Номер 14.23, страница 343 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.23, страница 343.

Условие.

14.23 a) $\begin{cases} \log_3 xy = \log_3 \frac{x}{y} \\ x^2 - 3xy = y^2 - 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \log_4 xy = \log_4 \frac{x}{y} \\ x^2 - 3y = y^2 - 3x; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \log_5 x^2y = \log_5 \frac{y}{x^2} \\ x^2 + xy = y^2 - 19; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \log_6 xy^3 = \log_6 \frac{x}{y} \\ 4x^2 - 1 = 2xy + y^2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_3{xy} = \log_3{\frac{x}{y}} \\ x^2 - 3xy = y^2 - 1 \end{cases} $$ Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $xy > 0$ и $\frac{x}{y} > 0$. Оба условия выполняются, когда $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки, то есть ($x > 0$ и $y > 0$) или ($x < 0$ и $y < 0$).

Рассмотрим первое уравнение: $\log_3{xy} = \log_3{\frac{x}{y}}$. Поскольку логарифмическая функция является монотонной, мы можем приравнять аргументы: $xy = \frac{x}{y}$. Так как из ОДЗ следует, что $y \ne 0$, умножим обе части на $y$: $xy^2 = x$. Перенесем все в левую часть: $xy^2 - x = 0$, $x(y^2 - 1) = 0$. Из ОДЗ $x \ne 0$, следовательно, $y^2 - 1 = 0$. Отсюда $y^2 = 1$, что дает два возможных значения: $y = 1$ или $y = -1$.

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $y = 1$. Согласно ОДЗ, если $y > 0$, то и $x > 0$. Подставим $y = 1$ во второе уравнение системы: $x^2 - 3x(1) = 1^2 - 1$ $x^2 - 3x = 0$ $x(x - 3) = 0$. Получаем $x = 0$ или $x = 3$. Значение $x = 0$ не удовлетворяет ОДЗ. Остается $x = 3$. Проверим пару $(3, 1)$. ОДЗ: $3 > 0, 1 > 0$. Удовлетворяет. Подставим в исходную систему: $\log_3(3 \cdot 1) = \log_3(\frac{3}{1}) \implies \log_3 3 = \log_3 3$ (верно). $3^2 - 3(3)(1) = 1^2 - 1 \implies 9 - 9 = 1 - 1 \implies 0 = 0$ (верно). Следовательно, $(3, 1)$ является решением.

Случай 2: $y = -1$. Согласно ОДЗ, если $y < 0$, то и $x < 0$. Подставим $y = -1$ во второе уравнение системы: $x^2 - 3x(-1) = (-1)^2 - 1$ $x^2 + 3x = 1 - 1$ $x^2 + 3x = 0$ $x(x + 3) = 0$. Получаем $x = 0$ или $x = -3$. Значение $x = 0$ не удовлетворяет ОДЗ. Остается $x = -3$. Проверим пару $(-3, -1)$. ОДЗ: $-3 < 0, -1 < 0$. Удовлетворяет. Подставим в исходную систему: $\log_3((-3)(-1)) = \log_3(\frac{-3}{-1}) \implies \log_3 3 = \log_3 3$ (верно). $(-3)^2 - 3(-3)(-1) = (-1)^2 - 1 \implies 9 - 9 = 1 - 1 \implies 0 = 0$ (верно). Следовательно, $(-3, -1)$ является решением.

Ответ: $(3, 1)$, $(-3, -1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_4{xy} = \log_4{\frac{x}{y}} \\ x^2 - 3y = y^2 - 3x \end{cases} $$ ОДЗ: $xy > 0$ и $\frac{x}{y} > 0$, что означает, что $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки и не равны нулю.

Из первого уравнения $\log_4{xy} = \log_4{\frac{x}{y}}$ следует, что $xy = \frac{x}{y}$. Так как $x \ne 0$, мы можем разделить на $x$, получив $y = \frac{1}{y}$, что эквивалентно $y^2 = 1$. Отсюда $y = 1$ или $y = -1$.

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $y = 1$. Из ОДЗ следует, что $x > 0$. Подставим $y = 1$ во второе уравнение: $x^2 - 3(1) = 1^2 - 3x$ $x^2 + 3x - 4 = 0$. Решим квадратное уравнение: $(x + 4)(x - 1) = 0$. $x_1 = -4$, $x_2 = 1$. Условию $x > 0$ удовлетворяет только $x = 1$. Получаем решение $(1, 1)$.

