Номер 14.26, страница 344 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

14.26* a) $\begin{cases} 3^{1 + \log_3 (x - 2y)} = 9 \\ \log_3 (x - 2y) + \log_3 (x + 2y) = 1 + 2 \log_3 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 5^{1 + \log_5 (2x + y)} = 25 \\ \log_5 (2x - y) + \log_5 (2x + y) = 1 + 2 \log_5 3. \end{cases}$

Для решения систем логарифмических уравнений сначала необходимо определить область допустимых значений (ОДЗ), а затем упростить уравнения, используя свойства степеней и логарифмов.

а) Решение первой системы:

$$\begin{cases} 3^{1 + \log_3 (x - 2y)} = 9 \\ \log_3 (x - 2y) + \log_3 (x + 2y) = 1 + 2 \log_3 5 \end{cases}$$

1. ОДЗ: $x - 2y > 0$ и $x + 2y > 0$.

2. Упростим первое уравнение:
$3^{1 + \log_3 (x - 2y)} = 3^2$
$1 + \log_3 (x - 2y) = 2 \Rightarrow \log_3 (x - 2y) = 1 \Rightarrow x - 2y = 3^1 = 3$.

3. Упростим второе уравнение:
Используем сумму логарифмов и свойства коэффициента: $\log_3 ((x - 2y)(x + 2y)) = \log_3 3 + \log_3 5^2$
$\log_3 (x^2 - 4y^2) = \log_3 (3 \cdot 25) \Rightarrow x^2 - 4y^2 = 75$.

4. Решим полученную систему:
$\begin{cases} x - 2y = 3 \\ (x - 2y)(x + 2y) = 75 \end{cases}$
Подставим первое во второе: $3(x + 2y) = 75 \Rightarrow x + 2y = 25$.
Теперь сложим и вычтем уравнения:
$(x - 2y) + (x + 2y) = 3 + 25 \Rightarrow 2x = 28 \Rightarrow x = 14$.
$(x + 2y) - (x - 2y) = 25 - 3 \Rightarrow 4y = 22 \Rightarrow y = 5,5$.

Проверка ОДЗ: $14 - 11 = 3 > 0$ и $14 + 11 = 25 > 0$ — верно.

Ответ: $(14; 5,5)$

б) Решение второй системы:

$$\begin{cases} 5^{1 + \log_5 (2x + y)} = 25 \\ \log_5 (2x - y) + \log_5 (2x + y) = 1 + 2 \log_5 3 \end{cases}$$

1. ОДЗ: $2x + y > 0$ и $2x - y > 0$.

2. Упростим первое уравнение:
$5^{1 + \log_5 (2x + y)} = 5^2 \Rightarrow 1 + \log_5 (2x + y) = 2$
$\log_5 (2x + y) = 1 \Rightarrow 2x + y = 5$.

3. Упростим второе уравнение:
$\log_5 ((2x - y)(2x + y)) = \log_5 5 + \log_5 3^2$
$\log_5 (4x^2 - y^2) = \log_5 (5 \cdot 9) \Rightarrow 4x^2 - y^2 = 45$.

4. Решим полученную систему:
$\begin{cases} 2x + y = 5 \\ (2x + y)(2x - y) = 45 \end{cases}$
Подставим $5$ во второе уравнение: $5(2x - y) = 45 \Rightarrow 2x - y = 9$.
Сложим уравнения: $4x = 14 \Rightarrow x = 3,5$.
Вычтем из первого второе: $2y = -4 \Rightarrow y = -2$.

Проверка ОДЗ: $2(3,5) + (-2) = 5 > 0$ и $2(3,5) - (-2) = 9 > 0$ — верно.

Ответ: $(3,5; -2)$