Страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите систему уравнений (14.27—14.37):

14.27 а) $\begin{cases} |x + 1| + |y + 1| = 5 \\ |x + 1| = 4y + 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} |x - 1| + |y - 5| = 1 \\ y = 5 + |x + 1|. \end{cases}$

а)Дана система уравнений:$\begin{cases} |x + 1| + |y + 1| = 5 \\ |x + 1| = 4y + 4 \end{cases}$Из второго уравнения $|x + 1| = 4y + 4$ следует, что его правая часть должна быть неотрицательной, так как модуль числа всегда неотрицателен. Таким образом, мы имеем условие:$4y + 4 \ge 0$$4y \ge -4$$y \ge -1$При этом условии выражение $y + 1$ также неотрицательно ($y + 1 \ge 0$), а значит, $|y + 1| = y + 1$.Теперь подставим выражение для $|x + 1|$ из второго уравнения в первое уравнение системы:$(4y + 4) + |y + 1| = 5$Используя тот факт, что $|y + 1| = y + 1$, получаем:$(4y + 4) + (y + 1) = 5$$5y + 5 = 5$$5y = 0$$y = 0$Полученное значение $y=0$ удовлетворяет условию $y \ge -1$.Теперь найдем соответствующие значения $x$, подставив $y = 0$ во второе уравнение системы:$|x + 1| = 4(0) + 4$$|x + 1| = 4$Данное уравнение с модулем эквивалентно двум уравнениям:1) $x + 1 = 4 \implies x = 3$2) $x + 1 = -4 \implies x = -5$Таким образом, система имеет два решения. Проверим их, подставив в исходную систему.Для пары $(3, 0)$:$|3 + 1| + |0 + 1| = |4| + |1| = 4 + 1 = 5$ (верно)$|3 + 1| = 4(0) + 4 \implies 4 = 4$ (верно)Для пары $(-5, 0)$:$|-5 + 1| + |0 + 1| = |-4| + |1| = 4 + 1 = 5$ (верно)$|-5 + 1| = 4(0) + 4 \implies 4 = 4$ (верно)Оба решения подходят.
Ответ: $(3, 0), (-5, 0).$

б)Дана система уравнений:$\begin{cases} |x - 1| + |y - 5| = 1 \\ y = 5 + |x + 1| \end{cases}$Рассмотрим второе уравнение: $y = 5 + |x + 1|$. Так как $|x + 1| \ge 0$, то $y \ge 5 + 0$, то есть $y \ge 5$.Из этого следует, что разность $y - 5$ неотрицательна ($y - 5 \ge 0$), поэтому модуль этого выражения равен самому выражению: $|y - 5| = y - 5$.Подставим это в первое уравнение системы:$|x - 1| + (y - 5) = 1$$|x - 1| + y = 6$Теперь в полученное уравнение подставим выражение для $y$ из второго уравнения исходной системы ($y = 5 + |x + 1|$):$|x - 1| + (5 + |x + 1|) = 6$$|x - 1| + |x + 1| = 1$Рассмотрим левую часть уравнения $|x - 1| + |x + 1|$. Эту сумму можно интерпретировать как сумму расстояний на числовой прямой от точки $x$ до точек $1$ и $-1$. Расстояние между точками $1$ и $-1$ равно $|1 - (-1)| = 2$.Согласно неравенству треугольника (или свойству модуля $|a|+|b| \ge |a-b|$), сумма расстояний от точки $x$ до двух фиксированных точек не может быть меньше, чем расстояние между этими точками.$|x - 1| + |x + 1| \ge |(x - 1) - (x + 1)| = |-2| = 2$.Таким образом, левая часть нашего уравнения всегда больше или равна 2. Уравнение $|x - 1| + |x + 1| = 1$ не может иметь решений, так как $1 < 2$.Поскольку уравнение относительно переменной $x$ не имеет решений, то и вся система уравнений не имеет решений.
Ответ: нет решений.

