Номер 14.22, страница 343 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.22, страница 343.

Условие.

14.22* a) $\begin{cases} \sqrt{y+7x} + \sqrt{y+2x} = 5 \\ \sqrt{y+2x} - \sqrt{y+x} = 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{7x+y} + \sqrt{y+x} = 6 \\ \sqrt{y+x} - y + x = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{2y-x} + x + y = 3 \\ \sqrt{5y-x} + x = 3; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{3y-x} + x + y = 2 \\ \sqrt{8y-x} + x = 2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{y+7x} + \sqrt{y+2x} = 5 \\ \sqrt{y+2x} - y + x = 1 \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ): $y+7x \ge 0$ и $y+2x \ge 0$. Введем замену переменных. Пусть $a = \sqrt{y+7x}$ и $b = \sqrt{y+2x}$, где $a \ge 0, b \ge 0$. Тогда первое уравнение системы примет вид:

$a + b = 5$

Теперь выразим $x$ и $y$ через $a$ и $b$. Возведем в квадрат выражения для $a$ и $b$:

$a^2 = y+7x$
$b^2 = y+2x$

Вычтем второе уравнение из первого:

$a^2 - b^2 = (y+7x) - (y+2x) = 5x$

С другой стороны, $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Так как $a+b=5$, получаем:

$5(a-b) = 5x \implies x = a-b$

Теперь выразим $y$. Из $b^2 = y+2x$ следует $y = b^2 - 2x$. Подставим выражение для $x$:

$y = b^2 - 2(a-b) = b^2 - 2a + 2b$

Подставим полученные выражения для $x$ и $y$ во второе уравнение исходной системы:

$b - (b^2 - 2a + 2b) + (a-b) = 1$

$b - b^2 + 2a - 2b + a - b = 1$

$3a - b^2 - 2b = 1$

Из $a+b=5$ выразим $a = 5-b$ и подставим в полученное уравнение:

$3(5-b) - b^2 - 2b = 1$

$15 - 3b - b^2 - 2b = 1$

$-b^2 - 5b + 14 = 0$

$b^2 + 5b - 14 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $b$. По теореме Виета корни $b_1 = 2$ и $b_2 = -7$. Так как $b = \sqrt{y+2x} \ge 0$, нам подходит только корень $b=2$. Тогда $a = 5 - b = 5 - 2 = 3$. Теперь найдем $x$ и $y$:

$x = a - b = 3 - 2 = 1$

$y = b^2 - 2x = 2^2 - 2(1) = 4 - 2 = 2$

Получили решение $(1, 2)$. Проверим его, подставив в исходную систему. Проверка ОДЗ: $y+7x = 2+7(1)=9 \ge 0$, $y+2x = 2+2(1)=4 \ge 0$. Условия выполнены.

1) $\sqrt{2+7(1)} + \sqrt{2+2(1)} = \sqrt{9} + \sqrt{4} = 3 + 2 = 5$. (Верно)

2) $\sqrt{2+2(1)} - 2 + 1 = \sqrt{4} - 1 = 2 - 1 = 1$. (Верно)

Ответ: $(1, 2)$

---

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{7x+y} + \sqrt{y+x} = 6 \\ \sqrt{y+x-y+x} = 2 \end{cases} $

Упростим второе уравнение:

$\sqrt{2x} = 2$

Из этого уравнения следует, что $2x \ge 0$, то есть $x \ge 0$. Возведем обе части в квадрат:

$2x=4 \implies x=2$

Подставим значение $x=2$ в первое уравнение системы:

$\sqrt{7(2)+y} + \sqrt{y+2} = 6$

$\sqrt{14+y} + \sqrt{y+2} = 6$

ОДЗ для этого уравнения: $14+y \ge 0 \implies y \ge -14$ и $y+2 \ge 0 \implies y \ge -2$. Следовательно, $y \ge -2$. Уединим один из корней:

