Номер 14.20, страница 343 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.20, страница 343.
№14.20 (с. 343)
Условие. №14.20 (с. 343)
скриншот условия

Решите систему уравнений (14.20—14.26):
14.20 a) $\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 13 + (2 - \sqrt{x})^2 \end{cases}$
б) $\begin{cases} x + y = 3 \\ 3x^2 - 6\sqrt{x} + x = y^2 + 2 + (3 - \sqrt{x})^2 \end{cases}$
в) $\begin{cases} x + y = 4 \\ \lg (3x + y) + 2x^2 + 7 = (y - 2)^2 + \lg (3x + y) \end{cases}$
г) $\begin{cases} x + y = 5 \\ \sqrt{x + 3y} + x^2 - 40 = (2y + 1)^2 + \sqrt{x + 3y} \end{cases}$
Решение 1. №14.20 (с. 343)




Решение 2. №14.20 (с. 343)



Решение 4. №14.20 (с. 343)
а)
Дана система уравнений:
$\begin{cases}x + y = 2 \\2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 13 + (2 - \sqrt{x})^2\end{cases}$
Область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$ определяется наличием квадратного корня: $x \ge 0$.
Из первого уравнения выразим $y$: $y = 2 - x$.
Рассмотрим второе уравнение. Упростим его, раскрыв скобку в правой части:
$(2 - \sqrt{x})^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x} + (\sqrt{x})^2 = 4 - 4\sqrt{x} + x$.
Подставим это выражение во второе уравнение:
$2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 13 + (4 - 4\sqrt{x} + x)$
$2x^2 - 4\sqrt{x} + x = y^2 + 17 - 4\sqrt{x} + x$
Сократим одинаковые слагаемые $(-4\sqrt{x} + x)$ в обеих частях уравнения:
$2x^2 = y^2 + 17$
Теперь подставим выражение $y = 2 - x$ из первого уравнения в полученное:
$2x^2 = (2 - x)^2 + 17$
$2x^2 = 4 - 4x + x^2 + 17$
Перенесем все члены в левую часть и приведем подобные:
$2x^2 - x^2 + 4x - 21 = 0$
$x^2 + 4x - 21 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Корни можно найти по теореме Виета: $x_1 = 3$, $x_2 = -7$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию $3 \ge 0$.
Корень $x_2 = -7$ не удовлетворяет условию, так как $-7 < 0$, и является посторонним.
Следовательно, единственное решение для $x$ это $x=3$.
Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 2 - x = 2 - 3 = -1$.
Таким образом, решение системы — пара чисел $(3, -1)$.
Ответ: $(3, -1)$.
б)
Дана система уравнений:
$\begin{cases}x + y = 3 \\3x^2 - 6\sqrt{x} + x = y^2 + 2 + (3 - \sqrt{x})^2\end{cases}$
ОДЗ: $x \ge 0$ из-за наличия $\sqrt{x}$.
Из первого уравнения выразим $y$: $y = 3 - x$.
Упростим второе уравнение. Раскроем скобку:
$(3 - \sqrt{x})^2 = 9 - 6\sqrt{x} + x$.
Подставим во второе уравнение:
$3x^2 - 6\sqrt{x} + x = y^2 + 2 + 9 - 6\sqrt{x} + x$
Сократим одинаковые члены $(-6\sqrt{x} + x)$:
$3x^2 = y^2 + 11$
Подставим $y = 3 - x$ в это уравнение:
$3x^2 = (3 - x)^2 + 11$
$3x^2 = 9 - 6x + x^2 + 11$
$2x^2 + 6x - 20 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения:
$x^2 + 3x - 10 = 0$
Найдем корни этого квадратного уравнения, например, по теореме Виета: $x_1 = 2$, $x_2 = -5$.
Проверим корни по ОДЗ ($x \ge 0$).
Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет условию.
Корень $x_2 = -5$ не удовлетворяет условию и является посторонним.
Итак, $x = 2$. Найдем соответствующее значение $y$:
$y = 3 - x = 3 - 2 = 1$.
Решение системы: $(2, 1)$.
Ответ: $(2, 1)$.
в)
Дана система уравнений:
$\begin{cases}x + y = 4 \\\lg(3x + y) + 2x^2 + 7 = (y - 2)^2 + \lg(3x + y)\end{cases}$
ОДЗ: выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $3x + y > 0$.
Из первого уравнения выразим $y = 4 - x$ и подставим в условие ОДЗ:
$3x + (4 - x) > 0 \implies 2x + 4 > 0 \implies 2x > -4 \implies x > -2$.
Во втором уравнении сократим одинаковые слагаемые $\lg(3x + y)$ в обеих частях:
$2x^2 + 7 = (y - 2)^2$
Подставим $y = 4 - x$ в полученное уравнение:
$2x^2 + 7 = ((4 - x) - 2)^2$
$2x^2 + 7 = (2 - x)^2$
$2x^2 + 7 = 4 - 4x + x^2$
$x^2 + 4x + 3 = 0$
Корни этого квадратного уравнения: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.
Проверим корни по ОДЗ ($x > -2$).
Корень $x_1 = -1$ удовлетворяет условию $(-1 > -2)$.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $(-3 < -2)$ и является посторонним.
Следовательно, $x = -1$. Найдем $y$:
$y = 4 - x = 4 - (-1) = 5$.
Решение системы: $(-1, 5)$.
Ответ: $(-1, 5)$.
г)
Дана система уравнений:
$\begin{cases}x + y = 5 \\\sqrt{x + 3y} + x^2 - 40 = (2y + 1)^2 + \sqrt{x + 3y}\end{cases}$
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x + 3y \ge 0$.
Из первого уравнения выразим $x = 5 - y$. Подставим в ОДЗ:
$(5 - y) + 3y \ge 0 \implies 5 + 2y \ge 0 \implies 2y \ge -5 \implies y \ge -2.5$.
Упростим второе уравнение, сократив $\sqrt{x + 3y}$:
$x^2 - 40 = (2y + 1)^2$
Подставим $x = 5 - y$ в это уравнение:
$(5 - y)^2 - 40 = (2y + 1)^2$
$25 - 10y + y^2 - 40 = 4y^2 + 4y + 1$
$y^2 - 10y - 15 = 4y^2 + 4y + 1$
Перенесем все члены в одну сторону:
$0 = 3y^2 + 14y + 16$
Решим это квадратное уравнение относительно $y$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 - 192 = 4$
$y_{1,2} = \frac{-14 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{-14 \pm 2}{6}$
Получаем два корня:
$y_1 = \frac{-14 + 2}{6} = \frac{-12}{6} = -2$
$y_2 = \frac{-14 - 2}{6} = \frac{-16}{6} = -\frac{8}{3} \approx -2.67$
Проверим корни по ОДЗ ($y \ge -2.5$).
Корень $y_1 = -2$ удовлетворяет условию $(-2 \ge -2.5)$.
Корень $y_2 = -8/3$ не удовлетворяет условию $(-8/3 < -2.5)$, значит, это посторонний корень.
Таким образом, единственное значение для $y$ это $y = -2$.
Найдем соответствующее значение $x$:
$x = 5 - y = 5 - (-2) = 7$.
Решение системы: $(7, -2)$.
Ответ: $(7, -2)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.20 расположенного на странице 343 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.20 (с. 343), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.