14.28 a) $\begin{cases} xy + x - y = 13 \\ xy - x + y = 7; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - y = 23 \\ x^2y = 50; \end{cases}$

в) $\begin{cases} xy^2 = 12 \\ x + y^2 = 7; \end{cases}$

г) $\begin{cases} xy (x + y) = 30 \\ x^3 + y^3 = 35. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy + x - y = 13 \\ xy - x + y = 7 \end{cases} $

Это система двух линейных уравнений относительно $xy$ и $x-y$ (или $y-x$). Сложим первое и второе уравнения, чтобы избавиться от $x$ и $y$:

$(xy + x - y) + (xy - x + y) = 13 + 7$

$2xy = 20$

$xy = 10$

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы избавиться от $xy$:

$(xy + x - y) - (xy - x + y) = 13 - 7$

$xy + x - y - xy + x - y = 6$

$2x - 2y = 6$

$x - y = 3$

Мы получили новую, более простую систему уравнений:

$ \begin{cases} xy = 10 \\ x - y = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $x$: $x = y + 3$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(y + 3)y = 10$

$y^2 + 3y - 10 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $y_1 = 2$ и $y_2 = -5$.

Найдем соответствующие значения $x$ для каждого $y$:

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 2 + 3 = 5$. Получаем решение $(5, 2)$.

2. Если $y_2 = -5$, то $x_2 = -5 + 3 = -2$. Получаем решение $(-2, -5)$.

Ответ: $(5, 2), (-2, -5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y = 23 \\ x^2y = 50 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $y$: $y = x^2 - 23$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$x^2(x^2 - 23) = 50$

Введем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $t \ge 0$.

Уравнение принимает вид:

$t(t - 23) = 50$

$t^2 - 23t - 50 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $t$. Дискриминант $D = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 529 + 200 = 729 = 27^2$.

$t_1 = \frac{23 + \sqrt{729}}{2} = \frac{23 + 27}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$t_2 = \frac{23 - \sqrt{729}}{2} = \frac{23 - 27}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t \ge 0$, поэтому мы его отбрасываем.

Возвращаемся к замене: $x^2 = t = 25$. Отсюда получаем два значения для $x$: $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$.

Найдем соответствующее значение $y$, используя выражение $y = x^2 - 23$:

$y = 25 - 23 = 2$.

Таким образом, система имеет два решения: $(5, 2)$ и $(-5, 2)$.

Ответ: $(5, 2), (-5, 2)$.

в)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy^2 = 12 \\ x + y^2 = 7 \end{cases} $

Эта система напоминает теорему Виета для переменных $x$ и $y^2$.

Из второго уравнения выразим $x$: $x = 7 - y^2$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$(7 - y^2)y^2 = 12$

Введем замену переменной. Пусть $t = y^2$, где $t \ge 0$.

$(7 - t)t = 12$

$7t - t^2 = 12$

$t^2 - 7t + 12 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, его корни: $t_1 = 3$ и $t_2 = 4$. Оба корня положительны, значит, оба подходят.

Рассмотрим два случая:

1. $y^2 = 3$. Тогда $y$ может быть равен $\sqrt{3}$ или $-\sqrt{3}$. Найдем соответствующее значение $x = 7 - y^2 = 7 - 3 = 4$. Получаем два решения: $(4, \sqrt{3})$ и $(4, -\sqrt{3})$.

2. $y^2 = 4$. Тогда $y$ может быть равен $2$ или $-2$. Найдем соответствующее значение $x = 7 - y^2 = 7 - 4 = 3$. Получаем еще два решения: $(3, 2)$ и $(3, -2)$.

В итоге система имеет четыре решения.

Ответ: $(3, 2), (3, -2), (4, \sqrt{3}), (4, -\sqrt{3})$.

г)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} xy(x+y) = 30 \\ x^3 + y^3 = 35 \end{cases} $

Это симметрическая система. Используем формулу суммы кубов: $x^3 + y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$.

Введем замену переменных (элементарные симметрические многочлены): $u = x+y$ и $v = xy$.

Тогда система переписывается в виде:

$ \begin{cases} v \cdot u = 30 \\ u^3 - 3vu = 35 \end{cases} $

Подставим значение $vu=30$ из первого уравнения во второе:

$u^3 - 3(30) = 35$

$u^3 - 90 = 35$

$u^3 = 125$

Отсюда находим $u$: $u = \sqrt[3]{125} = 5$.

Теперь найдем $v$ из уравнения $uv = 30$:

$5v = 30$

$v = 6$

Теперь возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:

$ \begin{cases} x+y = 5 \\ xy = 6 \end{cases} $

Согласно теореме, обратной теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - (x+y)t + xy = 0$.

