Номер 15.7, страница 360 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 15. Уравнения, неравенства и системы с параметрами. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 15.7, страница 360.

Условие.

15.7 a) $ \frac{a}{x-3} + \frac{x}{x+3} = \frac{17}{x^2-9}; $

б) $ \frac{x}{x-a} + \frac{1}{x+a} + \frac{7}{x^2-a^2} = 0. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Исходное уравнение: $\frac{a}{x-3} + \frac{x}{x+3} = \frac{17}{x^2-9}$.

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$x-3 \neq 0 \Rightarrow x \neq 3$

$x+3 \neq 0 \Rightarrow x \neq -3$

Знаменатель в правой части $x^2-9 = (x-3)(x+3)$, поэтому условия ОДЗ: $x \neq \pm 3$.

Приведем все слагаемые к общему знаменателю $(x-3)(x+3)$:

$\frac{a(x+3)}{(x-3)(x+3)} + \frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)} = \frac{17}{(x-3)(x+3)}$

Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-3)(x+3)$, избавляясь от дробей, с учетом ОДЗ:

$a(x+3) + x(x-3) = 17$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ax + 3a + x^2 - 3x - 17 = 0$

Запишем полученное уравнение в стандартном виде квадратного уравнения относительно переменной $x$:

$x^2 + (a-3)x + (3a - 17) = 0$

Решение этого квадратного уравнения зависит от параметра $a$. Найдем дискриминант $D$:

$D = (a-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (3a - 17) = a^2 - 6a + 9 - 12a + 68 = a^2 - 18a + 77$

Исследуем количество корней в зависимости от знака дискриминанта.

1. Уравнение не имеет действительных корней, если $D < 0$. Решим неравенство:

$a^2 - 18a + 77 < 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $a^2 - 18a + 77 = 0$:

$a_{1,2} = \frac{18 \pm \sqrt{18^2 - 4 \cdot 77}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{324 - 308}}{2} = \frac{18 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{18 \pm 4}{2}$

$a_1 = 7$, $a_2 = 11$.

Парабола $y=a^2 - 18a + 77$ ветвями вверх, значит $D < 0$ при $a \in (7, 11)$. В этом случае у уравнения нет решений.

2. Уравнение имеет один корень, если $D=0$, то есть при $a=7$ или $a=11$.

При $a=7$ корень равен $x = -\frac{a-3}{2} = -\frac{7-3}{2} = -2$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

При $a=11$ корень равен $x = -\frac{a-3}{2} = -\frac{11-3}{2} = -4$. Этот корень также удовлетворяет ОДЗ.

3. Уравнение имеет два действительных корня, если $D > 0$, то есть при $a \in (-\infty, 7) \cup (11, \infty)$. Корни находятся по формуле:

$x_{1,2} = \frac{-(a-3) \pm \sqrt{a^2 - 18a + 77}}{2} = \frac{3-a \pm \sqrt{a^2 - 18a + 77}}{2}$

Необходимо проверить, не становятся ли корни посторонними, то есть равными $3$ или $-3$.

Если $x=3$, подставим в уравнение $x^2 + (a-3)x + (3a - 17) = 0$:

$3^2 + (a-3) \cdot 3 + 3a - 17 = 0 \Rightarrow 9 + 3a - 9 + 3a - 17 = 0 \Rightarrow 6a = 17 \Rightarrow a = \frac{17}{6}$.

При $a = \frac{17}{6}$ (это значение входит в область $a<7$), один из корней $x=3$ является посторонним. Найдем второй корень по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 3a - 17$. $3 \cdot x_2 = 3(\frac{17}{6}) - 17 = \frac{17}{2} - 17 = -\frac{17}{2}$, откуда $x_2 = -\frac{17}{6}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ. Таким образом, при $a=\frac{17}{6}$ уравнение имеет один корень.

Если $x=-3$, подставим в уравнение: $(-3)^2 + (a-3)(-3) + 3a - 17 = 0 \Rightarrow 9 - 3a + 9 + 3a - 17 = 0 \Rightarrow 1 = 0$. Это неверное равенство, значит корень $x=-3$ невозможен ни при каком $a$.

