Номер 14.20, страница 343 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.20, страница 343.

Условие.

Решите систему уравнений (14.20—14.26):

14.20 a) $\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 13 + (2 - \sqrt{x})^2 \end{cases}$

б) $\begin{cases} x + y = 3 \\ 3x^2 - 6\sqrt{x} + x = y^2 + 2 + (3 - \sqrt{x})^2 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + y = 4 \\ \lg (3x + y) + 2x^2 + 7 = (y - 2)^2 + \lg (3x + y) \end{cases}$

г) $\begin{cases} x + y = 5 \\ \sqrt{x + 3y} + x^2 - 40 = (2y + 1)^2 + \sqrt{x + 3y} \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = 2 \\2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 13 + (2 - \sqrt{x})^2\end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2 - x$.

Рассмотрим второе уравнение. Упростим его, раскрыв скобку в правой части:

$(2 - \sqrt{x})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 4 - 4\sqrt{x} + x$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 13 + (4 - 4\sqrt{x} + x)$

$2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 17 - 4\sqrt{x} + x$

Сократим одинаковые слагаемые $(-4\sqrt{x} + x)$ в обеих частях уравнения:

$2x^2 = y^2 + 17$

Теперь подставим выражение $y = 2 - x$ из первого уравнения в полученное:

$2x^2 = (2 - x)^2 + 17$

$2x^2 = 4 - 4x + x^2 + 17$

Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:

$2x^2 - x^2 + 4x - 21 = 0$

$x^2 + 4x - 21 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = -7$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.

Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 < 0$, и является посторонним.

Следовательно, единственное решение для $x$ это $x=3$.

Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 2 - x = 2 - 3 = -1$.

Таким образом, решение системы — пара чисел $(3, -1)$.

Ответ: $(3, -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = 3 \\3x^2 - 6\sqrt{x} + x = y^2 + 2 + (3 - \sqrt{x})^2\end{cases}$

ОДЗ: $x \ge 0$ из-за наличия $\sqrt{x}$.

Из первого уравнения выразим $y$: $y = 3 - x$.

Упростим второе уравнение. Раскроем скобку:

$(3 - \sqrt{x})^2 = 9 - 6\sqrt{x} + x$.

Подставим во второе уравнение:

$3x^2 - 6\sqrt{x} + x = y^2 + 2 + 9 - 6\sqrt{x} + x$

Сократим одинаковые члены $(-6\sqrt{x} + x)$:

$3x^2 = y^2 + 11$

Подставим $y = 3 - x$ в это уравнение:

$3x^2 = (3 - x)^2 + 11$

$3x^2 = 9 - 6x + x^2 + 11$

$2x^2 + 6x - 20 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$x^2 + 3x - 10 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -5$.

Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию.

Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию и является посторонним.

Итак, $x = 2$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 3 - x = 3 - 2 = 1$.

Решение системы: $(2, 1)$.

Ответ: $(2, 1)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = 4 \\\lg(3x + y) + 2x^2 + 7 = (y - 2)^2 + \lg(3x + y)\end{cases}$

ОДЗ: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $3x + y > 0$.

Из первого уравнения выразим $y = 4 - x$ и подставим в условие ОДЗ:

$3x + (4 - x) > 0 \implies 2x + 4 > 0 \implies 2x > -4 \implies x > -2$.

Во втором уравнении сократим одинаковые слагаемые $\lg(3x + y)$ в обеих частях:

$2x^2 + 7 = (y - 2)^2$

Подставим $y = 4 - x$ в полученное уравнение:

$2x^2 + 7 = ((4 - x) - 2)^2$

$2x^2 + 7 = (2 - x)^2$

$2x^2 + 7 = 4 - 4x + x^2$

$x^2 + 4x + 3 = 0$

Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

Проверим корни по ОДЗ ($x > -2$).

Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию $(-1 > -2)$.

Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $(-3 < -2)$ и является посторонним.

Следовательно, $x = -1$. Найдем $y$:

$y = 4 - x = 4 - (-1) = 5$.

Решение системы: $(-1, 5)$.

Ответ: $(-1, 5)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + y = 5 \\\sqrt{x + 3y} + x^2 - 40 = (2y + 1)^2 + \sqrt{x + 3y}\end{cases}$

ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 3y \ge 0$.

Из первого уравнения выразим $x = 5 - y$. Подставим в ОДЗ:

$(5 - y) + 3y \ge 0 \implies 5 + 2y \ge 0 \implies 2y \ge -5 \implies y \ge -2.5$.

Упростим второе уравнение, сократив $\sqrt{x + 3y}$:

$x^2 - 40 = (2y + 1)^2$

Подставим $x = 5 - y$ в это уравнение:

$(5 - y)^2 - 40 = (2y + 1)^2$

$25 - 10y + y^2 - 40 = 4y^2 + 4y + 1$

$y^2 - 10y - 15 = 4y^2 + 4y + 1$

Перенесем все члены в одну сторону:

$0 = 3y^2 + 14y + 16$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$

$y_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm 2}{6}$

Получаем два корня:

$y_1 = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2$

$y_2 = \frac{-14 - 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \approx -2.67$

Проверим корни по ОДЗ ($y \ge -2.5$).

Корень $y_1 = -2$ удовлетворяет условию $(-2 \ge -2.5)$.

Корень $y_2 = -8/3$ не удовлетворяет условию $(-8/3 < -2.5)$, значит, это посторонний корень.

Таким образом, единственное значение для $y$ это $y = -2$.

Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 5 - y = 5 - (-2) = 7$.

Решение системы: $(7, -2)$.

Ответ: $(7, -2)$.