Номер 14.33, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.33, страница 347.

Условие.

14.33 a) $\begin{cases}\sqrt{2y} + \sqrt{12} \operatorname{ctg} x = 4 \\\sqrt{8y} - \sqrt{27} \operatorname{ctg} x = 1;\end{cases}$

б) $\begin{cases}\sqrt{3x} + \sqrt{12} \operatorname{tg} y = 9 \\\sqrt{27x} - \frac{1}{\sqrt{3}} \operatorname{tg} y = 8.\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{2}y + \sqrt{12}\operatorname{ctg}x = 4 \\ \sqrt{8}y - \sqrt{27}\operatorname{ctg}x = 1 \end{cases} $$

Вначале упростим иррациональные коэффициенты в системе: $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$, $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2\sqrt{2}$ и $\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3\sqrt{3}$. После подстановки система примет вид: $$ \begin{cases} \sqrt{2}y + 2\sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 4 \\ 2\sqrt{2}y - 3\sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 1 \end{cases} $$

Получили линейную систему относительно переменных $y$ и $\operatorname{ctg}x$. Для ее решения воспользуемся методом алгебраического сложения. Умножим обе части первого уравнения на $2$: $$ 2(\sqrt{2}y + 2\sqrt{3}\operatorname{ctg}x) = 2 \cdot 4 $$ $$ 2\sqrt{2}y + 4\sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 8 $$

Теперь вычтем из полученного уравнения второе уравнение системы: $$ (2\sqrt{2}y + 4\sqrt{3}\operatorname{ctg}x) - (2\sqrt{2}y - 3\sqrt{3}\operatorname{ctg}x) = 8 - 1 $$ $$ 2\sqrt{2}y - 2\sqrt{2}y + 4\sqrt{3}\operatorname{ctg}x + 3\sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 7 $$ $$ 7\sqrt{3}\operatorname{ctg}x = 7 $$ $$ \operatorname{ctg}x = \frac{7}{7\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} $$

Из уравнения $\operatorname{ctg}x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ находим $x$: $$ x = \operatorname{arcctg}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$ $$ x = \frac{\pi}{3} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} $$

Подставим значение $\operatorname{ctg}x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ в первое уравнение исходной системы для нахождения $y$: $$ \sqrt{2}y + 2\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 4 $$ $$ \sqrt{2}y + 2 = 4 $$ $$ \sqrt{2}y = 2 $$ $$ y = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} $$

Ответ: $x = \frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $y = \sqrt{2}$.

б)

Данная система уравнений: $$ \begin{cases} \sqrt{3}x + \sqrt{12}\operatorname{tg}y = 9 \\ \sqrt{27}x - \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{tg}y = 8 \end{cases} $$

Упростим коэффициенты: $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ и $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$. Система примет вид: $$ \begin{cases} \sqrt{3}x + 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y = 9 \\ 3\sqrt{3}x - \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{tg}y = 8 \end{cases} $$

Это линейная система относительно $x$ и $\operatorname{tg}y$. Решим ее методом сложения. Чтобы исключить $\operatorname{tg}y$, умножим второе уравнение на $6$: $$ 6\left(3\sqrt{3}x - \frac{1}{\sqrt{3}}\operatorname{tg}y\right) = 6 \cdot 8 $$ $$ 18\sqrt{3}x - \frac{6}{\sqrt{3}}\operatorname{tg}y = 48 $$ $$ 18\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y = 48 $$

Теперь сложим полученное уравнение с первым уравнением системы: $$ (\sqrt{3}x + 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y) + (18\sqrt{3}x - 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y) = 9 + 48 $$ $$ 19\sqrt{3}x = 57 $$ $$ x = \frac{57}{19\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

Подставим найденное значение $x = \sqrt{3}$ в первое уравнение системы, чтобы найти $\operatorname{tg}y$: $$ \sqrt{3}(\sqrt{3}) + 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y = 9 $$ $$ 3 + 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y = 9 $$ $$ 2\sqrt{3}\operatorname{tg}y = 6 $$ $$ \operatorname{tg}y = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} $$

Из уравнения $\operatorname{tg}y = \sqrt{3}$ находим $y$: $$ y = \operatorname{arctg}(\sqrt{3}) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$ $$ y = \frac{\pi}{3} + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $$

Ответ: $x = \sqrt{3}$; $y = \frac{\pi}{3} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.