$\sqrt{14+y} = 6 - \sqrt{y+2}$

Правая часть должна быть неотрицательной: $6 - \sqrt{y+2} \ge 0 \implies \sqrt{y+2} \le 6 \implies y+2 \le 36 \implies y \le 34$. Возведем обе части в квадрат:

$14+y = (6 - \sqrt{y+2})^2$

$14+y = 36 - 12\sqrt{y+2} + (y+2)$

$14+y = 38 + y - 12\sqrt{y+2}$

$12\sqrt{y+2} = 38 - 14$

$12\sqrt{y+2} = 24$

$\sqrt{y+2} = 2$

Возведем в квадрат еще раз:

$y+2=4 \implies y=2$

Значение $y=2$ удовлетворяет условиям $y \ge -2$ и $y \le 34$. Получили решение $(2, 2)$. Проверим его, подставив в исходную систему.

1) $\sqrt{7(2)+2} + \sqrt{2+2} = \sqrt{16} + \sqrt{4} = 4+2=6$. (Верно)

2) $\sqrt{2+2-2+2} = \sqrt{4} = 2$. (Верно)

Ответ: $(2, 2)$

---

в)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{2y-x} + x+y = 3 \\ \sqrt{5y-x} + x = 3 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим корень:

$\sqrt{5y-x} = 3-x$

Отсюда следуют условия: $5y-x \ge 0$ и $3-x \ge 0 \implies x \le 3$. Возведем в квадрат: $5y-x = (3-x)^2 = 9 - 6x + x^2$. Выразим $y$: $5y = x^2-5x+9 \implies y = \frac{x^2-5x+9}{5}$.

Из первого уравнения также выразим корень:

$\sqrt{2y-x} = 3-x-y$

Условия: $2y-x \ge 0$ и $3-x-y \ge 0$. Подставим выражение для $y$ в обе части этого уравнения.

$2y-x = 2\left(\frac{x^2-5x+9}{5}\right) - x = \frac{2x^2-10x+18-5x}{5} = \frac{2x^2-15x+18}{5}$

$3-x-y = 3-x-\left(\frac{x^2-5x+9}{5}\right) = \frac{15-5x-(x^2-5x+9)}{5} = \frac{6-x^2}{5}$

Получаем уравнение: $\sqrt{\frac{2x^2-15x+18}{5}} = \frac{6-x^2}{5}$. Возведем в квадрат: $\frac{2x^2-15x+18}{5} = \frac{(6-x^2)^2}{25}$.

$5(2x^2-15x+18) = x^4 - 12x^2 + 36$

$10x^2-75x+90 = x^4-12x^2+36$

$x^4 - 22x^2 + 75x - 54 = 0$

Подбором находим целочисленные корни среди делителей числа -54. Корень $x=1$ подходит: $1-22+75-54=0$. Разделив многочлен на $(x-1)$, получим $x^3+x^2-21x+54=0$. Ошибка в устном делении. Выполним деление $x^4 - 22x^2 + 75x - 54$ на $(x-1)$. $(x-1)(x^3+x^2-21x+54) = x^4+x^3-21x^2+54x -x^3-x^2+21x-54 = x^4 - 22x^2 + 75x - 54$. Попробуем найти корень $x=-6$: $(-6)^4 - 22(-6)^2 + 75(-6) - 54 = 1296 - 792 - 450 - 54 = 0$. Значит, многочлен делится на $(x-1)(x+6)=x^2+5x-6$. $(x^2+5x-6)(x^2-5x+9) = x^4 - 22x^2 + 75x - 54$. Уравнение $x^2-5x+9=0$ не имеет действительных корней, так как дискриминант $D = 25-36=-11 < 0$. Следовательно, действительные корни уравнения: $x_1=1$, $x_2=-6$.

Проверим корни по условиям. $x \le 3$: оба корня подходят. $3-x-y \ge 0 \implies \frac{6-x^2}{5} \ge 0 \implies 6-x^2 \ge 0 \implies x^2 \le 6 \implies -\sqrt{6} \le x \le \sqrt{6}$. $x=1$ удовлетворяет этому условию. $x=-6$ не удовлетворяет, так как $(-6)^2=36 > 6$. Значит, $x=-6$ — посторонний корень. Единственное решение $x=1$.