$t^2 - 5t + 6 = 0$

Корни этого уравнения легко находятся: $t_1 = 2$, $t_2 = 3$.

Это означает, что пара $(x, y)$ может быть либо $(2, 3)$, либо $(3, 2)$.

Ответ: $(2, 3), (3, 2)$.

14.29 a) $\begin{cases} \frac{5}{3x - 2y} + \frac{4}{7x - 3y} = -1 \\ \frac{4}{3x - 2y} - \frac{3}{7x - 3y} = -7 \end{cases};$

б) $\begin{cases} \frac{2}{2x - y} + \frac{3}{x - 2y} = \frac{1}{2} \\ \frac{2}{2x - y} - \frac{1}{x - 2y} = \frac{1}{18} \end{cases}.$

Для решения данной системы уравнений воспользуемся методом введения новых переменных. Пусть $u = \frac{1}{3x - 2y}$ и $v = \frac{1}{7x - 3y}$. Тогда исходная система примет вид:

$ \begin{cases} 5u + 4v = -1 \\ 4u - 3v = -7 \end{cases} $

Решим полученную систему линейных уравнений относительно $u$ и $v$. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 4, чтобы избавиться от переменной $v$:

$ \begin{cases} 15u + 12v = -3 \\ 16u - 12v = -28 \end{cases} $

Сложим два уравнения системы:

$(15u + 12v) + (16u - 12v) = -3 + (-28)$

$31u = -31$

$u = -1$

Теперь подставим найденное значение $u$ в первое уравнение исходной системы для $u$ и $v$ ($5u + 4v = -1$):

$5(-1) + 4v = -1$

$-5 + 4v = -1$

$4v = 4$

$v = 1$

Теперь, когда мы нашли значения $u$ и $v$, вернемся к исходным переменным $x$ и $y$.

$ \begin{cases} \frac{1}{3x - 2y} = -1 \\ \frac{1}{7x - 3y} = 1 \end{cases} $

Из этой системы получаем новую систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 3x - 2y = -1 \\ 7x - 3y = 1 \end{cases} $

Решим эту систему. Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2:

$ \begin{cases} 9x - 6y = -3 \\ 14x - 6y = 2 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго:

$(14x - 6y) - (9x - 6y) = 2 - (-3)$

$5x = 5$

$x = 1$

Подставим значение $x=1$ в уравнение $3x - 2y = -1$:

$3(1) - 2y = -1$

$3 - 2y = -1$

$-2y = -4$

$y = 2$

Таким образом, решение системы — пара чисел $(1; 2)$.

Ответ: $(1; 2)$.

Для решения этой системы также используем метод введения новых переменных. Пусть $a = \frac{1}{2x - y}$ и $b = \frac{1}{x - 2y}$. Система примет вид:

$ \begin{cases} 2a + 3b = \frac{1}{2} \\ 2a - b = \frac{1}{18} \end{cases} $

Решим эту систему относительно $a$ и $b$. Вычтем второе уравнение из первого, чтобы исключить переменную $a$:

$(2a + 3b) - (2a - b) = \frac{1}{2} - \frac{1}{18}$

$4b = \frac{9}{18} - \frac{1}{18}$

$4b = \frac{8}{18} = \frac{4}{9}$

$b = \frac{1}{9}$

Подставим найденное значение $b$ во второе уравнение системы ($2a - b = \frac{1}{18}$):

$2a - \frac{1}{9} = \frac{1}{18}$

$2a = \frac{1}{18} + \frac{1}{9} = \frac{1}{18} + \frac{2}{18}$

$2a = \frac{3}{18} = \frac{1}{6}$

$a = \frac{1}{12}$

Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$ и $y$.

$ \begin{cases} \frac{1}{2x - y} = \frac{1}{12} \\ \frac{1}{x - 2y} = \frac{1}{9} \end{cases} $

Это приводит к следующей системе линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 12 \\ x - 2y = 9 \end{cases} $

Решим эту систему методом подстановки. Из второго уравнения выразим $x$: $x = 9 + 2y$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$2(9 + 2y) - y = 12$

$18 + 4y - y = 12$

$3y = 12 - 18$

$3y = -6$

$y = -2$

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 9 + 2(-2) = 9 - 4 = 5$

Решение системы — пара чисел $(5; -2)$.

Ответ: $(5; -2)$.

