Номер 14.37, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.37, страница 348.
№14.37 (с. 348)
Условие. №14.37 (с. 348)
скриншот условия

14.37* $\begin{cases} \sqrt{x + y} + \sqrt[4]{x - y} = 8 \\ \sqrt[4]{x^3 + x^2y - xy^2 - y^3} = 12 \end{cases}$
Решение 1. №14.37 (с. 348)

Решение 2. №14.37 (с. 348)


Решение 3. №14.37 (с. 348)


Решение 4. №14.37 (с. 348)
Данная система уравнений:
$$ \begin{cases} \sqrt{x+y} + \sqrt[4]{x-y} = 8 \\ \frac{\sqrt{x+y} + \sqrt[4]{x-y}}{\sqrt[4]{x^3+x^2y-xy^2-y^3}} = 12 \end{cases} $$
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями:
$x+y \ge 0$
$x-y \ge 0$
$x^3+x^2y-xy^2-y^3 > 0$
Упростим выражение в знаменателе второго уравнения, разложив его на множители:
$x^3+x^2y-xy^2-y^3 = x^2(x+y) - y^2(x+y) = (x^2-y^2)(x+y) = (x-y)(x+y)(x+y) = (x-y)(x+y)^2$.
Тогда знаменатель принимает вид:
$\sqrt[4]{(x-y)(x+y)^2} = \sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt[4]{(x+y)^2} = \sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt{|x+y|}$.
Так как из ОДЗ $x+y \ge 0$, то $|x+y| = x+y$, и знаменатель равен $\sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt{x+y}$.
Из ОДЗ также следует, что $(x-y)(x+y)^2 > 0$. Поскольку $(x+y)^2 \ge 0$, это означает, что $x-y > 0$ и $x+y \neq 0$. Следовательно, $x+y > 0$.
Подставим значение из первого уравнения во второе:
$$ \frac{8}{\sqrt[4]{x-y} \cdot \sqrt{x+y}} = 12 $$
Отсюда получаем:
$$ \sqrt{x+y} \cdot \sqrt[4]{x-y} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} $$
Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{x+y}$ и $b = \sqrt[4]{x-y}$, где $a > 0$ и $b > 0$.
Система уравнений принимает вид:
$$ \begin{cases} a + b = 8 \\ ab = \frac{2}{3} \end{cases} $$
Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения:
$t^2 - 8t + \frac{2}{3} = 0$
Умножим уравнение на 3, чтобы избавиться от дроби:
$3t^2 - 24t + 2 = 0$
Найдем корни этого уравнения по формуле для корней квадратного уравнения:
$t = \frac{-(-24) \pm \sqrt{(-24)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2}}{2 \cdot 3} = \frac{24 \pm \sqrt{576 - 24}}{6} = \frac{24 \pm \sqrt{552}}{6}$
Упростим корень: $\sqrt{552} = \sqrt{4 \cdot 138} = 2\sqrt{138}$.
$t = \frac{24 \pm 2\sqrt{138}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{138}}{3}$
Оба корня положительны, так как $12 = \sqrt{144} > \sqrt{138}$.
Таким образом, у нас есть два возможных случая для пары $(a, b)$:
1) $a = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$
2) $a = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$
Теперь вернемся к переменным $x$ и $y$. Из замены имеем:
$x+y = a^2$
$x-y = b^4$
Решая эту систему относительно $x$ и $y$, получаем:
$x = \frac{a^2+b^4}{2}$, $y = \frac{a^2-b^4}{2}$
Рассмотрим каждый случай.
Случай 1: $a = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$
$a^2 = \left(\frac{12 + \sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{144 + 24\sqrt{138} + 138}{9} = \frac{282 + 24\sqrt{138}}{9} = \frac{94 + 8\sqrt{138}}{3}$
$b^2 = \left(\frac{12 - \sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{144 - 24\sqrt{138} + 138}{9} = \frac{282 - 24\sqrt{138}}{9} = \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3}$
$b^4 = (b^2)^2 = \left(\frac{94 - 8\sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{94^2 - 2 \cdot 94 \cdot 8\sqrt{138} + (8\sqrt{138})^2}{9} = \frac{8836 - 1504\sqrt{138} + 8832}{9} = \frac{17668 - 1504\sqrt{138}}{9}$
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{94 + 8\sqrt{138}}{3} + \frac{17668 - 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 + 8\sqrt{138}) + 17668 - 1504\sqrt{138} \right)$
$x = \frac{1}{18} (282 + 24\sqrt{138} + 17668 - 1504\sqrt{138}) = \frac{17950 - 1480\sqrt{138}}{18} = \frac{8975 - 740\sqrt{138}}{9}$
$y = \frac{1}{2} \left( \frac{94 + 8\sqrt{138}}{3} - \frac{17668 - 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 + 8\sqrt{138}) - (17668 - 1504\sqrt{138}) \right)$
$y = \frac{1}{18} (282 + 24\sqrt{138} - 17668 + 1504\sqrt{138}) = \frac{-17386 + 1528\sqrt{138}}{18} = \frac{-8693 + 764\sqrt{138}}{9}$
Случай 2: $a = \frac{12 - \sqrt{138}}{3}$, $b = \frac{12 + \sqrt{138}}{3}$
$a^2 = \left(\frac{12 - \sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3}$
$b^4 = \left(\left(\frac{12 + \sqrt{138}}{3}\right)^2\right)^2 = \left(\frac{94 + 8\sqrt{138}}{3}\right)^2 = \frac{17668 + 1504\sqrt{138}}{9}$
$x = \frac{1}{2} \left( \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3} + \frac{17668 + 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 - 8\sqrt{138}) + 17668 + 1504\sqrt{138} \right)$
$x = \frac{1}{18} (282 - 24\sqrt{138} + 17668 + 1504\sqrt{138}) = \frac{17950 + 1480\sqrt{138}}{18} = \frac{8975 + 740\sqrt{138}}{9}$
$y = \frac{1}{2} \left( \frac{94 - 8\sqrt{138}}{3} - \frac{17668 + 1504\sqrt{138}}{9} \right) = \frac{1}{18} \left( 3(94 - 8\sqrt{138}) - (17668 + 1504\sqrt{138}) \right)$
$y = \frac{1}{18} (282 - 24\sqrt{138} - 17668 - 1504\sqrt{138}) = \frac{-17386 - 1528\sqrt{138}}{18} = \frac{-8693 - 764\sqrt{138}}{9}$
Таким образом, система имеет два решения.
Ответ: $ \left( \frac{8975 - 740\sqrt{138}}{9}, \frac{-8693 + 764\sqrt{138}}{9} \right) $; $ \left( \frac{8975 + 740\sqrt{138}}{9}, \frac{-8693 - 764\sqrt{138}}{9} \right) $.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.37 расположенного на странице 348 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.37 (с. 348), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.