Номер 14.40, страница 354 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.40, страница 354.

Условие.

14.40 а) $ \begin{cases} (x^2 + xy + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 185 \\ (x^2 - xy + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 65; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} (x^2 + xy + 2y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 145 \\ (2x^2 - xy + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 230; \end{cases} $

в) $ \begin{cases} (3x^2 + 2xy + y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 6\sqrt{2} \\ (x^2 - 2xy + 3y^2) \sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{2}; \end{cases} $

г) $ \begin{cases} (x + y) \sqrt{x^2 + y^2} = 221 \\ (x - y) \sqrt{x^2 + y^2} = 91. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 + xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 185 \\ (x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 65 \end{cases} $$

Поскольку $\sqrt{x^2 + y^2} > 0$ (случай $x=y=0$ не является решением), мы можем производить операции с уравнениями. Сложим два уравнения системы:

$$(x^2 + xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} + (x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 185 + 65$$

$$(2x^2 + 2y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 250$$

$$2(x^2 + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 250$$

$$(x^2 + y^2)^{3/2} = 125$$

Возведя обе части в степень 2/3, получаем:

$$x^2 + y^2 = 125^{2/3} = (5^3)^{2/3} = 5^2 = 25$$

Теперь вычтем второе уравнение из первого:

$$(x^2 + xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} - (x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 185 - 65$$

$$2xy\sqrt{x^2 + y^2} = 120$$

Подставим найденное значение $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{25} = 5$:

$$2xy \cdot 5 = 120$$

$$10xy = 120$$

$$xy = 12$$

Таким образом, исходная система свелась к системе проще:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = 12 \end{cases} $$

Из второго уравнения выразим $y = 12/x$ и подставим в первое:

$$x^2 + (\frac{12}{x})^2 = 25$$

$$x^4 - 25x^2 + 144 = 0$$

Это биквадратное уравнение. Сделаем замену $t = x^2$, где $t \ge 0$.

$$t^2 - 25t + 144 = 0$$

Корни этого квадратного уравнения: $t_1 = 9$, $t_2 = 16$.

1. Если $x^2 = 9$, то $x = \pm 3$.
При $x = 3$, $y = 12/3 = 4$.
При $x = -3$, $y = 12/(-3) = -4$.

2. Если $x^2 = 16$, то $x = \pm 4$.
При $x = 4$, $y = 12/4 = 3$.
При $x = -4$, $y = 12/(-4) = -3$.

Ответ: $(3, 4), (-3, -4), (4, 3), (-4, -3)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x^2 + xy + 2y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 145 \\ (2x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 230 \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$$(x^2 + xy + 2y^2 + 2x^2 - xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 145 + 230$$

$$(3x^2 + 3y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 375$$

$$3(x^2 + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 375$$

$$(x^2 + y^2)^{3/2} = 125$$

$$x^2 + y^2 = 125^{2/3} = 25$$

Подставим $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{25} = 5$ в первое уравнение исходной системы:

$$(x^2 + xy + 2y^2) \cdot 5 = 145$$

$$x^2 + xy + 2y^2 = 29$$

Мы знаем, что $x^2 + y^2 = 25$. Преобразуем уравнение:

$$(x^2 + y^2) + y^2 + xy = 29$$

$$25 + y^2 + xy = 29$$

$$y^2 + xy = 4$$

Аналогично, подставим $\sqrt{x^2 + y^2} = 5$ во второе уравнение:

$$(2x^2 - xy + y^2) \cdot 5 = 230$$

$$2x^2 - xy + y^2 = 46$$

$$x^2 + (x^2 + y^2) - xy = 46$$

$$x^2 + 25 - xy = 46$$

$$x^2 - xy = 21$$

Получили систему:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ x^2 - xy = 21 \end{cases} $$

Из второго уравнения $xy = x^2 - 21$. Выразим $y = \frac{x^2-21}{x}$ и подставим в первое:

$$x^2 + \left(\frac{x^2-21}{x}\right)^2 = 25$$

$$x^2 + \frac{x^4 - 42x^2 + 441}{x^2} = 25$$

$$x^4 + x^4 - 42x^2 + 441 = 25x^2$$

$$2x^4 - 67x^2 + 441 = 0$$

Сделаем замену $t = x^2$ ($t \ge 0$):

$$2t^2 - 67t + 441 = 0$$

Дискриминант $D = (-67)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 441 = 4489 - 3528 = 961 = 31^2$.

$$t = \frac{67 \pm 31}{4}$$

Корни: $t_1 = \frac{67+31}{4} = \frac{98}{4} = \frac{49}{2}$ и $t_2 = \frac{67-31}{4} = \frac{36}{4} = 9$.

1. Если $x^2 = 9$, то $x = \pm 3$.
При $x = 3$, $xy = 3^2 - 21 = -12$, тогда $y = -12/3 = -4$.
При $x = -3$, $xy = (-3)^2 - 21 = -12$, тогда $y = -12/(-3) = 4$.