14.30 a) $\begin{cases} \sqrt{2x-1} + \sqrt{y+3} = 3 \\ 2xy - y + 6x - 3 = 4 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{5x-6} + \sqrt{y+6} = 5 \\ 5xy - 6y + 30x = 72 \end{cases}$

а)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{2x - 1} + \sqrt{y + 3} = 3 \\ 2xy - y + 6x - 3 = 4 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$2x - 1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2}$

$y + 3 \ge 0 \implies y \ge -3$

Преобразуем второе уравнение, разложив его левую часть на множители путем группировки:

$2xy - y + 6x - 3 = y(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1)(y + 3)$

Таким образом, второе уравнение принимает вид: $(2x - 1)(y + 3) = 4$.

Для упрощения системы введем новые переменные:

Пусть $a = \sqrt{2x - 1}$ и $b = \sqrt{y + 3}$.

Из определения квадратного корня следует, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда $a^2 = 2x - 1$ и $b^2 = y + 3$.

Подставим новые переменные в систему уравнений:

$ \begin{cases} a + b = 3 \\ a^2 b^2 = 4 \end{cases} $

Из второго уравнения, учитывая, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$, следует $ab = \sqrt{4} = 2$.

Получаем простую систему:

$ \begin{cases} a + b = 3 \\ ab = 2 \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Находим корни: $(t - 1)(t - 2) = 0$, откуда $t_1 = 1, t_2 = 2$.

Это дает нам два возможных набора значений для $(a, b)$:

1. $a = 1, b = 2$

2. $a = 2, b = 1$

Выполним обратную замену для каждого случая.

Случай 1: $a = 1, b = 2$.

$\sqrt{2x - 1} = 1 \implies 2x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.

$\sqrt{y + 3} = 2 \implies y + 3 = 4 \implies y = 1$.

Решение $(1, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1/2$, $y \ge -3$).

Случай 2: $a = 2, b = 1$.

$\sqrt{2x - 1} = 2 \implies 2x - 1 = 4 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}$.

$\sqrt{y + 3} = 1 \implies y + 3 = 1 \implies y = -2$.

Решение $(\frac{5}{2}, -2)$ также удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1/2$, $y \ge -3$).

Ответ: $(1, 1), (\frac{5}{2}, -2)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{5x - 6} + \sqrt{y + 6} = 5 \\ 5xy - 6y + 30x = 72 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$5x - 6 \ge 0 \implies x \ge \frac{6}{5}$

$y + 6 \ge 0 \implies y \ge -6$

Преобразуем второе уравнение, чтобы выделить множители $(5x-6)$ и $(y+6)$:

$5xy - 6y + 30x = 72$

$y(5x - 6) + 30x = 72$

$y(5x - 6) + 6(5x) = 72$

Чтобы получить множитель $(5x - 6)$, вычтем и прибавим 36:

$y(5x - 6) + 6(5x - 6) + 36 = 72$

$(y + 6)(5x - 6) = 72 - 36$

$(5x - 6)(y + 6) = 36$

Введем новые переменные:

Пусть $u = \sqrt{5x - 6}$ и $v = \sqrt{y + 6}$.

Учитывая ОДЗ, $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Тогда $u^2 = 5x - 6$ и $v^2 = y + 6$.

Подставим новые переменные в систему:

$ \begin{cases} u + v = 5 \\ u^2 v^2 = 36 \end{cases} $

Из второго уравнения, так как $u \ge 0$ и $v \ge 0$, имеем $uv = \sqrt{36} = 6$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} u + v = 5 \\ uv = 6 \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$.

Корни уравнения: $(z - 2)(z - 3) = 0$, откуда $z_1 = 2, z_2 = 3$.

Возможны два набора значений для $(u, v)$:

1. $u = 2, v = 3$

2. $u = 3, v = 2$

Выполним обратную замену для каждого случая.

Случай 1: $u = 2, v = 3$.

$\sqrt{5x - 6} = 2 \implies 5x - 6 = 4 \implies 5x = 10 \implies x = 2$.

$\sqrt{y + 6} = 3 \implies y + 6 = 9 \implies y = 3$.

Решение $(2, 3)$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 6/5$, $y \ge -6$).

Случай 2: $u = 3, v = 2$.

$\sqrt{5x - 6} = 3 \implies 5x - 6 = 9 \implies 5x = 15 \implies x = 3$.

