Номер 14.39, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.39, страница 354.

Условие.

14.39 а) $ \begin{cases} y^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0 \\ z^3 - 6y^2 + 12y - 8 = 0 \\ x^3 - 6z^2 + 12z - 8 = 0; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x+3)^3 = 3 - 2y \\ (\sqrt{z})^4 + 4y^2 = 8y \\ (2z - x)(x + 3) = 5x + 16. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} y^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0 \\ z^3 - 6y^2 + 12y - 8 = 0 \\ x^3 - 6z^2 + 12z - 8 = 0 \end{cases} $$

Перепишем уравнения, перенеся часть слагаемых в правую часть:

$$ \begin{cases} y^3 = 6x^2 - 12x + 8 \\ z^3 = 6y^2 - 12y + 8 \\ x^3 = 6z^2 - 12z + 8 \end{cases} $$

Правые части уравнений имеют одинаковую структуру. Введем функцию $f(t) = 6t^2 - 12t + 8$. Выделив полный квадрат, получим: $f(t) = 6(t^2 - 2t) + 8 = 6(t^2 - 2t + 1 - 1) + 8 = 6(t-1)^2 - 6 + 8 = 6(t-1)^2 + 2$.

Система принимает вид:

$$ \begin{cases} y^3 = f(x) \\ z^3 = f(y) \\ x^3 = f(z) \end{cases} $$

Поскольку $(t-1)^2 \ge 0$ для любого действительного $t$, минимальное значение функции $f(t)$ равно $f(1)=2$. Следовательно, $f(t) \ge 2$ для всех $t$. Из этого следует, что $y^3 \ge 2$, $z^3 \ge 2$, $x^3 \ge 2$. Отсюда $y \ge \sqrt[3]{2}$, $z \ge \sqrt[3]{2}$, $x \ge \sqrt[3]{2}$. Так как $\sqrt[3]{2} \approx 1.26$, то $x, y, z > 1$.

Рассмотрим поведение функций. Функция $g(t) = t^3$ является строго возрастающей на всей числовой оси. Функция $f(t) = 6(t-1)^2 + 2$ на промежутке $(1, +\infty)$ также является строго возрастающей.

Предположим, что $x > y$. Поскольку $x, y > 1$, а на этом промежутке функция $f(t)$ возрастает, то $f(x) > f(y)$. Это означает, что $y^3 > z^3$. Так как функция $t^3$ возрастающая, то $y > z$. Из $y > z$ (где $y, z > 1$) следует, что $f(y) > f(z)$, то есть $z^3 > x^3$. Отсюда $z > x$. Мы получили противоречивую цепочку неравенств: $x > y > z > x$. Следовательно, наше предположение $x > y$ неверно.

Аналогично, если предположить, что $x < y$, мы получим $f(x) < f(y) \implies y^3 < z^3 \implies y < z$. Далее, $f(y) < f(z) \implies z^3 < x^3 \implies z < x$. Это приводит к противоречию $x < y < z < x$. Следовательно, предположение $x < y$ также неверно.

Единственной оставшейся возможностью является $x = y$. Если $x = y$, то $f(x) = f(y)$, что ведет к $y^3 = z^3$, и, следовательно, $y = z$. Таким образом, мы должны иметь $x = y = z$.

Подставим $x=y=z$ в любое из уравнений системы, например, в третье:

$x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = 0$

Заметим, что левая часть является разложением куба разности: $(x-2)^3 = x^3 - 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$.

Таким образом, уравнение принимает вид $(x-2)^3 = 0$, откуда $x-2 = 0$, то есть $x=2$. Поскольку $x=y=z$, единственным решением системы является $(2, 2, 2)$.

Ответ: $(2, 2, 2)$.

б)

Рассмотрим данную систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x+3)^3 = 3 - 2y \\ (\sqrt{z})^4 + 4y^2 = 8y \\ (2z-x)(x+3) = 5x + 16 \end{cases} $$

Упростим каждое уравнение. ОДЗ: $z \ge 0$.

