Номер 14.21, страница 343 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.21, страница 343.

Условие.

14.21 a) $\begin{cases} \sqrt{x - y + 3} = 2 \\ \sqrt{y - x + 10} = y + 1; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \sqrt{2x - 3y} = 1 \\ \sqrt{2y - 3x + 10} = y - 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sqrt{x + y + 4} = x - y \\ \sqrt{2x + y} = \sqrt{3x - 3y}; \end{cases}$

г) $\begin{cases} \sqrt{x + y + 4} = y - x \\ \sqrt{x + y} = \sqrt{2x - 3y}. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x - y + 3} = 2 \\ \sqrt{y - x + 10} = y + 1 \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Выражения под корнем должны быть неотрицательными, а также правая часть второго уравнения, равная корню, должна быть неотрицательной:
$x - y + 3 \ge 0$
$y - x + 10 \ge 0$
$y + 1 \ge 0 \implies y \ge -1$

Возведем обе части первого уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x - y + 3})^2 = 2^2$
$x - y + 3 = 4$
$x - y = 1$

Теперь рассмотрим второе уравнение. Заметим, что подкоренное выражение $y - x + 10$ можно переписать как $-(x - y) + 10$. Подставим в него найденное значение $x - y = 1$:
$\sqrt{-(1) + 10} = y + 1$
$\sqrt{9} = y + 1$
$3 = y + 1$
$y = 2$

Зная $y$, найдем $x$ из соотношения $x - y = 1$:
$x - 2 = 1$
$x = 3$

Проверим, удовлетворяет ли найденное решение $(3, 2)$ условиям ОДЗ:
$x - y + 3 = 3 - 2 + 3 = 4 \ge 0$ (верно)
$y - x + 10 = 2 - 3 + 10 = 9 \ge 0$ (верно)
$y + 1 = 2 + 1 = 3 \ge 0$ (верно)
Решение подходит.

Ответ: $(3, 2)$

б) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{2x - 3y} = 1 \\ \sqrt{2y - 3x + 10} = y - 2 \end{cases} $

ОДЗ:
$2x - 3y \ge 0$
$2y - 3x + 10 \ge 0$
$y - 2 \ge 0 \implies y \ge 2$

Из первого уравнения, возведя обе части в квадрат, получаем:
$2x - 3y = 1$
Выразим $2x$: $2x = 3y + 1$.

Возведем в квадрат обе части второго уравнения, учитывая ОДЗ:
$2y - 3x + 10 = (y - 2)^2$
$2y - 3x + 10 = y^2 - 4y + 4$
Чтобы подставить $x$, умножим все уравнение на 2, чтобы работать с $6x$:
$4y - 6x + 20 = 2y^2 - 8y + 8$
Мы знаем, что $2x = 3y + 1$, следовательно $6x = 3(2x) = 3(3y+1) = 9y+3$.
Подставим $6x$:
$4y - (9y + 3) + 20 = 2y^2 - 8y + 8$
$4y - 9y - 3 + 20 = 2y^2 - 8y + 8$
$-5y + 17 = 2y^2 - 8y + 8$
$2y^2 - 3y - 9 = 0$

Решим квадратное уравнение для $y$:
$D = (-3)^2 - 4(2)(-9) = 9 + 72 = 81$
$y = \frac{3 \pm \sqrt{81}}{4} = \frac{3 \pm 9}{4}$
$y_1 = \frac{3 + 9}{4} = 3$
$y_2 = \frac{3 - 9}{4} = -\frac{3}{2}$

Согласно ОДЗ, $y \ge 2$. Поэтому $y_2 = -3/2$ является посторонним корнем. Остается $y = 3$.
Найдем $x$ из $2x = 3y + 1$:
$2x = 3(3) + 1 = 10$
$x = 5$

Проверим решение $(5, 3)$:
$2x - 3y = 2(5) - 3(3) = 1 \ge 0$ (верно)
$2y - 3x + 10 = 2(3) - 3(5) + 10 = 6 - 15 + 10 = 1 \ge 0$ (верно)
$y - 2 = 3 - 2 = 1 \ge 0$ (верно)
Решение подходит.

Ответ: $(5, 3)$

в) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x + y + 4} = x - y \\ \sqrt{2x + y} = \sqrt{3x - 3y} \end{cases} $

ОДЗ:
$x + y + 4 \ge 0$
$x - y \ge 0$
$2x + y \ge 0$
$3x - 3y \ge 0 \implies x - y \ge 0$

Из второго уравнения, возведя обе части в квадрат, получаем:
$2x + y = 3x - 3y$
$4y = x$

Подставим $x = 4y$ в первое уравнение:
$\sqrt{4y + y + 4} = 4y - y$
$\sqrt{5y + 4} = 3y$
Для этого уравнения должно выполняться условие $3y \ge 0$, то есть $y \ge 0$. Также $5y+4 \ge 0 \implies y \ge -4/5$. Объединяя, получаем $y \ge 0$.
Возведем обе части в квадрат:
$5y + 4 = (3y)^2$
$5y + 4 = 9y^2$
$9y^2 - 5y - 4 = 0$

Решим квадратное уравнение для $y$:
$D = (-5)^2 - 4(9)(-4) = 25 + 144 = 169$
$y = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{18} = \frac{5 \pm 13}{18}$
$y_1 = \frac{5 + 13}{18} = 1$
$y_2 = \frac{5 - 13}{18} = -\frac{4}{9}$

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y_1 = 1$.
Найдем $x$ из $x = 4y$:
$x = 4(1) = 4$

Проверим решение $(4, 1)$ на соответствие ОДЗ:
$x + y + 4 = 4 + 1 + 4 = 9 \ge 0$ (верно)
$x - y = 4 - 1 = 3 \ge 0$ (верно)
$2x + y = 2(4) + 1 = 9 \ge 0$ (верно)
Решение подходит.

Ответ: $(4, 1)$

г) Решим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{x + y + 4} = y - x \\ \sqrt{x + y} = \sqrt{2x - 3y} \end{cases} $

ОДЗ:
$x + y + 4 \ge 0$
$y - x \ge 0$
$x + y \ge 0$
$2x - 3y \ge 0$

Из второго уравнения, возведя обе части в квадрат, получаем:
$x + y = 2x - 3y$
$4y = x$

Проанализируем условия ОДЗ с учетом $x=4y$:
1. Из $x+y \ge 0$ следует $4y + y \ge 0 \implies 5y \ge 0 \implies y \ge 0$.
2. Из $2x-3y \ge 0$ следует $2(4y)-3y \ge 0 \implies 8y-3y \ge 0 \implies 5y \ge 0 \implies y \ge 0$.

Теперь подставим $x = 4y$ в первое уравнение:
$\sqrt{4y + y + 4} = y - 4y$
$\sqrt{5y + 4} = -3y$
Так как левая часть уравнения (арифметический квадратный корень) неотрицательна, то и правая часть должна быть неотрицательна:
$-3y \ge 0 \implies y \le 0$.

Мы получили два противоречащих друг другу условия на $y$:
1. Из ОДЗ второго уравнения следует $y \ge 0$.
2. Из первого уравнения следует $y \le 0$.
Единственное значение $y$, удовлетворяющее обоим условиям, это $y = 0$.
Если $y = 0$, то $x = 4y = 0$.
Проверим, является ли пара $(0, 0)$ решением исходной системы. Подставим в первое уравнение:
$\sqrt{0 + 0 + 4} = 0 - 0$
$\sqrt{4} = 0$
$2 = 0$
Получили неверное равенство. Следовательно, $(0,0)$ не является решением. Других возможных решений нет.

Ответ: решений нет