Номер 14.34, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.34, страница 348.

Условие.

14.34* a) $\begin{cases}\frac{xy}{x+2y} + \frac{x-2y}{xy} = \frac{14}{15} \\ \frac{xy}{x-2y} + \frac{x+2y}{xy} = \frac{14}{3};\end{cases}$

б) $\begin{cases}\frac{xy}{x+2y} + \frac{x+2y}{xy} = 2 \\ \frac{xy}{x-2y} + \frac{x-2y}{xy} = 4.\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

a)

Данная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{xy}{x+2y} + \frac{x-2y}{xy} = \frac{14}{15} \\\frac{xy}{x-2y} + \frac{x+2y}{xy} = \frac{14}{3} \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x \ne 0, y \ne 0, x+2y \ne 0, x-2y \ne 0$.

Для упрощения системы введем замену переменных. Пусть $u = \frac{xy}{x+2y}$ и $v = \frac{xy}{x-2y}$.

Тогда обратные дроби будут равны $\frac{x+2y}{xy} = \frac{1}{u}$ и $\frac{x-2y}{xy} = \frac{1}{v}$.

После замены система примет вид:

$\begin{cases} u + \frac{1}{v} = \frac{14}{15} \\v + \frac{1}{u} = \frac{14}{3} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $u$ через $v$: $ \frac{1}{u} = \frac{14}{3} - v \Rightarrow u = \frac{1}{\frac{14}{3} - v} = \frac{3}{14 - 3v} $.

Подставим полученное выражение для $u$ в первое уравнение системы:

$\frac{3}{14 - 3v} + \frac{1}{v} = \frac{14}{15}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби к общему знаменателю $15v(14-3v)$:

$3 \cdot 15v + 1 \cdot 15(14-3v) = 14v(14-3v)$

$45v + 210 - 45v = 196v - 42v^2$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$42v^2 - 196v + 210 = 0$

Разделим обе части уравнения на 14 для упрощения:

$3v^2 - 14v + 15 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 196 - 180 = 16$.

Корни уравнения: $v_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{14 \pm 4}{6}$.

Получаем два значения для $v$:

$v_1 = \frac{14+4}{6} = \frac{18}{6} = 3$

$v_2 = \frac{14-4}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

Теперь найдем соответствующие значения $u$ для каждого $v$:

При $v_1 = 3$, $u_1 = \frac{3}{14 - 3 \cdot 3} = \frac{3}{14 - 9} = \frac{3}{5}$.

При $v_2 = \frac{5}{3}$, $u_2 = \frac{3}{14 - 3 \cdot \frac{5}{3}} = \frac{3}{14 - 5} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.

У нас есть две пары $(u, v)$: $(\frac{3}{5}, 3)$ и $(\frac{1}{3}, \frac{5}{3})$. Выполним обратную замену для каждой пары.

Случай 1: $u = \frac{3}{5}$ и $v = 3$.

$\begin{cases} \frac{xy}{x+2y} = \frac{3}{5} \\ \frac{xy}{x-2y} = 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5xy = 3(x+2y) \\ xy = 3(x-2y) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 5xy = 3x+6y \\ xy = 3x-6y \end{cases}$

Сложим два уравнения: $5xy + xy = (3x+6y) + (3x-6y) \Rightarrow 6xy = 6x$. Так как по ОДЗ $x \ne 0$, мы можем разделить на $6x$, получая $y=1$.

Подставим $y=1$ во второе уравнение $xy = 3x-6y$: $x \cdot 1 = 3x - 6 \cdot 1 \Rightarrow x = 3x - 6 \Rightarrow 2x=6 \Rightarrow x=3$.

Первое решение: $(3, 1)$.

Случай 2: $u = \frac{1}{3}$ и $v = \frac{5}{3}$.

$\begin{cases} \frac{xy}{x+2y} = \frac{1}{3} \\ \frac{xy}{x-2y} = \frac{5}{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3xy = x+2y \\ 3xy = 5(x-2y) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 3xy = x+2y \\ 3xy = 5x-10y \end{cases}$

Левые части уравнений равны, значит, равны и правые: $x+2y = 5x-10y \Rightarrow 12y = 4x \Rightarrow x=3y$.

Подставим $x=3y$ в первое уравнение $3xy = x+2y$: $3(3y)y = 3y+2y \Rightarrow 9y^2=5y$.

Так как по ОДЗ $y \ne 0$, делим на $y$: $9y=5 \Rightarrow y = \frac{5}{9}$.

Тогда $x=3y = 3 \cdot \frac{5}{9} = \frac{5}{3}$.

Второе решение: $(\frac{5}{3}, \frac{5}{9})$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(3, 1), (\frac{5}{3}, \frac{5}{9})$.

