Номер 14.30, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.30, страница 347.

Условие.

14.30 a) $\begin{cases} \sqrt{2x-1} + \sqrt{y+3} = 3 \\ 2xy - y + 6x - 3 = 4 \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{5x-6} + \sqrt{y+6} = 5 \\ 5xy - 6y + 30x = 72 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{2x - 1} + \sqrt{y + 3} = 3 \\ 2xy - y + 6x - 3 = 4 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:

$2x - 1 \ge 0 \implies x \ge \frac{1}{2}$

$y + 3 \ge 0 \implies y \ge -3$

Преобразуем второе уравнение, разложив его левую часть на множители путем группировки:

$2xy - y + 6x - 3 = y(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1)(y + 3)$

Таким образом, второе уравнение принимает вид: $(2x - 1)(y + 3) = 4$.

Для упрощения системы введем новые переменные:

Пусть $a = \sqrt{2x - 1}$ и $b = \sqrt{y + 3}$.

Из определения квадратного корня следует, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$.

Тогда $a^2 = 2x - 1$ и $b^2 = y + 3$.

Подставим новые переменные в систему уравнений:

$ \begin{cases} a + b = 3 \\ a^2 b^2 = 4 \end{cases} $

Из второго уравнения, учитывая, что $a \ge 0$ и $b \ge 0$, следует $ab = \sqrt{4} = 2$.

Получаем простую систему:

$ \begin{cases} a + b = 3 \\ ab = 2 \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 3t + 2 = 0$.

Находим корни: $(t - 1)(t - 2) = 0$, откуда $t_1 = 1, t_2 = 2$.

Это дает нам два возможных набора значений для $(a, b)$:

1. $a = 1, b = 2$

2. $a = 2, b = 1$

Выполним обратную замену для каждого случая.

Случай 1: $a = 1, b = 2$.

$\sqrt{2x - 1} = 1 \implies 2x - 1 = 1 \implies 2x = 2 \implies x = 1$.

$\sqrt{y + 3} = 2 \implies y + 3 = 4 \implies y = 1$.

Решение $(1, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1/2$, $y \ge -3$).

Случай 2: $a = 2, b = 1$.

$\sqrt{2x - 1} = 2 \implies 2x - 1 = 4 \implies 2x = 5 \implies x = \frac{5}{2}$.

$\sqrt{y + 3} = 1 \implies y + 3 = 1 \implies y = -2$.

Решение $(\frac{5}{2}, -2)$ также удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 1/2$, $y \ge -3$).

Ответ: $(1, 1), (\frac{5}{2}, -2)$.

б)

Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{5x - 6} + \sqrt{y + 6} = 5 \\ 5xy - 6y + 30x = 72 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

$5x - 6 \ge 0 \implies x \ge \frac{6}{5}$

$y + 6 \ge 0 \implies y \ge -6$

Преобразуем второе уравнение, чтобы выделить множители $(5x-6)$ и $(y+6)$:

$5xy - 6y + 30x = 72$

$y(5x - 6) + 30x = 72$

$y(5x - 6) + 6(5x) = 72$

Чтобы получить множитель $(5x - 6)$, вычтем и прибавим 36:

$y(5x - 6) + 6(5x - 6) + 36 = 72$

$(y + 6)(5x - 6) = 72 - 36$

$(5x - 6)(y + 6) = 36$

Введем новые переменные:

Пусть $u = \sqrt{5x - 6}$ и $v = \sqrt{y + 6}$.

Учитывая ОДЗ, $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Тогда $u^2 = 5x - 6$ и $v^2 = y + 6$.

Подставим новые переменные в систему:

$ \begin{cases} u + v = 5 \\ u^2 v^2 = 36 \end{cases} $

Из второго уравнения, так как $u \ge 0$ и $v \ge 0$, имеем $uv = \sqrt{36} = 6$.

Получаем систему:

$ \begin{cases} u + v = 5 \\ uv = 6 \end{cases} $

По теореме, обратной теореме Виета, $u$ и $v$ являются корнями квадратного уравнения $z^2 - 5z + 6 = 0$.

Корни уравнения: $(z - 2)(z - 3) = 0$, откуда $z_1 = 2, z_2 = 3$.

Возможны два набора значений для $(u, v)$:

1. $u = 2, v = 3$

2. $u = 3, v = 2$

Выполним обратную замену для каждого случая.

Случай 1: $u = 2, v = 3$.

$\sqrt{5x - 6} = 2 \implies 5x - 6 = 4 \implies 5x = 10 \implies x = 2$.

$\sqrt{y + 6} = 3 \implies y + 6 = 9 \implies y = 3$.

Решение $(2, 3)$ удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 6/5$, $y \ge -6$).

Случай 2: $u = 3, v = 2$.

$\sqrt{5x - 6} = 3 \implies 5x - 6 = 9 \implies 5x = 15 \implies x = 3$.

$\sqrt{y + 6} = 2 \implies y + 6 = 4 \implies y = -2$.

Решение $(3, -2)$ также удовлетворяет ОДЗ ($x \ge 6/5$, $y \ge -6$).

Ответ: $(2, 3), (3, -2)$.