Номер 14.28, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.28, страница 347.

Условие.

14.28 a) $\begin{cases} xy + x - y = 13 \\ xy - x + y = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - y = 23 \\ x^2y = 50; \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy^2 = 12 \\ x + y^2 = 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} xy (x + y) = 30 \\ x^3 + y^3 = 35. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy + x - y = 13 \\ xy - x + y = 7 \end{cases} $

Это система двух линейных уравнений относительно $xy$ и $x-y$ (или $y-x$). Сложим первое и второе уравнения, чтобы избавиться от $x$ и $y$:

$(xy + x - y) + (xy - x + y) = 13 + 7$

$2xy = 20$

$xy = 10$

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от $xy$:

$(xy + x - y) - (xy - x + y) = 13 - 7$

$xy + x - y - xy + x - y = 6$

$2x - 2y = 6$

$x - y = 3$

Мы получили новую, более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = 10 \\ x - y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y + 3)y = 10$

$y^2 + 3y - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$. Получаем решение $(5, 2)$.

2. Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 3 = -2$. Получаем решение $(-2, -5)$.

Ответ: $(5, 2), (-2, -5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y = 23 \\ x^2y = 50 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x^2 - 23$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2(x^2 - 23) = 50$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t(t - 23) = 50$

$t^2 - 23t - 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 529 + 200 = 729 = 27^2$.

$t_1 = \frac{23 + \sqrt{729}}{2} = \frac{23 + 27}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$t_2 = \frac{23 - \sqrt{729}}{2} = \frac{23 - 27}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому мы его отбрасываем.

Возвращаемся к замене: $x^2 = t = 25$. Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Найдем соответствующее значение $y$, используя выражение $y = x^2 - 23$:

$y = 25 - 23 = 2$.

Таким образом, система имеет два решения: $(5, 2)$ и $(-5, 2)$.

Ответ: $(5, 2), (-5, 2)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy^2 = 12 \\ x + y^2 = 7 \end{cases} $

Эта система напоминает теорему Виета для переменных $x$ и $y^2$.

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 7 - y^2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(7 - y^2)y^2 = 12$

Введем замену переменной. Пусть $t = y^2$, где $t \ge 0$.

$(7 - t)t = 12$

$7t - t^2 = 12$

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$. Оба корня положительны, значит, оба подходят.

Рассмотрим два случая:

1. $y^2 = 3$. Тогда $y$ может быть равен $\sqrt{3}$ или $-\sqrt{3}$. Найдем соответствующее значение $x = 7 - y^2 = 7 - 3 = 4$. Получаем два решения: $(4, \sqrt{3})$ и $(4, -\sqrt{3})$.

2. $y^2 = 4$. Тогда $y$ может быть равен $2$ или $-2$. Найдем соответствующее значение $x = 7 - y^2 = 7 - 4 = 3$. Получаем еще два решения: $(3, 2)$ и $(3, -2)$.

В итоге система имеет четыре решения.

Ответ: $(3, 2), (3, -2), (4, \sqrt{3}), (4, -\sqrt{3})$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy(x+y) = 30 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} $

Это симметрическая система. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.

Введем замену переменных (элементарные симметрические многочлены): $u = x+y$ и $v = xy$.

Тогда система переписывается в виде:

$ \begin{cases} v \cdot u = 30 \\ u^3 - 3vu = 35 \end{cases} $

Подставим значение $vu=30$ из первого уравнения во второе:

$u^3 - 3(30) = 35$

$u^3 - 90 = 35$

$u^3 = 125$

Отсюда находим $u$: $u = \sqrt[3]{125} = 5$.

Теперь найдем $v$ из уравнения $uv = 30$:

$5v = 30$

$v = 6$

Теперь возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$ \begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Корни этого уравнения легко находятся: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Это означает, что пара $(x, y)$ может быть либо $(2, 3)$, либо $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.