б)

Данная система уравнений:

$\begin{cases} \frac{xy}{x+2y} + \frac{x+2y}{xy} = 2 \\\frac{xy}{x-2y} + \frac{x-2y}{xy} = 4\end{cases}$

ОДЗ: $x \ne 0, y \ne 0, x+2y \ne 0, x-2y \ne 0$.

Введем замену переменных. Пусть $a = \frac{xy}{x+2y}$ и $b = \frac{xy}{x-2y}$.

Тогда $\frac{x+2y}{xy} = \frac{1}{a}$ и $\frac{x-2y}{xy} = \frac{1}{b}$. Система примет вид:

$\begin{cases} a + \frac{1}{a} = 2 \\b + \frac{1}{b} = 4 \end{cases}$

Решим каждое уравнение отдельно.

Первое уравнение: $a + \frac{1}{a} = 2$. Умножив на $a \ne 0$, получим $a^2+1=2a \Rightarrow a^2-2a+1=0 \Rightarrow (a-1)^2=0$. Отсюда $a=1$.

Второе уравнение: $b + \frac{1}{b} = 4$. Умножив на $b \ne 0$, получим $b^2+1=4b \Rightarrow b^2-4b+1=0$.

Решим квадратное уравнение для $b$: $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 12$.

$b_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$.

Теперь выполним обратную замену для $a=1$ и двух найденных значений $b$.

Случай 1: $a=1$ и $b = 2+\sqrt{3}$.

$\begin{cases} \frac{xy}{x+2y} = 1 \\ \frac{xy}{x-2y} = 2+\sqrt{3} \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} xy = x+2y \\ xy = (2+\sqrt{3})(x-2y) \end{cases}$

Приравнивая правые части, получаем: $x+2y = (2+\sqrt{3})(x-2y) = (2+\sqrt{3})x - (4+2\sqrt{3})y$.

$2y+(4+2\sqrt{3})y = (2+\sqrt{3})x-x \Rightarrow (6+2\sqrt{3})y = (1+\sqrt{3})x$.

$2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)y = (1+\sqrt{3})x$. Так как $1+\sqrt{3} \ne 0$, то $x=2\sqrt{3}y$.

Подставим $x=2\sqrt{3}y$ в $xy=x+2y$: $(2\sqrt{3}y)y = 2\sqrt{3}y + 2y \Rightarrow 2\sqrt{3}y^2 = y(2\sqrt{3}+2)$.

Так как $y \ne 0$, делим на $y$: $2\sqrt{3}y = 2\sqrt{3}+2 \Rightarrow y = \frac{2\sqrt{3}+2}{2\sqrt{3}} = 1+\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3+\sqrt{3}}{3}$.

Тогда $x=2\sqrt{3}y = 2\sqrt{3} \cdot \frac{3+\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}+6}{3} = 2+2\sqrt{3}$.

Первое решение: $(2+2\sqrt{3}, \frac{3+\sqrt{3}}{3})$.

Случай 2: $a=1$ и $b = 2-\sqrt{3}$.

$\begin{cases} xy = x+2y \\ xy = (2-\sqrt{3})(x-2y) \end{cases}$

Приравнивая правые части: $x+2y = (2-\sqrt{3})(x-2y) = (2-\sqrt{3})x - (4-2\sqrt{3})y$.

$2y+(4-2\sqrt{3})y = (2-\sqrt{3})x-x \Rightarrow (6-2\sqrt{3})y = (1-\sqrt{3})x$.

$2\sqrt{3}(\sqrt{3}-1)y = -( \sqrt{3}-1)x$. Так как $\sqrt{3}-1 \ne 0$, то $2\sqrt{3}y = -x \Rightarrow x=-2\sqrt{3}y$.

Подставим $x=-2\sqrt{3}y$ в $xy=x+2y$: $(-2\sqrt{3}y)y = -2\sqrt{3}y + 2y \Rightarrow -2\sqrt{3}y^2 = y(2-2\sqrt{3})$.

Так как $y \ne 0$: $-2\sqrt{3}y = 2-2\sqrt{3} \Rightarrow y = \frac{2-2\sqrt{3}}{-2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}-2}{2\sqrt{3}} = 1-\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{3-\sqrt{3}}{3}$.

Тогда $x=-2\sqrt{3}y = -2\sqrt{3} \cdot \frac{3-\sqrt{3}}{3} = \frac{-6\sqrt{3}+6}{3} = 2-2\sqrt{3}$.

Второе решение: $(2-2\sqrt{3}, \frac{3-\sqrt{3}}{3})$.

Оба решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(2+2\sqrt{3}, \frac{3+\sqrt{3}}{3}), (2-2\sqrt{3}, \frac{3-\sqrt{3}}{3})$.