Номер 14.32, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.32, страница 347.

Условие.

14.32 a) $\begin{cases} 4^{2y} + 3^{2x} = 82 \\ 3^x - 4^y = 8; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3^y + 5^{2x} = 26 \\ 5^x - 3^{0.5y} = 4; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 3^{2x} - 2^{\frac{y}{2}} = 25 \\ 3^{2x} - 2^y = 23. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} 4^{2y} + 3^{2x} = 82 \\ 3^x - 4^y = 8 \end{cases} $$Заметим, что $4^{2y} = (2^2)^{2y} = (2^{2y})^2 = (4^y)^2$ и $3^{2x} = (3^x)^2$.Введем замену переменных: пусть $u = 3^x$ и $v = 4^y$. Поскольку показательные функции с основанием больше 1 всегда положительны, то $u > 0$ и $v > 0$.Система уравнений в новых переменных будет выглядеть так:$$ \begin{cases} v^2 + u^2 = 82 \\ u - v = 8 \end{cases} $$Из второго уравнения выразим $u$: $u = 8 + v$.Подставим это выражение в первое уравнение:$v^2 + (8 + v)^2 = 82$$v^2 + 64 + 16v + v^2 = 82$$2v^2 + 16v + 64 - 82 = 0$$2v^2 + 16v - 18 = 0$Разделим обе части уравнения на 2:$v^2 + 8v - 9 = 0$Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-8$, а их произведение равно $-9$. Корнями являются $v_1 = 1$ и $v_2 = -9$.Так как $v = 4^y$, значение $v$ должно быть положительным. Поэтому корень $v_2 = -9$ не подходит.Единственное возможное значение $v = 1$.Теперь найдем соответствующее значение $u$:$u = 8 + v = 8 + 1 = 9$.Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:$u = 3^x = 9 \implies 3^x = 3^2 \implies x = 2$.$v = 4^y = 1 \implies 4^y = 4^0 \implies y = 0$.Решением системы является пара чисел $(2; 0)$.
Ответ: $(2; 0)$.

б)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} 3^y + 5^{2x} = 26 \\ 5^x - 3^{0.5y} = 4 \end{cases} $$Заметим, что $3^y = 3^{2 \cdot 0.5y} = (3^{0.5y})^2$ и $5^{2x} = (5^x)^2$.Введем замену переменных: пусть $u = 5^x$ и $v = 3^{0.5y}$. Так как $u > 0$ и $v > 0$.Система уравнений в новых переменных:$$ \begin{cases} v^2 + u^2 = 26 \\ u - v = 4 \end{cases} $$Из второго уравнения выразим $u$: $u = 4 + v$.Подставим это выражение в первое уравнение:$v^2 + (4 + v)^2 = 26$$v^2 + 16 + 8v + v^2 = 26$$2v^2 + 8v + 16 - 26 = 0$$2v^2 + 8v - 10 = 0$Разделим обе части уравнения на 2:$v^2 + 4v - 5 = 0$По теореме Виета, сумма корней равна $-4$, а произведение равно $-5$. Корнями являются $v_1 = 1$ и $v_2 = -5$.Так как $v = 3^{0.5y}$, значение $v$ должно быть положительным. Поэтому корень $v_2 = -5$ не подходит.Единственное возможное значение $v = 1$.Найдем соответствующее значение $u$:$u = 4 + v = 4 + 1 = 5$.Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:$u = 5^x = 5 \implies 5^x = 5^1 \implies x = 1$.$v = 3^{0.5y} = 1 \implies 3^{0.5y} = 3^0 \implies 0.5y = 0 \implies y = 0$.Решением системы является пара чисел $(1; 0)$.
Ответ: $(1; 0)$.

в)Исходная система уравнений:$$ \begin{cases} 3^{2x} - 2^{y/2} = 25 \\ 3^{2x} - 2^y = 23 \end{cases} $$Заметим, что $2^y = 2^{2 \cdot (y/2)} = (2^{y/2})^2$.Введем замену переменных: пусть $u = 3^{2x}$ и $v = 2^{y/2}$. Так как $u > 0$ и $v > 0$.Система уравнений в новых переменных:$$ \begin{cases} u - v = 25 \\ u - v^2 = 23 \end{cases} $$Из первого уравнения выразим $u$: $u = 25 + v$.Подставим это выражение во второе уравнение:$(25 + v) - v^2 = 23$$-v^2 + v + 25 - 23 = 0$$-v^2 + v + 2 = 0$Умножим обе части на $-1$:$v^2 - v - 2 = 0$По теореме Виета, сумма корней равна $1$, а произведение равно $-2$. Корнями являются $v_1 = 2$ и $v_2 = -1$.Так как $v = 2^{y/2}$, значение $v$ должно быть положительным. Поэтому корень $v_2 = -1$ не подходит.Единственное возможное значение $v = 2$.Найдем соответствующее значение $u$:$u = 25 + v = 25 + 2 = 27$.Возвращаемся к исходным переменным $x$ и $y$:$u = 3^{2x} = 27 \implies 3^{2x} = 3^3 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2}$.$v = 2^{y/2} = 2 \implies 2^{y/2} = 2^1 \implies \frac{y}{2} = 1 \implies y = 2$.Решением системы является пара чисел $(\frac{3}{2}; 2)$.
Ответ: $(\frac{3}{2}; 2)$.