$\sqrt{y + 6} = 2 \implies y + 6 = 4 \implies y = -2$.

Решение $(3, -2)$ также удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 6/5$, $y \ge -6$).

Ответ: $(2, 3), (3, -2)$.

14.31 a) $\begin{cases} \frac{15}{\sqrt{x+8}} + \frac{2}{\sqrt{5y+1}} = \frac{10}{3} \\ \frac{10}{\sqrt{x+8}} + \frac{6}{\sqrt{5y+1}} = 3; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \frac{12}{\sqrt{x-1}} + \frac{10}{\sqrt{4y+1}} = 5 \\ \frac{4}{\sqrt{x-1}} + \frac{10}{\sqrt{4y+1}} = 3. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{15}{\sqrt{x+8}} + \frac{2}{\sqrt{5y+1}} = \frac{10}{3} \\ \frac{10}{\sqrt{x+8}} + \frac{6}{\sqrt{5y+1}} = 3 \end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть положительными, так как они находятся в знаменателе:

$x+8 > 0 \implies x > -8$

$5y+1 > 0 \implies y > -1/5$

Для решения системы введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{\sqrt{x+8}}$ и $v = \frac{1}{\sqrt{5y+1}}$. Так как значения квадратных корней неотрицательны и они в знаменателе, то $u > 0$ и $v > 0$.

После замены система примет вид:

$\begin{cases} 15u + 2v = \frac{10}{3} \\ 10u + 6v = 3 \end{cases}$

Решим полученную систему линейных уравнений. Умножим первое уравнение на -3, чтобы использовать метод сложения:

$-3 \cdot (15u + 2v) = -3 \cdot \frac{10}{3} \implies -45u - 6v = -10$

Теперь сложим это уравнение со вторым уравнением системы:

$(-45u - 6v) + (10u + 6v) = -10 + 3$

$-35u = -7$

$u = \frac{-7}{-35} = \frac{1}{5}$

Подставим значение $u$ во второе уравнение ($10u + 6v = 3$):

$10 \cdot (\frac{1}{5}) + 6v = 3$

$2 + 6v = 3$

$6v = 1$

$v = \frac{1}{6}$

Выполним обратную замену.Для $u = \frac{1}{5}$:

$\frac{1}{\sqrt{x+8}} = \frac{1}{5} \implies \sqrt{x+8} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$x+8 = 25 \implies x = 17$

Для $v = \frac{1}{6}$:

$\frac{1}{\sqrt{5y+1}} = \frac{1}{6} \implies \sqrt{5y+1} = 6$

Возведем обе части в квадрат:

$5y+1 = 36 \implies 5y = 35 \implies y = 7$

Проверим найденные значения по ОДЗ: $x=17 > -8$ и $y=7 > -1/5$. Оба условия выполняются.

Ответ: $(17; 7)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \frac{12}{\sqrt{x-1}} + \frac{10}{\sqrt{4y+1}} = 5 \\ \frac{4}{\sqrt{x-1}} + \frac{10}{\sqrt{4y+1}} = 3 \end{cases}$

Определим область допустимых значений (ОДЗ):

$x-1 > 0 \implies x > 1$

$4y+1 > 0 \implies y > -1/4$

Введем новые переменные. Пусть $u = \frac{1}{\sqrt{x-1}}$ и $v = \frac{1}{\sqrt{4y+1}}$. При этом $u > 0$ и $v > 0$.

Система примет вид:

$\begin{cases} 12u + 10v = 5 \\ 4u + 10v = 3 \end{cases}$

Решим систему методом вычитания. Вычтем второе уравнение из первого:

$(12u + 10v) - (4u + 10v) = 5 - 3$

$8u = 2$

$u = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Подставим найденное значение $u$ во второе уравнение ($4u + 10v = 3$):

$4 \cdot (\frac{1}{4}) + 10v = 3$

$1 + 10v = 3$

$10v = 2$

$v = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$

Выполним обратную замену.Для $u = \frac{1}{4}$:

$\frac{1}{\sqrt{x-1}} = \frac{1}{4} \implies \sqrt{x-1} = 4$

Возведем обе части в квадрат:

$x-1 = 16 \implies x = 17$

Для $v = \frac{1}{5}$:

$\frac{1}{\sqrt{4y+1}} = \frac{1}{5} \implies \sqrt{4y+1} = 5$

Возведем обе части в квадрат:

$4y+1 = 25 \implies 4y = 24 \implies y = 6$

Проверим найденные значения по ОДЗ: $x=17 > 1$ и $y=6 > -1/4$. Оба условия выполняются.