2. Если $x^2 = 49/2$, то $x = \pm \frac{7}{\sqrt{2}} = \pm \frac{7\sqrt{2}}{2}$.
При $x = \frac{7\sqrt{2}}{2}$, $xy = (\frac{7\sqrt{2}}{2})^2 - 21 = \frac{49}{2} - 21 = \frac{7}{2}$, тогда $y = \frac{7/2}{7\sqrt{2}/2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.
При $x = -\frac{7\sqrt{2}}{2}$, $xy = \frac{7}{2}$, тогда $y = \frac{7/2}{-7\sqrt{2}/2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $(3, -4), (-3, 4), (\frac{7\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}), (-\frac{7\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2})$.

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (3x^2 + 2xy + y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 6\sqrt{2} \\ (x^2 - 2xy + 3y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 2\sqrt{2} \end{cases} $$

Сложим два уравнения системы:

$$(3x^2 + 2xy + y^2 + x^2 - 2xy + 3y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 6\sqrt{2} + 2\sqrt{2}$$

$$(4x^2 + 4y^2)\sqrt{x^2 + y^2} = 8\sqrt{2}$$

$$4(x^2 + y^2)^{3/2} = 8\sqrt{2}$$

$$(x^2 + y^2)^{3/2} = 2\sqrt{2} = (\sqrt{2})^3$$

$$x^2 + y^2 = 2$$

Подставим $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{2}$ в первое уравнение исходной системы:

$$(3x^2 + 2xy + y^2)\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$$

$$3x^2 + 2xy + y^2 = 6$$

Используя $x^2 + y^2 = 2$, преобразуем уравнение:

$$2x^2 + (x^2+y^2) + 2xy = 6$$

$$2x^2 + 2 + 2xy = 6$$

$$2x^2 + 2xy = 4$$

$$x^2 + xy = 2$$

Теперь решаем систему:

$$ \begin{cases} x^2 + y^2 = 2 \\ x^2 + xy = 2 \end{cases} $$

Приравнивая левые части уравнений, получаем:

$$x^2 + y^2 = x^2 + xy$$

$$y^2 = xy$$

$$y^2 - xy = 0$$

$$y(y - x) = 0$$

Это дает два случая:

1. $y = 0$. Подставляем в $x^2+y^2=2$:
$x^2 + 0^2 = 2 \implies x^2 = 2 \implies x = \pm\sqrt{2}$.
Получаем решения: $(\sqrt{2}, 0)$ и $(-\sqrt{2}, 0)$.

2. $y = x$. Подставляем в $x^2+y^2=2$:
$x^2 + x^2 = 2 \implies 2x^2 = 2 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
Если $x=1$, то $y=1$. Если $x=-1$, то $y=-1$.
Получаем решения: $(1, 1)$ и $(-1, -1)$.

Ответ: $(\sqrt{2}, 0), (-\sqrt{2}, 0), (1, 1), (-1, -1)$.

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$$ \begin{cases} (x + y)\sqrt{x^2 + y^2} = 221 \\ (x - y)\sqrt{x^2 + y^2} = 91 \end{cases} $$

Сложим и вычтем уравнения. Обозначим $A = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Сложение уравнений:

$$(x+y)A + (x-y)A = 221+91$$

$$2xA = 312 \implies xA = 156$$

$$x\sqrt{x^2 + y^2} = 156$$

Вычитание второго уравнения из первого:

$$(x+y)A - (x-y)A = 221-91$$

$$2yA = 130 \implies yA = 65$$

$$y\sqrt{x^2 + y^2} = 65$$

Мы получили новую систему:

$$ \begin{cases} x\sqrt{x^2 + y^2} = 156 \\ y\sqrt{x^2 + y^2} = 65 \end{cases} $$

Возведем оба уравнения в квадрат:

$$ \begin{cases} x^2(x^2 + y^2) = 156^2 \\ y^2(x^2 + y^2) = 65^2 \end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$$x^2(x^2 + y^2) + y^2(x^2 + y^2) = 156^2 + 65^2$$

$$(x^2 + y^2)(x^2 + y^2) = (12 \cdot 13)^2 + (5 \cdot 13)^2$$

$$(x^2 + y^2)^2 = 144 \cdot 169 + 25 \cdot 169$$

$$(x^2 + y^2)^2 = (144+25) \cdot 169 = 169 \cdot 169 = 169^2$$

Так как $x^2 + y^2 \ge 0$, то $x^2 + y^2 = 169$.

Отсюда $\sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{169} = 13$.

Подставим это значение обратно в систему $x\sqrt{x^2 + y^2} = 156$ и $y\sqrt{x^2 + y^2} = 65$:

$$x \cdot 13 = 156 \implies x = \frac{156}{13} = 12$$

$$y \cdot 13 = 65 \implies y = \frac{65}{13} = 5$$

Проверка показывает, что $x=12, y=5$ удовлетворяет исходной системе.

Ответ: $(12, 5)$.