Номер 14.29, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.29, страница 347.

Условие.

14.29 a) $\begin{cases} \frac{5}{3x - 2y} + \frac{4}{7x - 3y} = -1 \\ \frac{4}{3x - 2y} - \frac{3}{7x - 3y} = -7 \end{cases};$

б) $\begin{cases} \frac{2}{2x - y} + \frac{3}{x - 2y} = \frac{1}{2} \\ \frac{2}{2x - y} - \frac{1}{x - 2y} = \frac{1}{18} \end{cases}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Пусть $u = \frac{1}{3x - 2y}$ и $v = \frac{1}{7x - 3y}$. Тогда исходная система примет вид:

$ \begin{cases} 5u + 4v = -1 \\ 4u - 3v = -7 \end{cases} $

Решим полученную систему линейных уравнений относительно $u$ и $v$. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4, чтобы избавиться от переменной $v$:

$ \begin{cases} 15u + 12v = -3 \\ 16u - 12v = -28 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(15u + 12v) + (16u - 12v) = -3 + (-28)$

$31u = -31$

$u = -1$

Теперь подставим найденное значение $u$ в первое уравнение исходной системы для $u$ и $v$ ($5u + 4v = -1$):

$5(-1) + 4v = -1$

$-5 + 4v = -1$

$4v = 4$

$v = 1$

Теперь, когда мы нашли значения $u$ и $v$, вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

$ \begin{cases} \frac{1}{3x - 2y} = -1 \\ \frac{1}{7x - 3y} = 1 \end{cases} $

Из этой системы получаем новую систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 7x - 3y = 1 \end{cases} $

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:

$ \begin{cases} 9x - 6y = -3 \\ 14x - 6y = 2 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:

$(14x - 6y) - (9x - 6y) = 2 - (-3)$

$5x = 5$

$x = 1$

Подставим значение $x=1$ в уравнение $3x - 2y = -1$:

$3(1) - 2y = -1$

$3 - 2y = -1$

$-2y = -4$

$y = 2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

б)

Для решения этой системы также используем метод введения новых переменных. Пусть $a = \frac{1}{2x - y}$ и $b = \frac{1}{x - 2y}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} 2a + 3b = \frac{1}{2} \\ 2a - b = \frac{1}{18} \end{cases} $

Решим эту систему относительно $a$ и $b$. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $a$:

$(2a + 3b) - (2a - b) = \frac{1}{2} - \frac{1}{18}$

$4b = \frac{9}{18} - \frac{1}{18}$

$4b = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$b = \frac{1}{9}$

Подставим найденное значение $b$ во второе уравнение системы ($2a - b = \frac{1}{18}$):

$2a - \frac{1}{9} = \frac{1}{18}$

$2a = \frac{1}{18} + \frac{1}{9} = \frac{1}{18} + \frac{2}{18}$

$2a = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

$a = \frac{1}{12}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

$ \begin{cases} \frac{1}{2x - y} = \frac{1}{12} \\ \frac{1}{x - 2y} = \frac{1}{9} \end{cases} $

Это приводит к следующей системе линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 12 \\ x - 2y = 9 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$: $x = 9 + 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(9 + 2y) - y = 12$

$18 + 4y - y = 12$

$3y = 12 - 18$

$3y = -6$

$y = -2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 9 + 2(-2) = 9 - 4 = 5$

Решение системы — пара чисел $(5; -2)$.

Ответ: $(5; -2)$.