Ответ: $(17; 6)$.

14.32 a) $\begin{cases} 4^{2y} + 3^{2x} = 82 \\ 3^x - 4^y = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3^y + 5^{2x} = 26 \\ 5^x - 3^{0.5y} = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3^{2x} - 2^{\frac{y}{2}} = 25 \\ 3^{2x} - 2^y = 23. \end{cases}$

а)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} 4^{2y} + 3^{2x} = 82 \\ 3^x - 4^y = 8 \end{cases} $$Заметим, что $4^{2y} = (2^2)^{2y} = (2^{2y})^2 = (4^y)^2$ и $3^{2x} = (3^x)^2$.Введем замену переменных: пусть $u = 3^x$ и $v = 4^y$. Поскольку показательные функции с основанием больше 1 всегда положительны, то $u > 0$ и $v > 0$.Система уравнений в новых переменных будет выглядеть так:$$ \begin{cases} v^2 + u^2 = 82 \\ u - v = 8 \end{cases} $$Из второго уравнения выразим $u$: $u = 8 + v$.Подставим это выражение в первое уравнение:$v^2 + (8 + v)^2 = 82$$v^2 + 64 + 16v + v^2 = 82$$2v^2 + 16v + 64 - 82 = 0$$2v^2 + 16v - 18 = 0$Разделим обе части уравнения на 2:$v^2 + 8v - 9 = 0$Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $-9$. Корнями являются $v_1 = 1$ и $v_2 = -9$.Так как $v = 4^y$, значение $v$ должно быть положительным. Поэтому корень $v_2 = -9$ не подходит.Единственное возможное значение $v = 1$.Теперь найдем соответствующее значение $u$:$u = 8 + v = 8 + 1 = 9$.Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:$u = 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.$v = 4^y = 1 \implies 4^y = 4^0 \implies y = 0$.Решением системы является пара чисел $(2; 0)$.
Ответ: $(2; 0)$.

б)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} 3^y + 5^{2x} = 26 \\ 5^x - 3^{0.5y} = 4 \end{cases} $$Заметим, что $3^y = 3^{2 \cdot 0.5y} = (3^{0.5y})^2$ и $5^{2x} = (5^x)^2$.Введем замену переменных: пусть $u = 5^x$ и $v = 3^{0.5y}$. Так как $u > 0$ и $v > 0$.Система уравнений в новых переменных:$$ \begin{cases} v^2 + u^2 = 26 \\ u - v = 4 \end{cases} $$Из второго уравнения выразим $u$: $u = 4 + v$.Подставим это выражение в первое уравнение:$v^2 + (4 + v)^2 = 26$$v^2 + 16 + 8v + v^2 = 26$$2v^2 + 8v + 16 - 26 = 0$$2v^2 + 8v - 10 = 0$Разделим обе части уравнения на 2:$v^2 + 4v - 5 = 0$По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-5$. Корнями являются $v_1 = 1$ и $v_2 = -5$.Так как $v = 3^{0.5y}$, значение $v$ должно быть положительным. Поэтому корень $v_2 = -5$ не подходит.Единственное возможное значение $v = 1$.Найдем соответствующее значение $u$:$u = 4 + v = 4 + 1 = 5$.Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:$u = 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.$v = 3^{0.5y} = 1 \implies 3^{0.5y} = 3^0 \implies 0.5y = 0 \implies y = 0$.Решением системы является пара чисел $(1; 0)$.
Ответ: $(1; 0)$.

