Номер 14.36, страница 348 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.36, страница 348.

Условие.

14.36 a) $\begin{cases} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 6 \\ x^2y + y^2x = 20; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} = 3 - \sqrt[3]{y^2}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x\sqrt{y} + y\sqrt{x} = 6 \\ x^2y + y^2x = 20 \end{cases} $$

Область допустимых значений для переменных: $x \ge 0$ и $y \ge 0$. Если $x=0$ или $y=0$, то первое уравнение принимает вид $0=6$, что неверно. Следовательно, $x > 0$ и $y > 0$.

Преобразуем уравнения, вынеся общие множители:

$$ \begin{cases} \sqrt{x}\sqrt{y}(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = 6 \\ xy(x+y) = 20 \end{cases} $$

Сделаем замену переменных. Пусть $u = \sqrt{x}$ и $v = \sqrt{y}$. Так как $x > 0$ и $y > 0$, то $u > 0$ и $v > 0$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} uv(u+v) = 6 \\ u^2v^2(u^2+v^2) = 20 \end{cases} $$

Введем еще одну замену: $S = u+v$ и $P = uv$. Учтем, что $u^2+v^2 = (u+v)^2 - 2uv = S^2 - 2P$. Система преобразуется к виду:

$$ \begin{cases} PS = 6 \\ P^2(S^2-2P) = 20 \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $S = \frac{6}{P}$ и подставим во второе уравнение:

$P^2\left(\left(\frac{6}{P}\right)^2 - 2P\right) = 20$

$P^2\left(\frac{36}{P^2} - 2P\right) = 20$

$36 - 2P^3 = 20$

$2P^3 = 16$

$P^3 = 8$

$P = 2$

Теперь найдем $S$: $S = \frac{6}{P} = \frac{6}{2} = 3$.

Возвращаемся к переменным $u$ и $v$:

$$ \begin{cases} u+v = 3 \\ uv = 2 \end{cases} $$

По теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Решая уравнение, находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 2$.

Таким образом, возможны два случая:

1. $u=1, v=2$. Тогда $x = u^2 = 1^2 = 1$ и $y = v^2 = 2^2 = 4$.

2. $u=2, v=1$. Тогда $x = u^2 = 2^2 = 4$ и $y = v^2 = 1^2 = 1$.

Проверка показывает, что обе пары решений удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(1; 4)$, $(4; 1)$.

б) Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} = 3 - \sqrt[3]{y^2} \end{cases} $$

Перенесем член $-\sqrt[3]{y^2}$ из второго уравнения в левую часть:

$$ \begin{cases} \sqrt[3]{x} + \sqrt[3]{y} = 3 \\ \sqrt[3]{x^2} - \sqrt[3]{xy} + \sqrt[3]{y^2} = 3 \end{cases} $$

Сделаем замену переменных. Пусть $a = \sqrt[3]{x}$ и $b = \sqrt[3]{y}$. Система примет вид:

$$ \begin{cases} a + b = 3 \\ a^2 - ab + b^2 = 3 \end{cases} $$

Воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим значения из нашей системы:

$a^3 + b^3 = 3 \cdot 3 = 9$.

Вернемся к переменным $x$ и $y$:

$(\sqrt[3]{x})^3 + (\sqrt[3]{y})^3 = 9$, что дает $x+y=9$.

Теперь нам нужно найти произведение $xy$. Воспользуемся формулой куба суммы: $(a+b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a+b)$.

Подставим известные значения $a+b=3$ и $a^3+b^3=9$:

$3^3 = 9 + 3ab(3)$

$27 = 9 + 9ab$

$9ab = 18$

$ab = 2$

Возвращаясь к $x$ и $y$: $\sqrt[3]{x} \cdot \sqrt[3]{y} = 2$, откуда $\sqrt[3]{xy} = 2$, и $xy = 2^3 = 8$.

Теперь у нас есть простая система для $x$ и $y$:

$$ \begin{cases} x+y = 9 \\ xy = 8 \end{cases} $$

По теореме Виета, $x$ и $y$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 9t + 8 = 0$.

Решая уравнение $(t-1)(t-8)=0$, находим корни: $t_1 = 1$, $t_2 = 8$.

Следовательно, решениями системы являются пары:

1. $x=1, y=8$.

2. $x=8, y=1$.

Проверка показывает, что обе пары удовлетворяют исходной системе.

Ответ: $(1; 8)$, $(8; 1)$.