Номер 14.45, страница 355 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.45, страница 355.
№14.45 (с. 355)
Условие. №14.45 (с. 355)
скриншот условия

14.45* $\begin{cases} \frac{3 + 2\cos(x - y)}{2} = \sqrt{3 + 2x - x^2 \cos^2 \frac{x - y}{2} + \sin^2 \frac{x - y}{2}} \\ z^2 + 2x^2 - 2z - 1 = 4(x - 1) \end{cases}$
Решение 1. №14.45 (с. 355)

Решение 2. №14.45 (с. 355)

Решение 3. №14.45 (с. 355)

Решение 4. №14.45 (с. 355)
Начнем с преобразования второго уравнения системы:
$$z^2 + 2x^2 - 2z - 1 = 4(x - 1)$$
Перенесем все члены в левую часть и раскроем скобки:
$$z^2 + 2x^2 - 2z - 1 - 4x + 4 = 0$$
$$z^2 - 2z + 2x^2 - 4x + 3 = 0$$
Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты для переменных $z$ и $x$:
$$(z^2 - 2z + 1) - 1 + 2(x^2 - 2x) + 3 = 0$$
$$(z - 1)^2 + 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2 = 0$$
$$(z - 1)^2 + 2((x - 1)^2 - 1) + 2 = 0$$
$$(z - 1)^2 + 2(x - 1)^2 - 2 + 2 = 0$$
$$(z - 1)^2 + 2(x - 1)^2 = 0$$
Сумма двух неотрицательных слагаемых $(z-1)^2$ и $2(x-1)^2$ равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Таким образом, получаем систему:
$$\begin{cases}(z-1)^2 = 0 \\2(x-1)^2 = 0\end{cases}$$
Из этой системы находим единственно возможные значения для $x$ и $z$:
$z - 1 = 0 \implies z = 1$
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
Теперь перейдем к первому уравнению системы. Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$, исходя из того, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$3 + 2x - x^2 \ge 0$$
$$x^2 - 2x - 3 \le 0$$
Корнями уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1; 3]$. Найденное значение $x=1$ удовлетворяет этому условию.
Теперь преобразуем левую и правую части первого уравнения, используя тригонометрические формулы. Для левой части воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:
$$\frac{3 + 2\cos(x - y)}{2} = \frac{3 + 2(2\cos^2\frac{x-y}{2} - 1)}{2} = \frac{3 + 4\cos^2\frac{x-y}{2} - 2}{2} = \frac{1 + 4\cos^2\frac{x-y}{2}}{2}$$
Для правой части используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:
$$\sqrt{3 + 2x - x^2} \cos^2 \frac{x - y}{2} + \sin^2 \frac{x - y}{2} = \sqrt{3 + 2x - x^2} \cos^2 \frac{x - y}{2} + 1 - \cos^2 \frac{x - y}{2}$$
Приравняем преобразованные части:
$$\frac{1 + 4\cos^2\frac{x-y}{2}}{2} = 1 + (\sqrt{3 + 2x - x^2} - 1) \cos^2 \frac{x - y}{2}$$
$$1 + 4\cos^2\frac{x-y}{2} = 2 + 2(\sqrt{3 + 2x - x^2} - 1) \cos^2 \frac{x - y}{2}$$
$$ (4 - 2\sqrt{3 + 2x - x^2} + 2) \cos^2 \frac{x - y}{2} = 1 $$
$$ (6 - 2\sqrt{3 + 2x - x^2}) \cos^2 \frac{x - y}{2} = 1 $$
Подставим в это уравнение найденное значение $x=1$:
$$(6 - 2\sqrt{3 + 2(1) - 1^2}) \cos^2 \frac{1 - y}{2} = 1$$
$$(6 - 2\sqrt{4}) \cos^2 \frac{1 - y}{2} = 1$$
$$(6 - 4) \cos^2 \frac{1 - y}{2} = 1$$
$$2 \cos^2 \frac{1 - y}{2} = 1$$
$$\cos^2 \frac{1 - y}{2} = \frac{1}{2}$$
Используем формулу понижения степени $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$:
$$1 + \cos(1 - y) = 1$$
$$\cos(1 - y) = 0$$
Так как косинус является четной функцией, $\cos(1 - y) = \cos(y - 1)$, то получаем:
$$\cos(y - 1) = 0$$
Решением этого тригонометрического уравнения является:
$$y - 1 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
$$y = 1 + \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$
Таким образом, мы нашли все компоненты решения системы.
Ответ: $(1; 1 + \frac{\pi}{2} + \pi n; 1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.45 расположенного на странице 355 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.45 (с. 355), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.