Второе уравнение: $(\sqrt{z})^4 = z^2$. $z^2 + 4y^2 - 8y = 0$. Выделим полный квадрат: $z^2 + (4y^2 - 8y + 4) - 4 = 0 \implies z^2 + 4(y-1)^2 = 4$. Разделив на 4, получаем $\frac{z^2}{4} + (y-1)^2 = 1$. Из этого уравнения эллипса следуют ограничения: $0 \le y \le 2$ и $0 \le z \le 2$.

Третье уравнение: $2z(x+3) - x(x+3) = 5x + 16 \implies 2z(x+3) = x^2+3x+5x+16 \implies 2z(x+3) = x^2+8x+16$. Правая часть является полным квадратом: $2z(x+3) = (x+4)^2$.

Сделаем замену $A = x+3$. Тогда $x=A-3$ и $x+4=A+1$. Система примет вид: 1) $A^3 = 3 - 2y$ 2) $\frac{z^2}{4} + (y-1)^2 = 1$ 3) $2zA = (A+1)^2$

Из уравнения (1) и ограничения $0 \le y \le 2$ найдем диапазон для $A$: $-1 = 3-2(2) \le 3-2y \le 3-2(0) = 3$. То есть $-1 \le A^3 \le 3$, откуда $-1 \le A \le \sqrt[3]{3}$.

Рассмотрим уравнение (3): $2zA = (A+1)^2$. Поскольку $z \ge 0$, левая часть $2zA$ имеет тот же знак, что и $A$. Правая часть $(A+1)^2$ всегда неотрицательна. Рассмотрим два случая.

Случай 1: $A > 0$. Из $2zA = (A+1)^2$ выразим $z$: $z = \frac{(A+1)^2}{2A}$. Так как $z \le 2$, получаем неравенство: $\frac{(A+1)^2}{2A} \le 2$. Поскольку $A>0$, умножим на $2A$: $(A+1)^2 \le 4A \implies A^2+2A+1 \le 4A \implies A^2-2A+1 \le 0 \implies (A-1)^2 \le 0$. Единственное решение этого неравенства — $(A-1)^2=0$, то есть $A=1$. Если $A=1$, то $x+3=1 \implies x=-2$. $z = \frac{(1+1)^2}{2(1)} = 2$. $1^3 = 3-2y \implies 2y=2 \implies y=1$. Получили решение $(-2, 1, 2)$. Проверим его в исходной системе: 1) $(-2+3)^3 = 1^3 = 1$; $3-2(1)=1$. Верно. 2) $(\sqrt{2})^4+4(1)^2=4+4=8$; $8(1)=8$. Верно. 3) $(2(2)-(-2))(-2+3)=(6)(1)=6$; $5(-2)+16=6$. Верно. Решение $(-2, 1, 2)$ подходит.

Случай 2: $A \le 0$. Так как $A \in [-1, \sqrt[3]{3}]$, то $A \in [-1, 0]$. Уравнение $2zA = (A+1)^2$. Левая часть $\le 0$, правая $\ge 0$. Равенство возможно только если обе части равны 0. $(A+1)^2 = 0 \implies A = -1$. $2z(-1)=0 \implies z=0$. Значит, единственная возможность в этом случае — $A=-1$ и $z=0$. Если $A=-1$, то $x+3=-1 \implies x=-4$. Из первого уравнения: $A^3=3-2y \implies (-1)^3 = 3-2y \implies -1=3-2y \implies 2y=4 \implies y=2$. Получили решение $(-4, 2, 0)$. Проверим его в исходной системе: 1) $(-4+3)^3 = (-1)^3 = -1$; $3-2(2)=-1$. Верно. 2) $(\sqrt{0})^4+4(2)^2=16$; $8(2)=16$. Верно. 3) $(2(0)-(-4))(-4+3)=(4)(-1)=-4$; $5(-4)+16=-4$. Верно. Решение $(-4, 2, 0)$ также подходит.

Ответ: $(-2, 1, 2)$, $(-4, 2, 0)$.