2 = x^4 - 2x^2 = g(x)$, ее график симметричен относительно оси OY.

1. Находим производную:

$g'(x) = (x^4 - 2x^2)' = 4x^3 - 4x$.

2. Находим критические точки:

$4x^3 - 4x = 0$

$4x(x^2 - 1) = 0$

$4x(x-1)(x+1) = 0$

Критические точки: $x_1 = -1$, $x_2 = 0$, $x_3 = 1$.

3. Определяем экстремумы. Анализируя знаки производной на интервалах, получаем:

• $x \in (-\infty, -1)$: $g'(x) < 0$, функция убывает.
• $x \in (-1, 0)$: $g'(x) > 0$, функция возрастает.
• $x \in (0, 1)$: $g'(x) < 0$, функция убывает.
• $x \in (1, +\infty)$: $g'(x) > 0$, функция возрастает.

Следовательно, $x=-1$ и $x=1$ — точки локального минимума, а $x=0$ — точка локального максимума.

4. Вычисляем значения функции в точках экстремума:

Значение в точке максимума: $g(0) = 0^4 - 2(0)^2 = 0$.

Значение в точках минимума: $g(1) = 1^4 - 2(1)^2 = -1$ и $g(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = -1$.

5. Анализируем количество пересечений графика $y = g(x)$ с прямой $y = -a$:

• Нет точек пересечения (нет корней), если прямая $y=-a$ проходит ниже глобальных минимумов.
  $-a < -1 \Rightarrow a > 1$.
• Две точки пересечения (два корня), если прямая касается графика в точках минимума или проходит выше локального максимума.
  $-a = -1 \Rightarrow a = 1$.
  $-a > 0 \Rightarrow a < 0$.
• Три точки пересечения (три корня), если прямая проходит через точку локального максимума.
  $-a = 0 \Rightarrow a = 0$.
• Четыре точки пересечения (четыре корня), если прямая находится между локальным максимумом и минимумами.
  $-1 < -a < 0 \Rightarrow 0 < a < 1$.

Ответ:

• нет корней при $a \in (1, +\infty)$;
• 2 корня при $a \in (-\infty, 0) \cup \{1\}$;
• 3 корня при $a = 0$;
• 4 корня при $a \in (0, 1)$.