Случай 2: $y = -1$. Из ОДЗ следует, что $x < 0$. Подставим $y = -1$ во второе уравнение: $x^2 - 3(-1) = (-1)^2 - 3x$ $x^2 + 3 = 1 - 3x$ $x^2 + 3x + 2 = 0$. Решим квадратное уравнение: $(x + 1)(x + 2) = 0$. $x_1 = -1$, $x_2 = -2$. Оба корня удовлетворяют условию $x < 0$. Получаем два решения: $(-1, -1)$ и $(-2, -1)$.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$, $(-2, -1)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_5{x^2y} = \log_5{\frac{y}{x^2}} \\ x^2 + xy = y^2 - 19 \end{cases} $$ ОДЗ: $x^2y > 0$ и $\frac{y}{x^2} > 0$. Поскольку $x \ne 0$, то $x^2 > 0$. Таким образом, оба неравенства сводятся к одному: $y > 0$.

Из первого уравнения $\log_5{x^2y} = \log_5{\frac{y}{x^2}}$ следует: $x^2y = \frac{y}{x^2}$. Так как по ОДЗ $y > 0$, мы можем разделить обе части на $y$: $x^2 = \frac{1}{x^2}$. $x^4 = 1$. Отсюда $x^2 = 1$, что дает $x = 1$ или $x = -1$.

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $x = 1$. Подставим $x = 1$ во второе уравнение: $1^2 + 1 \cdot y = y^2 - 19$ $y^2 - y - 20 = 0$. Решим квадратное уравнение: $(y - 5)(y + 4) = 0$. $y_1 = 5$, $y_2 = -4$. Согласно ОДЗ ($y > 0$), подходит только $y = 5$. Получаем решение $(1, 5)$.

Случай 2: $x = -1$. Подставим $x = -1$ во второе уравнение: $(-1)^2 + (-1)y = y^2 - 19$ $1 - y = y^2 - 19$ $y^2 + y - 20 = 0$. Решим квадратное уравнение: $(y + 5)(y - 4) = 0$. $y_1 = -5$, $y_2 = 4$. Согласно ОДЗ ($y > 0$), подходит только $y = 4$. Получаем решение $(-1, 4)$.

Ответ: $(1, 5)$, $(-1, 4)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} \log_6{xy^3} = \log_6{\frac{x}{y}} \\ 4x^2 - 1 = 2xy + y^2 \end{cases} $$ ОДЗ: $xy^3 > 0$ и $\frac{x}{y} > 0$. Условие $\frac{x}{y} > 0$ означает, что $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки. Это обеспечивает и выполнение условия $xy^3 > 0$. Таким образом, ОДЗ: $x$ и $y$ одного знака, не равны нулю.

Из первого уравнения $\log_6{xy^3} = \log_6{\frac{x}{y}}$ следует: $xy^3 = \frac{x}{y}$. Поскольку $x \ne 0$, делим на $x$: $y^3 = \frac{1}{y}$. Умножаем на $y$ (так как $y \ne 0$): $y^4 = 1$. Отсюда $y^2 = 1$, что дает $y = 1$ или $y = -1$.

Рассмотрим два случая.
Случай 1: $y = 1$. Из ОДЗ следует, что $x > 0$. Подставим $y = 1$ во второе уравнение: $4x^2 - 1 = 2x(1) + 1^2$ $4x^2 - 2x - 2 = 0$. Разделим на 2: $2x^2 - x - 1 = 0$. Найдем корни: $x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{1 \pm 3}{4}$. $x_1 = 1$, $x_2 = -\frac{1}{2}$. Условию $x > 0$ удовлетворяет только $x = 1$. Получаем решение $(1, 1)$.

Случай 2: $y = -1$. Из ОДЗ следует, что $x < 0$. Подставим $y = -1$ во второе уравнение: $4x^2 - 1 = 2x(-1) + (-1)^2$ $4x^2 + 2x - 2 = 0$. Разделим на 2: $2x^2 + x - 1 = 0$. Найдем корни: $x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 - 4(2)(-1)}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4}$. $x_1 = \frac{1}{2}$, $x_2 = -1$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x = -1$. Получаем решение $(-1, -1)$.

Ответ: $(1, 1)$, $(-1, -1)$.