Номер 14.42, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.42, страница 354.

Условие.

14.42* a) $\begin{cases} 2\log_{1-x}(-xy - 2x + y + 2) + \log_{2+y}(x^2 - 2x + 1) = 6 \\ \log_{1-x}(y+5) - \log_{2+y}(x+4) = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_{1+x}(y^2 - 2y + 1) + \log_{1-y}(x^2 + 2x + 1) = 4 \\ \log_{1+x}(2y + 1) + \log_{1-y}(2x + 1) = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2\log_{3+x}(xy + x + 3y + 3) + \log_{1+y}(x^2 + 6x + 9) = 6 \\ \log_{3+x}(0,5 - y) + \log_{1+y}(3x + 8) = 1. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 2\log_{1-x}(-xy - 2x + y + 2) + \log_{2+y}(x^2 - 2x + 1) = 6 \\ \log_{1-x}(y+5) - \log_{2+y}(x+4) = 1 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

• Основания логарифмов: $1-x > 0 \implies x < 1$; $1-x \neq 1 \implies x \neq 0$; $2+y > 0 \implies y > -2$; $2+y \neq 1 \implies y \neq -1$.
• Аргументы логарифмов: $-xy - 2x + y + 2 > 0$; $x^2 - 2x + 1 > 0 \implies (x-1)^2 > 0 \implies x \neq 1$; $y+5 > 0 \implies y > -5$; $x+4 > 0 \implies x > -4$.

Упростим выражение в первом логарифме: $-xy - 2x + y + 2 = -x(y+2) + (y+2) = (1-x)(y+2)$. Так как по ОДЗ $1-x>0$, то для выполнения условия $(1-x)(y+2)>0$ необходимо $y+2>0$, что совпадает с условием для основания. Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-4; 0) \cup (0; 1)$, $y \in (-2; -1) \cup (-1; \infty)$.

Упростим первое уравнение системы, используя свойства логарифмов и разложения на множители:
$2\log_{1-x}((1-x)(y+2)) + \log_{2+y}((x-1)^2) = 6$
$2(\log_{1-x}(1-x) + \log_{1-x}(y+2)) + 2\log_{2+y}|x-1| = 6$
В ОДЗ $x<1$, поэтому $|x-1| = 1-x$.
$2(1 + \log_{1-x}(y+2)) + 2\log_{2+y}(1-x) = 6$
$\log_{1-x}(y+2) + \log_{2+y}(1-x) = 2$

Пусть $t = \log_{1-x}(y+2)$. Тогда, используя свойство $\log_b a = 1/\log_a b$, имеем $\log_{2+y}(1-x) = \frac{1}{\log_{1-x}(2+y)}$. Это не то, что нам нужно. Заметим, что если $a = \log_{1-x}(y+2)$ и $b = \log_{2+y}(1-x)$, то по определению логарифма $(1-x)^a = y+2$ и $(2+y)^b = 1-x$. Подставив второе в первое, получим $((2+y)^b)^a = y+2$, то есть $(y+2)^{ab} = (y+2)^1$, откуда $ab=1$ (при условии $y+2 \neq 1$, что верно по ОДЗ). Имеем систему: $$ \begin{cases} a+b = 2 \\ ab = 1 \end{cases} $$ Решая, получаем $a(2-a)=1 \implies a^2-2a+1=0 \implies (a-1)^2=0 \implies a=1$. Тогда и $b=1$. Таким образом, $\log_{1-x}(y+2) = 1$, откуда следует, что $1-x = y+2$, то есть $y = -x-1$.

Подставим $y = -x-1$ во второе уравнение исходной системы:
$\log_{1-x}((-x-1)+5) - \log_{2+(-x-1)}(x+4) = 1$
$\log_{1-x}(4-x) - \log_{1-x}(x+4) = 1$
$\log_{1-x}\left(\frac{4-x}{x+4}\right) = 1$
$\frac{4-x}{x+4} = 1-x$
$4-x = (1-x)(x+4)$
$4-x = x+4-x^2-4x$
$4-x = -3x+4-x^2$
$x^2+2x=0$
$x(x+2)=0$
Получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=-2$.

Проверим корни по ОДЗ. $x_1=0$ не входит в ОДЗ. $x_2=-2$ входит в ОДЗ. Найдем соответствующий $y$: $y = -(-2)-1 = 1$. Проверим $y=1$ по ОДЗ: $1 > -2$ и $1 \neq -1$, что верно. Пара $(-2, 1)$ является решением.
Ответ: $(-2; 1)$.

б)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} \log_{1+x}(y^2 - 2y + 1) + \log_{1-y}(x^2 + 2x + 1) = 4 \\ \log_{1+x}(2y+1) + \log_{1-y}(2x+1) = 2 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

• Основания логарифмов: $1+x > 0 \implies x > -1$; $1+x \neq 1 \implies x \neq 0$; $1-y > 0 \implies y < 1$; $1-y \neq 1 \implies y \neq 0$.
• Аргументы логарифмов: $y^2 - 2y + 1 > 0 \implies (y-1)^2 > 0 \implies y \neq 1$; $x^2 + 2x + 1 > 0 \implies (x+1)^2 > 0 \implies x \neq -1$; $2y+1 > 0 \implies y > -1/2$; $2x+1 > 0 \implies x > -1/2$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-1/2; 0) \cup (0; \infty)$, $y \in (-1/2; 0) \cup (0; 1)$.