Ответ:

• при $a \in (7, 11)$ решений нет;
• при $a = 7$, один корень $x = -2$;
• при $a = 11$, один корень $x = -4$;
• при $a = \frac{17}{6}$, один корень $x = -\frac{17}{6}$;
• при $a \in (-\infty, \frac{17}{6}) \cup (\frac{17}{6}, 7) \cup (11, \infty)$, два корня $x = \frac{3-a \pm \sqrt{a^2 - 18a + 77}}{2}$.

б)

Исходное уравнение: $\frac{x}{x-a} + \frac{1}{x+a} + \frac{7}{x^2-a^2} = 0$.

ОДЗ: $x-a \neq 0$ и $x+a \neq 0$, то есть $x \neq \pm a$.

Приведем дроби к общему знаменателю $x^2-a^2 = (x-a)(x+a)$:

$\frac{x(x+a)}{(x-a)(x+a)} + \frac{1(x-a)}{(x-a)(x+a)} + \frac{7}{(x-a)(x+a)} = 0$

Умножим обе части на $(x-a)(x+a)$, учитывая ОДЗ:

$x(x+a) + (x-a) + 7 = 0$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$x^2 + ax + x - a + 7 = 0$

Запишем его в стандартном виде квадратного уравнения относительно $x$:

$x^2 + (a+1)x + (7-a) = 0$

Найдем дискриминант $D$:

$D = (a+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (7-a) = a^2 + 2a + 1 - 28 + 4a = a^2 + 6a - 27$

Исследуем количество корней в зависимости от знака дискриминанта.

1. Уравнение не имеет действительных корней, если $D < 0$. Решим неравенство:

$a^2 + 6a - 27 < 0$

Найдем корни трехчлена $a^2 + 6a - 27 = 0$:

$a_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-27)}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 108}}{2} = \frac{-6 \pm \sqrt{144}}{2} = \frac{-6 \pm 12}{2}$

$a_1 = -9$, $a_2 = 3$.

Парабола $y=a^2+6a-27$ ветвями вверх, значит $D < 0$ при $a \in (-9, 3)$. В этом случае решений нет.

2. Уравнение имеет один корень, если $D=0$, то есть при $a=-9$ или $a=3$.

При $a=-9$, корень $x = -\frac{a+1}{2} = -\frac{-9+1}{2} = 4$. Проверка ОДЗ: $4 \neq \pm(-9)$, корень подходит.

При $a=3$, корень $x = -\frac{a+1}{2} = -\frac{3+1}{2} = -2$. Проверка ОДЗ: $-2 \neq \pm 3$, корень подходит.

3. Уравнение имеет два действительных корня, если $D > 0$, то есть при $a \in (-\infty, -9) \cup (3, \infty)$. Корни:

$x_{1,2} = \frac{-(a+1) \pm \sqrt{a^2 + 6a - 27}}{2}$

Проверим, не появляются ли посторонние корни, равные $a$ или $-a$.

Если $x=a$, подставим в $x^2 + (a+1)x + (7-a) = 0$: $a^2 + (a+1)a + (7-a) = 0 \Rightarrow 2a^2+7=0$. Нет действительных решений для $a$, так что $x \neq a$.

Если $x=-a$, подставим в $x^2 + (a+1)x + (7-a) = 0$: $(-a)^2 + (a+1)(-a) + (7-a) = 0 \Rightarrow a^2-a^2-a+7-a=0 \Rightarrow -2a+7=0 \Rightarrow a=3.5$.

При $a=3.5$ (это значение входит в область $a>3$), один из корней $x=-a=-3.5$ является посторонним. Найдем второй корень по теореме Виета: $x_1+x_2 = -(a+1)$. $-3.5+x_2=-(3.5+1)=-4.5 \Rightarrow x_2=-1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($-1 \neq \pm 3.5$). Значит, при $a=3.5$ уравнение имеет один корень.

Ответ:

• при $a \in (-9, 3)$ решений нет;
• при $a = -9$, один корень $x = 4$;
• при $a = 3$, один корень $x = -2$;
• при $a = 3.5$, один корень $x = -1$;
• при $a \in (-\infty, -9) \cup (3, 3.5) \cup (3.5, \infty)$, два корня $x = \frac{-(a+1) \pm \sqrt{a^2 + 6a - 27}}{2}$.