Номер 14.37, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.37, страница 348.

Условие.

14.37* $\begin{cases} \sqrt{x + y} + \sqrt[4]{x - y} = 8 \\ \sqrt[4]{x^3 + x^2y - xy^2 - y^3} = 12 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Данная система уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt{x+y} + \sqrt[4]{x-y} = 8 \\ \frac{\sqrt{x+y} + \sqrt[4]{x-y}}{\sqrt[4]{x^3+x^2y-xy^2-y^3}} = 12 \end{cases} $$

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:

$x+y \ge 0$

$x-y \ge 0$

$x^3+x^2y-xy^2-y^3 > 0$

Упростим выражение в знаменателе второго уравнения, разложив его на множители:

$x^3+x^2y-xy^2-y^3 = x^2(x+y) - y^2(x+y) = (x^2-y^2)(x+y) = (x-y)(x+y)(x+y) = (x-y)(x+y)^2$.

Тогда знаменатель принимает вид:

$\sqrt[4]{(x-y)(x+y)^2} = \sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt[4]{(x+y)^2} = \sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt{|x+y|}$.

Так как из ОДЗ $x+y \ge 0$, то $|x+y| = x+y$, и знаменатель равен $\sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt{x+y}$.

Из ОДЗ также следует, что $(x-y)(x+y)^2 > 0$. Поскольку $(x+y)^2 \ge 0$, это означает, что $x-y > 0$ и $x+y \neq 0$. Следовательно, $x+y > 0$.

Подставим значение из первого уравнения во второе:

$$ \frac{8}{\sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt{x+y}} = 12 $$

Отсюда получаем:

$$ \sqrt{x+y} \cdot \sqrt[4]{x-y} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x+y}$ и $b = \sqrt[4]{x-y}$, где $a > 0$ и $b > 0$.

Система уравнений принимает вид:

$$ \begin{cases} a + b = 8 \\ ab = \frac{2}{3} \end{cases} $$

Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения:

$t^2 - 8t + \frac{2}{3} = 0$

Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:

$3t^2 - 24t + 2 = 0$

Найдем корни этого уравнения по формуле для корней квадратного уравнения:

$t = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 24}}{6} = \frac{24 \pm \sqrt{552}}{6}$

Упростим корень: $\sqrt{552} = \sqrt{4 \cdot 138} = 2\sqrt{138}$.

$t = \frac{24 \pm 2\sqrt{138}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{138}}{3}$

Оба корня положительны, так как $12 = \sqrt{144} > \sqrt{138}$.

Таким образом, у нас есть два возможных случая для пары $(a, b)$:

1) $a = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$

2) $a = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$

Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$. Из замены имеем:

$x+y = a^2$

$x-y = b^4$

Решая эту систему относительно $x$ и $y$, получаем:

$x = \frac{a^2+b^4}{2}$, $y = \frac{a^2-b^4}{2}$

Рассмотрим каждый случай.

Случай 1: $a = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$

$a^2 = \left(\frac{12 + \sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{144 + 24\sqrt{138} + 138}{9} = \frac{282 + 24\sqrt{138}}{9} = \frac{94 + 8\sqrt{138}}{3}$

$b^2 = \left(\frac{12 - \sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{144 - 24\sqrt{138} + 138}{9} = \frac{282 - 24\sqrt{138}}{9} = \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3}$

$b^4 = (b^2)^2 = \left(\frac{94 - 8\sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{94^2 - 2 \cdot 94 \cdot 8\sqrt{138} + (8\sqrt{138})^2}{9} = \frac{8836 - 1504\sqrt{138} + 8832}{9} = \frac{17668 - 1504\sqrt{138}}{9}$

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{94 + 8\sqrt{138}}{3} + \frac{17668 - 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 + 8\sqrt{138}) + 17668 - 1504\sqrt{138} \right)$

$x = \frac{1}{18} (282 + 24\sqrt{138} + 17668 - 1504\sqrt{138}) = \frac{17950 - 1480\sqrt{138}}{18} = \frac{8975 - 740\sqrt{138}}{9}$

$y = \frac{1}{2} \left( \frac{94 + 8\sqrt{138}}{3} - \frac{17668 - 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 + 8\sqrt{138}) - (17668 - 1504\sqrt{138}) \right)$

$y = \frac{1}{18} (282 + 24\sqrt{138} - 17668 + 1504\sqrt{138}) = \frac{-17386 + 1528\sqrt{138}}{18} = \frac{-8693 + 764\sqrt{138}}{9}$

Случай 2: $a = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$

$a^2 = \left(\frac{12 - \sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3}$

$b^4 = \left(\left(\frac{12 + \sqrt{138}}{3}\right)^2\right)^2 = \left(\frac{94 + 8\sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{17668 + 1504\sqrt{138}}{9}$

$x = \frac{1}{2} \left( \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3} + \frac{17668 + 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 - 8\sqrt{138}) + 17668 + 1504\sqrt{138} \right)$

$x = \frac{1}{18} (282 - 24\sqrt{138} + 17668 + 1504\sqrt{138}) = \frac{17950 + 1480\sqrt{138}}{18} = \frac{8975 + 740\sqrt{138}}{9}$

$y = \frac{1}{2} \left( \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3} - \frac{17668 + 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 - 8\sqrt{138}) - (17668 + 1504\sqrt{138}) \right)$

$y = \frac{1}{18} (282 - 24\sqrt{138} - 17668 - 1504\sqrt{138}) = \frac{-17386 - 1528\sqrt{138}}{18} = \frac{-8693 - 764\sqrt{138}}{9}$

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: $ \left( \frac{8975 - 740\sqrt{138}}{9}, \frac{-8693 + 764\sqrt{138}}{9} \right) $; $ \left( \frac{8975 + 740\sqrt{138}}{9}, \frac{-8693 - 764\sqrt{138}}{9} \right) $.