Найдем $y$: $y = \frac{1^2-5(1)+9}{5} = \frac{5}{5} = 1$. Проверим решение $(1,1)$:

1) $\sqrt{2(1)-1} + 1+1 = \sqrt{1}+2=3$. (Верно)

2) $\sqrt{5(1)-1} + 1 = \sqrt{4}+1=3$. (Верно)

Ответ: $(1, 1)$

---

г)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{3y-x} + x+y = 2 \\ \sqrt{8y-x} + x = 2 \end{cases} $

Система аналогична предыдущей. Из второго уравнения:

$\sqrt{8y-x} = 2-x$

Условия: $8y-x \ge 0$ и $2-x \ge 0 \implies x \le 2$. Возводим в квадрат: $8y-x = (2-x)^2 = 4-4x+x^2$. Отсюда $8y = x^2-3x+4 \implies y = \frac{x^2-3x+4}{8}$.

Из первого уравнения:

$\sqrt{3y-x} = 2-x-y$

Условия: $3y-x \ge 0$ и $2-x-y \ge 0$. Подставляем $y$:

$3y-x = 3\left(\frac{x^2-3x+4}{8}\right)-x = \frac{3x^2-9x+12-8x}{8} = \frac{3x^2-17x+12}{8}$

$2-x-y = 2-x-\left(\frac{x^2-3x+4}{8}\right) = \frac{16-8x-(x^2-3x+4)}{8} = \frac{-x^2-5x+12}{8}$

Получаем уравнение: $\sqrt{\frac{3x^2-17x+12}{8}} = \frac{-x^2-5x+12}{8}$. Возводим в квадрат: $8(3x^2-17x+12) = (-x^2-5x+12)^2$.

$24x^2 - 136x + 96 = (x^2+5x-12)^2 = x^4+10x^3+x^2-120x+144$

$x^4 + 10x^3 - 23x^2 + 16x + 48 = 0$

Подбором находим корень $x=-1$: $1-10-23-16+48=0$. Другой корень $x=-12$: $(-12)^4+10(-12)^3-23(-12)^2+16(-12)+48=1728-17280... \neq 0$. Повторим вычисления: $x=-12$ является корнем кубического множителя $x^3+9x^2-32x+48$ из предыдущего анализа. Проверим $P(-12)$: $P(-12)=(-12+1)((-12)^3+9(-12)^2-32(-12)+48) = (-11)(-1728+1296+384+48) = (-11)(0) = 0$. Итак, корни $x=-1$ и $x=-12$. Факторизация: $(x+1)(x+12)(x^2-3x+4)=0$. Уравнение $x^2-3x+4=0$ не имеет действительных корней ($D=9-16<0$).

Проверим корни по условиям: $x \le 2$: оба корня подходят. $2-x-y \ge 0 \implies \frac{-x^2-5x+12}{8} \ge 0 \implies x^2+5x-12 \le 0$. Корни $x^2+5x-12=0$ равны $x = \frac{-5 \pm \sqrt{73}}{2}$. Значит, $\frac{-5-\sqrt{73}}{2} \le x \le \frac{-5+\sqrt{73}}{2}$, что примерно равно $[-6.77, 1.77]$. $x=-1$ удовлетворяет этому условию. $x=-12$ не удовлетворяет, так как $-12 < -6.77$. Следовательно, $x=-12$ — посторонний корень. Единственное решение $x=-1$.

Найдем $y$: $y = \frac{(-1)^2-3(-1)+4}{8} = \frac{1+3+4}{8} = 1$. Проверим решение $(-1,1)$:

1) $\sqrt{3(1)-(-1)} + (-1)+1 = \sqrt{4}+0=2$. (Верно)

2) $\sqrt{8(1)-(-1)} + (-1) = \sqrt{9}-1=2$. (Верно)

Ответ: $(-1, 1)$