Номер 14.45, страница 355 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.45, страница 355.

Условие.

14.45* $\begin{cases} \frac{3 + 2\cos(x - y)}{2} = \sqrt{3 + 2x - x^2 \cos^2 \frac{x - y}{2} + \sin^2 \frac{x - y}{2}} \\ z^2 + 2x^2 - 2z - 1 = 4(x - 1) \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Начнем с преобразования второго уравнения системы:

$$z^2 + 2x^2 - 2z - 1 = 4(x - 1)$$

Перенесем все члены в левую часть и раскроем скобки:

$$z^2 + 2x^2 - 2z - 1 - 4x + 4 = 0$$

$$z^2 - 2z + 2x^2 - 4x + 3 = 0$$

Сгруппируем слагаемые и выделим полные квадраты для переменных $z$ и $x$:

$$(z^2 - 2z + 1) - 1 + 2(x^2 - 2x) + 3 = 0$$

$$(z - 1)^2 + 2(x^2 - 2x + 1 - 1) + 2 = 0$$

$$(z - 1)^2 + 2((x - 1)^2 - 1) + 2 = 0$$

$$(z - 1)^2 + 2(x - 1)^2 - 2 + 2 = 0$$

$$(z - 1)^2 + 2(x - 1)^2 = 0$$

Сумма двух неотрицательных слагаемых $(z-1)^2$ и $2(x-1)^2$ равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Таким образом, получаем систему:

$$\begin{cases}(z-1)^2 = 0 \\2(x-1)^2 = 0\end{cases}$$

Из этой системы находим единственно возможные значения для $x$ и $z$:

$z - 1 = 0 \implies z = 1$

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

Теперь перейдем к первому уравнению системы. Прежде всего, определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$, исходя из того, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$3 + 2x - x^2 \ge 0$$

$$x^2 - 2x - 3 \le 0$$

Корнями уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$ являются $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Так как это парабола с ветвями вверх, неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1; 3]$. Найденное значение $x=1$ удовлетворяет этому условию.

Теперь преобразуем левую и правую части первого уравнения, используя тригонометрические формулы. Для левой части воспользуемся формулой косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 2\cos^2\alpha - 1$:

$$\frac{3 + 2\cos(x - y)}{2} = \frac{3 + 2(2\cos^2\frac{x-y}{2} - 1)}{2} = \frac{3 + 4\cos^2\frac{x-y}{2} - 2}{2} = \frac{1 + 4\cos^2\frac{x-y}{2}}{2}$$

Для правой части используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha$:

$$\sqrt{3 + 2x - x^2} \cos^2 \frac{x - y}{2} + \sin^2 \frac{x - y}{2} = \sqrt{3 + 2x - x^2} \cos^2 \frac{x - y}{2} + 1 - \cos^2 \frac{x - y}{2}$$

Приравняем преобразованные части:

$$\frac{1 + 4\cos^2\frac{x-y}{2}}{2} = 1 + (\sqrt{3 + 2x - x^2} - 1) \cos^2 \frac{x - y}{2}$$

$$1 + 4\cos^2\frac{x-y}{2} = 2 + 2(\sqrt{3 + 2x - x^2} - 1) \cos^2 \frac{x - y}{2}$$

$$ (4 - 2\sqrt{3 + 2x - x^2} + 2) \cos^2 \frac{x - y}{2} = 1 $$

$$ (6 - 2\sqrt{3 + 2x - x^2}) \cos^2 \frac{x - y}{2} = 1 $$

Подставим в это уравнение найденное значение $x=1$:

$$(6 - 2\sqrt{3 + 2(1) - 1^2}) \cos^2 \frac{1 - y}{2} = 1$$

$$(6 - 2\sqrt{4}) \cos^2 \frac{1 - y}{2} = 1$$

$$(6 - 4) \cos^2 \frac{1 - y}{2} = 1$$

$$2 \cos^2 \frac{1 - y}{2} = 1$$

$$\cos^2 \frac{1 - y}{2} = \frac{1}{2}$$

Используем формулу понижения степени $2\cos^2\alpha = 1 + \cos(2\alpha)$:

$$1 + \cos(1 - y) = 1$$

$$\cos(1 - y) = 0$$

Так как косинус является четной функцией, $\cos(1 - y) = \cos(y - 1)$, то получаем:

$$\cos(y - 1) = 0$$

Решением этого тригонометрического уравнения является:

$$y - 1 = \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

$$y = 1 + \frac{\pi}{2} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z}$$

Таким образом, мы нашли все компоненты решения системы.

Ответ: $(1; 1 + \frac{\pi}{2} + \pi n; 1)$, где $n \in \mathbb{Z}$.