в)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} 3^{2x} - 2^{y/2} = 25 \\ 3^{2x} - 2^y = 23 \end{cases} $$Заметим, что $2^y = 2^{2 \cdot (y/2)} = (2^{y/2})^2$.Введем замену переменных: пусть $u = 3^{2x}$ и $v = 2^{y/2}$. Так как $u > 0$ и $v > 0$.Система уравнений в новых переменных:$$ \begin{cases} u - v = 25 \\ u - v^2 = 23 \end{cases} $$Из первого уравнения выразим $u$: $u = 25 + v$.Подставим это выражение во второе уравнение:$(25 + v) - v^2 = 23$$-v^2 + v + 25 - 23 = 0$$-v^2 + v + 2 = 0$Умножим обе части на $-1$:$v^2 - v - 2 = 0$По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корнями являются $v_1 = 2$ и $v_2 = -1$.Так как $v = 2^{y/2}$, значение $v$ должно быть положительным. Поэтому корень $v_2 = -1$ не подходит.Единственное возможное значение $v = 2$.Найдем соответствующее значение $u$:$u = 25 + v = 25 + 2 = 27$.Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:$u = 3^{2x} = 27 \implies 3^{2x} = 3^3 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.$v = 2^{y/2} = 2 \implies 2^{y/2} = 2^1 \implies \frac{y}{2} = 1 \implies y = 2$.Решением системы является пара чисел $(\frac{3}{2}; 2)$.
Ответ: $(\frac{3}{2}; 2)$.

14.33 a) $\begin{cases}\sqrt{2y} + \sqrt{12} \operatorname{ctg} x = 4 \\\sqrt{8y} - \sqrt{27} \operatorname{ctg} x = 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}\sqrt{3x} + \sqrt{12} \operatorname{tg} y = 9 \\\sqrt{27x} - \frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname{tg} y = 8.\end{cases}$

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{2}y + \sqrt{12}\operatorname{ctg}x = 4 \\ \sqrt{8}y - \sqrt{27}\operatorname{ctg}x = 1 \end{cases} $$

Вначале упростим иррациональные коэффициенты в системе: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$. После подстановки система примет вид: $$ \begin{cases} \sqrt{2}y + 2\sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 4 \\ 2\sqrt{2}y - 3\sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 1 \end{cases} $$

Получили линейную систему относительно переменных $y$ и $\operatorname{ctg}x$. Для ее решения воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения на $2$: $$ 2(\sqrt{2}y + 2\sqrt{3}\operatorname{ctg}x) = 2 \cdot 4 $$ $$ 2\sqrt{2}y + 4\sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 8 $$

Теперь вычтем из полученного уравнения второе уравнение системы: $$ (2\sqrt{2}y + 4\sqrt{3}\operatorname{ctg}x) - (2\sqrt{2}y - 3\sqrt{3}\operatorname{ctg}x) = 8 - 1 $$ $$ 2\sqrt{2}y - 2\sqrt{2}y + 4\sqrt{3}\operatorname{ctg}x + 3\sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 7 $$ $$ 7\sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 7 $$ $$ \operatorname{ctg}x = \frac{7}{7\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

Из уравнения $\operatorname{ctg}x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ находим $x$: $$ x = \operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Подставим значение $\operatorname{ctg}x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ в первое уравнение исходной системы для нахождения $y$: $$ \sqrt{2}y + 2\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 4 $$ $$ \sqrt{2}y + 2 = 4 $$ $$ \sqrt{2}y = 2 $$ $$ y = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $y = \sqrt{2}$.

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{3}x + \sqrt{12}\operatorname{tg}y = 9 \\ \sqrt{27}x - \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{tg}y = 8 \end{cases} $$

Упростим коэффициенты: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ и $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. Система примет вид: $$ \begin{cases} \sqrt{3}x + 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y = 9 \\ 3\sqrt{3}x - \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{tg}y = 8 \end{cases} $$

Это линейная система относительно $x$ и $\operatorname{tg}y$. Решим ее методом сложения. Чтобы исключить $\operatorname{tg}y$, умножим второе уравнение на $6$: $$ 6\left(3\sqrt{3}x - \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{tg}y\right) = 6 \cdot 8 $$ $$ 18\sqrt{3}x - \frac{6}{\sqrt{3}}\operatorname{tg}y = 48 $$ $$ 18\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y = 48 $$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы: $$ (\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y) + (18\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y) = 9 + 48 $$ $$ 19\sqrt{3}x = 57 $$ $$ x = \frac{57}{19\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

Подставим найденное значение $x = \sqrt{3}$ в первое уравнение системы, чтобы найти $\operatorname{tg}y$: $$ \sqrt{3}(\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y = 9 $$ $$ 3 + 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y = 9 $$ $$ 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y = 6 $$ $$ \operatorname{tg}y = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

Из уравнения $\operatorname{tg}y = \sqrt{3}$ находим $y$: $$ y = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ y = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $x = \sqrt{3}$; $y = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.