Номер 14.27, страница 347 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.27, страница 347.

Условие.

Решите систему уравнений (14.27—14.37):

14.27 а) $\begin{cases} |x + 1| + |y + 1| = 5 \\ |x + 1| = 4y + 4; \end{cases}$

б) $\begin{cases} |x - 1| + |y - 5| = 1 \\ y = 5 + |x + 1|. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)Дана система уравнений:$\begin{cases} |x + 1| + |y + 1| = 5 \\ |x + 1| = 4y + 4 \end{cases}$Из второго уравнения $|x + 1| = 4y + 4$ следует, что его правая часть должна быть неотрицательной, так как модуль числа всегда неотрицателен. Таким образом, мы имеем условие:$4y + 4 \ge 0$$4y \ge -4$$y \ge -1$При этом условии выражение $y + 1$ также неотрицательно ($y + 1 \ge 0$), а значит, $|y + 1| = y + 1$.Теперь подставим выражение для $|x + 1|$ из второго уравнения в первое уравнение системы:$(4y + 4) + |y + 1| = 5$Используя тот факт, что $|y + 1| = y + 1$, получаем:$(4y + 4) + (y + 1) = 5$$5y + 5 = 5$$5y = 0$$y = 0$Полученное значение $y=0$ удовлетворяет условию $y \ge -1$.Теперь найдем соответствующие значения $x$, подставив $y = 0$ во второе уравнение системы:$|x + 1| = 4(0) + 4$$|x + 1| = 4$Данное уравнение с модулем эквивалентно двум уравнениям:1) $x + 1 = 4 \implies x = 3$2) $x + 1 = -4 \implies x = -5$Таким образом, система имеет два решения. Проверим их, подставив в исходную систему.Для пары $(3, 0)$:$|3 + 1| + |0 + 1| = |4| + |1| = 4 + 1 = 5$ (верно)$|3 + 1| = 4(0) + 4 \implies 4 = 4$ (верно)Для пары $(-5, 0)$:$|-5 + 1| + |0 + 1| = |-4| + |1| = 4 + 1 = 5$ (верно)$|-5 + 1| = 4(0) + 4 \implies 4 = 4$ (верно)Оба решения подходят.
Ответ: $(3, 0), (-5, 0).$

б)Дана система уравнений:$\begin{cases} |x - 1| + |y - 5| = 1 \\ y = 5 + |x + 1| \end{cases}$Рассмотрим второе уравнение: $y = 5 + |x + 1|$. Так как $|x + 1| \ge 0$, то $y \ge 5 + 0$, то есть $y \ge 5$.Из этого следует, что разность $y - 5$ неотрицательна ($y - 5 \ge 0$), поэтому модуль этого выражения равен самому выражению: $|y - 5| = y - 5$.Подставим это в первое уравнение системы:$|x - 1| + (y - 5) = 1$$|x - 1| + y = 6$Теперь в полученное уравнение подставим выражение для $y$ из второго уравнения исходной системы ($y = 5 + |x + 1|$):$|x - 1| + (5 + |x + 1|) = 6$$|x - 1| + |x + 1| = 1$Рассмотрим левую часть уравнения $|x - 1| + |x + 1|$. Эту сумму можно интерпретировать как сумму расстояний на числовой прямой от точки $x$ до точек $1$ и $-1$. Расстояние между точками $1$ и $-1$ равно $|1 - (-1)| = 2$.Согласно неравенству треугольника (или свойству модуля $|a|+|b| \ge |a-b|$), сумма расстояний от точки $x$ до двух фиксированных точек не может быть меньше, чем расстояние между этими точками.$|x - 1| + |x + 1| \ge |(x - 1) - (x + 1)| = |-2| = 2$.Таким образом, левая часть нашего уравнения всегда больше или равна 2. Уравнение $|x - 1| + |x + 1| = 1$ не может иметь решений, так как $1 < 2$.Поскольку уравнение относительно переменной $x$ не имеет решений, то и вся система уравнений не имеет решений.
Ответ: нет решений.