Номер 14.28, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.28, страница 347.
№14.28 (с. 347)
Условие. №14.28 (с. 347)
скриншот условия

14.28 a) $\begin{cases} xy + x - y = 13 \\ xy - x + y = 7; \end{cases}$
б) $\begin{cases} x^2 - y = 23 \\ x^2y = 50; \end{cases}$
в) $\begin{cases} xy^2 = 12 \\ x + y^2 = 7; \end{cases}$
г) $\begin{cases} xy (x + y) = 30 \\ x^3 + y^3 = 35. \end{cases}$
Решение 1. №14.28 (с. 347)




Решение 2. №14.28 (с. 347)


Решение 4. №14.28 (с. 347)
а)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy + x - y = 13 \\ xy - x + y = 7 \end{cases} $
Это система двух линейных уравнений относительно $xy$ и $x-y$ (или $y-x$). Сложим первое и второе уравнения, чтобы избавиться от $x$ и $y$:
$(xy + x - y) + (xy - x + y) = 13 + 7$
$2xy = 20$
$xy = 10$
Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от $xy$:
$(xy + x - y) - (xy - x + y) = 13 - 7$
$xy + x - y - xy + x - y = 6$
$2x - 2y = 6$
$x - y = 3$
Мы получили новую, более простую систему уравнений:
$ \begin{cases} xy = 10 \\ x - y = 3 \end{cases} $
Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 3$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(y + 3)y = 10$
$y^2 + 3y - 10 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -5$.
Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:
1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$. Получаем решение $(5, 2)$.
2. Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 3 = -2$. Получаем решение $(-2, -5)$.
Ответ: $(5, 2), (-2, -5)$.
б)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - y = 23 \\ x^2y = 50 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $y$: $y = x^2 - 23$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$x^2(x^2 - 23) = 50$
Введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.
Уравнение принимает вид:
$t(t - 23) = 50$
$t^2 - 23t - 50 = 0$
Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 529 + 200 = 729 = 27^2$.
$t_1 = \frac{23 + \sqrt{729}}{2} = \frac{23 + 27}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$t_2 = \frac{23 - \sqrt{729}}{2} = \frac{23 - 27}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому мы его отбрасываем.
Возвращаемся к замене: $x^2 = t = 25$. Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.
Найдем соответствующее значение $y$, используя выражение $y = x^2 - 23$:
$y = 25 - 23 = 2$.
Таким образом, система имеет два решения: $(5, 2)$ и $(-5, 2)$.
Ответ: $(5, 2), (-5, 2)$.
в)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy^2 = 12 \\ x + y^2 = 7 \end{cases} $
Эта система напоминает теорему Виета для переменных $x$ и $y^2$.
Из второго уравнения выразим $x$: $x = 7 - y^2$.
Подставим это выражение в первое уравнение:
$(7 - y^2)y^2 = 12$
Введем замену переменной. Пусть $t = y^2$, где $t \ge 0$.
$(7 - t)t = 12$
$7t - t^2 = 12$
$t^2 - 7t + 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$. Оба корня положительны, значит, оба подходят.
Рассмотрим два случая:
1. $y^2 = 3$. Тогда $y$ может быть равен $\sqrt{3}$ или $-\sqrt{3}$. Найдем соответствующее значение $x = 7 - y^2 = 7 - 3 = 4$. Получаем два решения: $(4, \sqrt{3})$ и $(4, -\sqrt{3})$.
2. $y^2 = 4$. Тогда $y$ может быть равен $2$ или $-2$. Найдем соответствующее значение $x = 7 - y^2 = 7 - 4 = 3$. Получаем еще два решения: $(3, 2)$ и $(3, -2)$.
В итоге система имеет четыре решения.
Ответ: $(3, 2), (3, -2), (4, \sqrt{3}), (4, -\sqrt{3})$.
г)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} xy(x+y) = 30 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} $
Это симметрическая система. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.
Введем замену переменных (элементарные симметрические многочлены): $u = x+y$ и $v = xy$.
Тогда система переписывается в виде:
$ \begin{cases} v \cdot u = 30 \\ u^3 - 3vu = 35 \end{cases} $
Подставим значение $vu=30$ из первого уравнения во второе:
$u^3 - 3(30) = 35$
$u^3 - 90 = 35$
$u^3 = 125$
Отсюда находим $u$: $u = \sqrt[3]{125} = 5$.
Теперь найдем $v$ из уравнения $uv = 30$:
$5v = 30$
$v = 6$
Теперь возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:
$ \begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $
Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.
$t^2 - 5t + 6 = 0$
Корни этого уравнения легко находятся: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.
Это означает, что пара $(x, y)$ может быть либо $(2, 3)$, либо $(3, 2)$.
Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.28 расположенного на странице 347 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.28 (с. 347), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.