Упростим первое уравнение системы:
$\log_{1+x}((y-1)^2) + \log_{1-y}((x+1)^2) = 4$
$2\log_{1+x}|y-1| + 2\log_{1-y}|x+1| = 4$
В ОДЗ $y<1$ и $x>-1$, поэтому $|y-1|=1-y$ и $|x+1|=x+1=1+x$.
$2\log_{1+x}(1-y) + 2\log_{1-y}(1+x) = 4$
$\log_{1+x}(1-y) + \log_{1-y}(1+x) = 2$

Пусть $t = \log_{1+x}(1-y)$. Тогда $\log_{1-y}(1+x) = 1/t$. Получаем уравнение:
$t + \frac{1}{t} = 2 \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t=1$.
Значит, $\log_{1+x}(1-y) = 1$, откуда $1+x=1-y$, то есть $y=-x$.

Подставим $y = -x$ во второе уравнение исходной системы:
$\log_{1+x}(2(-x)+1) + \log_{1-(-x)}(2x+1) = 2$
$\log_{1+x}(1-2x) + \log_{1+x}(2x+1) = 2$
$\log_{1+x}((1-2x)(1+2x)) = 2$
$\log_{1+x}(1-4x^2) = 2$
$1-4x^2 = (1+x)^2$
$1-4x^2 = 1+2x+x^2$
$5x^2+2x=0$
$x(5x+2)=0$
Получаем два корня: $x_1=0$ и $x_2=-2/5$.

Проверим корни по ОДЗ. $x_1=0$ не входит в ОДЗ. $x_2=-2/5$ входит в ОДЗ ($ -1/2 < -2/5 < 0 $). Найдем соответствующий $y$: $y = -(-2/5) = 2/5$. Проверим $y=2/5$ по ОДЗ: $-1/2 < 2/5 < 1$ и $2/5 \neq 0$, что верно. Пара $(-2/5, 2/5)$ является решением.
Ответ: $(-2/5; 2/5)$.

в)

Исходная система уравнений: $$ \begin{cases} 2\log_{3+x}(xy + x + 3y + 3) + \log_{1+y}(x^2 + 6x + 9) = 6 \\ \log_{3+x}(0,5-y) + \log_{1+y}(3x+8) = 1 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

• Основания логарифмов: $3+x > 0 \implies x > -3$; $3+x \neq 1 \implies x \neq -2$; $1+y > 0 \implies y > -1$; $1+y \neq 1 \implies y \neq 0$.
• Аргументы логарифмов: $xy+x+3y+3 = (x+3)(y+1) > 0$ (выполняется, т.к. основания $> 0$); $x^2+6x+9 = (x+3)^2 > 0 \implies x \neq -3$; $0.5-y > 0 \implies y < 0.5$; $3x+8 > 0 \implies x > -8/3$.

Объединяя все условия, получаем ОДЗ: $x \in (-8/3; -2) \cup (-2; \infty)$, $y \in (-1; 0) \cup (0; 0.5)$.

Упростим первое уравнение системы:
$2\log_{3+x}((x+3)(y+1)) + \log_{1+y}((x+3)^2) = 6$
$2(\log_{3+x}(x+3) + \log_{3+x}(y+1)) + 2\log_{1+y}|x+3| = 6$
В ОДЗ $x>-3$, поэтому $|x+3|=x+3$.
$2(1 + \log_{3+x}(y+1)) + 2\log_{1+y}(x+3) = 6$
$\log_{3+x}(y+1) + \log_{1+y}(x+3) = 2$

Аналогично предыдущим пунктам, пусть $t = \log_{3+x}(y+1)$. Тогда $\log_{1+y}(x+3) = 1/t$.
$t + \frac{1}{t} = 2 \implies t^2 - 2t + 1 = 0 \implies (t-1)^2 = 0 \implies t=1$.
Значит, $\log_{3+x}(y+1) = 1$, откуда $y+1 = 3+x$, то есть $y=x+2$.

Подставим $y=x+2$ во второе уравнение исходной системы:
$\log_{3+x}(0.5-(x+2)) + \log_{1+(x+2)}(3x+8) = 1$
$\log_{x+3}(-x-1.5) + \log_{x+3}(3x+8) = 1$
$\log_{x+3}((-x-1.5)(3x+8)) = 1$
$(-x-1.5)(3x+8) = x+3$
$-(x+1.5)(3x+8) = x+3$
$-(3x^2+8x+4.5x+12) = x+3$
$-3x^2-12.5x-12 = x+3$
$3x^2+13.5x+15 = 0$
$6x^2+27x+30 = 0$
$2x^2+9x+10 = 0$
Решаем квадратное уравнение: $D = 9^2 - 4(2)(10) = 81-80 = 1$.
$x_1 = \frac{-9-1}{4} = -2.5$; $x_2 = \frac{-9+1}{4} = -2$.

Проверим корни по ОДЗ: $x \in (-8/3; -2) \cup (-2; \infty)$, $y \in (-1; 0) \cup (0; 0.5)$. $x_2=-2$ не входит в ОДЗ. $x_1=-2.5 = -5/2$. $-8/3 \approx -2.67$. Так как $-2.67 < -2.5$, то $x_1$ входит в ОДЗ по $x$. Найдем $y$: $y = x+2 = -2.5+2 = -0.5$. Проверим $y=-0.5$ по ОДЗ: $-1 < -0.5 < 0.5$ и $-0.5 \neq 0$, что верно. Пара $(-2.5, -0.5)$ является решением.
Ответ: $(-2,5; -0,5)$.