Номер 14.24, страница 343 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.24, страница 343.

Условие.

14.24* a) $ \begin{cases} 3^{\log_3 (x - y)} = 1 \\ \log_3 (2x - y) + \log_3 y = 1; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} 2^{\log_2 (x - y)} = 1 \\ \log_2 (2x - y) + \log_2 y = 1; \end{cases} $

В) $ \begin{cases} 2^{1 + \log_2 (x - 2y)} = x \\ 3x^2 - 6y = 9^y; \end{cases} $

Г) $ \begin{cases} 2^{x^2 + xy} = 1 \\ 2\log_2 y = \log_2 (x + 6). \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 3^{\log_3(x-y)} = 1 \\ \log_3(2x-y) + \log_3 y = 1 \end{cases} $$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть положительными: $$ \begin{cases} x - y > 0 \\ 2x - y > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ Из $x-y>0$ следует $x > y$. Так как $y>0$, то и $x>0$. Условие $2x-y > 0$ выполняется, так как $2x-y = x + (x-y)$, где оба слагаемых положительны. Таким образом, ОДЗ: $x > y$ и $y > 0$.

Преобразуем первое уравнение, используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $x - y = 1$, откуда $x = y + 1$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство суммы логарифмов $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$: $\log_3((2x-y)y) = 1$. По определению логарифма: $(2x-y)y = 3^1$ $(2x-y)y = 3$.

Получим систему уравнений: $$ \begin{cases} x = y + 1 \\ (2x-y)y = 3 \end{cases} $$ Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе: $(2(y+1)-y)y = 3$ $(2y+2-y)y = 3$ $(y+2)y = 3$ $y^2 + 2y - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение относительно $y$. По теореме Виета, корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.

Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ ($y > 0$). $y_1 = 1$ удовлетворяет условию $y > 0$. $y_2 = -3$ не удовлетворяет условию $y > 0$. Следовательно, единственное возможное значение $y=1$.

Найдем соответствующее значение $x$: $x = y + 1 = 1 + 1 = 2$. Получили решение $(2; 1)$. Проверим его по ОДЗ: $x > y \implies 2 > 1$ (верно), $y > 0 \implies 1 > 0$ (верно).

Ответ: $(2; 1)$.

б)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2^{\log_2(x-y)} = 1 \\ \log_2(2x-y) + \log_2 y = 1 \end{cases} $$

ОДЗ: $$ \begin{cases} x - y > 0 \\ 2x - y > 0 \\ y > 0 \end{cases} $$ что эквивалентно $x > y$ и $y > 0$.

Из первого уравнения, используя тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем: $x - y = 1$, откуда $x = y + 1$.

Из второго уравнения, используя свойство логарифмов: $\log_2((2x-y)y) = 1$ $(2x-y)y = 2^1$ $(2x-y)y = 2$.

Подставим $x = y+1$ во второе уравнение: $(2(y+1)-y)y = 2$ $(y+2)y = 2$ $y^2 + 2y - 2 = 0$.

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4(1)(-2) = 4 + 8 = 12$. $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$. Получаем два корня: $y_1 = -1 + \sqrt{3}$ и $y_2 = -1 - \sqrt{3}$.

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($y>0$). $y_1 = \sqrt{3}-1 \approx 1.732 - 1 = 0.732 > 0$. Этот корень подходит. $y_2 = -1 - \sqrt{3} < 0$. Этот корень не подходит.

Найдем соответствующее значение $x$: $x = y + 1 = (\sqrt{3}-1) + 1 = \sqrt{3}$. Получили решение $(\sqrt{3}; \sqrt{3}-1)$. Проверим его по ОДЗ: $x > y \implies \sqrt{3} > \sqrt{3}-1$ (верно), $y > 0 \implies \sqrt{3}-1 > 0$ (верно).

Ответ: $(\sqrt{3}; \sqrt{3}-1)$.

в)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2^{1 + \log_2(x-2y)} = x \\ 3x^2 - 6y = 9^y \end{cases} $$ (Примечание: в исходном изображении второе уравнение, $3x^2 - 6y = 9^y$, приводит к трансцендентному уравнению без простого аналитического решения. Вероятно, в условии опечатка, и имелось в виду $3x^2 - 6y = 9y$. Решение приведено для этого исправленного варианта).

Рассмотрим систему: $$ \begin{cases} 2^{1 + \log_2(x-2y)} = x \\ 3x^2 - 6y = 9y \end{cases} $$

ОДЗ: $x-2y > 0 \implies x > 2y$.

Преобразуем первое уравнение, используя свойства степени и логарифма: $2^1 \cdot 2^{\log_2(x-2y)} = x$ $2(x-2y) = x$ $2x - 4y = x$ $x = 4y$.

Подставим $x=4y$ в условие ОДЗ: $4y > 2y \implies 2y > 0 \implies y > 0$.

Преобразуем второе уравнение: $3x^2 - 6y = 9y$ $3x^2 = 15y$ $x^2 = 5y$.

Получим систему: $$ \begin{cases} x = 4y \\ x^2 = 5y \end{cases} $$ Подставим $x=4y$ во второе уравнение: $(4y)^2 = 5y$ $16y^2 = 5y$ $16y^2 - 5y = 0$ $y(16y-5) = 0$.

Отсюда $y=0$ или $16y-5=0 \implies y = 5/16$.

Проверим значения $y$ на соответствие ОДЗ ($y > 0$). $y=0$ не удовлетворяет условию $y > 0$. $y=5/16$ удовлетворяет условию $y > 0$.

Найдем соответствующее значение $x$: $x = 4y = 4 \cdot \frac{5}{16} = \frac{5}{4}$. Решение: $(5/4; 5/16)$.

Ответ: $(5/4; 5/16)$.

г)

Дана система уравнений: $$ \begin{cases} 2^{x^2+xy} = 1 \\ 2\log_2 y = \log_2(x+6) \end{cases} $$

ОДЗ: $$ \begin{cases} y > 0 \\ x+6 > 0 \implies x > -6 \end{cases} $$

Преобразуем первое уравнение. Так как $1 = 2^0$: $2^{x^2+xy} = 2^0$ $x^2+xy = 0$ $x(x+y) = 0$. Отсюда следует, что либо $x=0$, либо $x+y=0 \implies y=-x$.

Преобразуем второе уравнение, используя свойство степени логарифма: $\log_2(y^2) = \log_2(x+6)$. Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы: $y^2 = x+6$.

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x=0$. Подставим в уравнение $y^2 = x+6$: $y^2 = 0+6 \implies y^2=6 \implies y = \pm\sqrt{6}$. Проверим по ОДЗ ($y>0, x>-6$): Для $(0; \sqrt{6})$: $y = \sqrt{6} > 0$ (верно), $x = 0 > -6$ (верно). Это решение подходит. Для $(0; -\sqrt{6})$: $y = -\sqrt{6} < 0$. Это решение не подходит.

Случай 2: $y=-x$. Подставим в уравнение $y^2 = x+6$: $(-x)^2 = x+6$ $x^2 - x - 6 = 0$. Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, корни $x_1=3$ и $x_2=-2$. Найдем соответствующие значения $y$: Если $x_1=3$, то $y_1=-3$. Если $x_2=-2$, то $y_2=-(-2)=2$. Проверим по ОДЗ ($y>0, x>-6$): Для $(3; -3)$: $y = -3 < 0$. Это решение не подходит. Для $(-2; 2)$: $y = 2 > 0$ (верно), $x = -2 > -6$ (верно). Это решение подходит.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем два решения системы.

Ответ: $(-2; 2), (0; \sqrt{6})$.