Номер 14.15, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.15, страница 337.
№14.15 (с. 337)
Условие. №14.15 (с. 337)
скриншот условия

14.15* a) $\begin{cases} 3x^2 + 2xy - 9x - 4y = -6 \\ 5x^2 + 2xy - 12x - 4y = -4 \end{cases}$
б) $\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 - 3x + 5y = 3 \\ 4.5x^2 + 3y^2 - 3x + 8y = 7 \end{cases}$
Решение 1. №14.15 (с. 337)


Решение 2. №14.15 (с. 337)

Решение 3. №14.15 (с. 337)

Решение 4. №14.15 (с. 337)
а)
Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} 3x^2 + 2xy - 9x - 4y = -6 \\ 5x^2 + 2xy - 12x - 4y = -4 \end{cases} $$
Преобразуем каждое уравнение, вынеся за скобки общие множители, содержащие $y$.
В первом уравнении:
$3x^2 - 9x + 6 + y(2x - 4) = 0$
$y(2x - 4) = -3x^2 + 9x - 6$
$2y(x - 2) = -3(x^2 - 3x + 2)$
Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.
$2y(x - 2) = -3(x - 1)(x - 2)$
$(x - 2)(2y + 3(x - 1)) = 0$
$(x - 2)(2y + 3x - 3) = 0$
Во втором уравнении:
$5x^2 - 12x + 4 + y(2x - 4) = 0$
$y(2x - 4) = -5x^2 + 12x - 4$
$2y(x - 2) = -(5x^2 - 12x + 4)$
Разложим квадратный трехчлен на множители: $5x^2 - 12x + 4 = 5(x-2)(x-0.4) = (x-2)(5x-2)$.
$2y(x - 2) = -(x - 2)(5x - 2)$
$(x - 2)(2y + 5x - 2) = 0$
Таким образом, исходная система равносильна системе:
$$ \begin{cases} (x - 2)(2y + 3x - 3) = 0 \\ (x - 2)(2y + 5x - 2) = 0 \end{cases} $$
Эта система имеет решения в двух случаях:
1. Когда общий множитель равен нулю: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.
Если $x = 2$, оба уравнения системы превращаются в верные равенства $0 = 0$ при любом значении $y$. Проверим подстановкой в исходную систему:
Первое уравнение: $3(2)^2 + 2(2)y - 9(2) - 4y = 12 + 4y - 18 - 4y = -6$. Равенство $-6 = -6$ верно.
Второе уравнение: $5(2)^2 + 2(2)y - 12(2) - 4y = 20 + 4y - 24 - 4y = -4$. Равенство $-4 = -4$ верно.
Следовательно, решением является любая пара вида $(2, y)$, где $y$ — любое действительное число.
2. Когда $x - 2 \neq 0$. В этом случае мы можем разделить оба уравнения на $(x - 2)$, и система примет вид:
$$ \begin{cases} 2y + 3x - 3 = 0 \\ 2y + 5x - 2 = 0 \end{cases} $$
Вычтем первое уравнение из второго: $(2y + 5x - 2) - (2y + 3x - 3) = 0$, что дает $2x + 1 = 0$, откуда $x = -0.5$.
Подставим $x = -0.5$ в первое уравнение этой системы: $2y + 3(-0.5) - 3 = 0 \Rightarrow 2y - 1.5 - 3 = 0 \Rightarrow 2y = 4.5 \Rightarrow y = 2.25$.
Таким образом, мы получили второе решение $(-0.5; 2.25)$.
Ответ: $(-0.5; 2.25)$, $(2; y)$, где $y$ — любое действительное число.
б)
Дана система уравнений:
$$ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 - 3x + 5y = 3 \\ 4.5x^2 + 3y^2 - 3x + 8y = 7 \end{cases} $$
Используем метод алгебраического сложения, чтобы исключить квадратичные члены. Для этого умножим первое уравнение на $1.5$ (или $\frac{3}{2}$), чтобы коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ совпали с коэффициентами во втором уравнении, умноженными на некоторую константу.
$1.5 \cdot (3x^2 + 2y^2 - 3x + 5y) = 1.5 \cdot 3$
$4.5x^2 + 3y^2 - 4.5x + 7.5y = 4.5$
Теперь вычтем второе исходное уравнение из полученного уравнения:
$(4.5x^2 + 3y^2 - 4.5x + 7.5y) - (4.5x^2 + 3y^2 - 3x + 8y) = 4.5 - 7$
Приводя подобные слагаемые, получаем:
$-4.5x + 3x + 7.5y - 8y = -2.5$
$-1.5x - 0.5y = -2.5$
Умножим обе части уравнения на $-2$ для упрощения:
$3x + y = 5$
Отсюда выражаем $y$: $y = 5 - 3x$.
Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:
$3x^2 + 2(5 - 3x)^2 - 3x + 5(5 - 3x) = 3$
Раскроем скобки:
$3x^2 + 2(25 - 30x + 9x^2) - 3x + 25 - 15x = 3$
$3x^2 + 50 - 60x + 18x^2 - 18x + 25 = 3$
Приведем подобные члены:
$21x^2 - 78x + 75 = 3$
$21x^2 - 78x + 72 = 0$
Разделим все уравнение на 3:
$7x^2 - 26x + 24 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 24 = 676 - 672 = 4$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 2}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$
$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 2}{14} = \frac{28}{14} = 2$
Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$:
Для $x_1 = \frac{12}{7}$:
$y_1 = 5 - 3x_1 = 5 - 3 \cdot \frac{12}{7} = 5 - \frac{36}{7} = \frac{35 - 36}{7} = -\frac{1}{7}$.
Для $x_2 = 2$:
$y_2 = 5 - 3x_2 = 5 - 3 \cdot 2 = 5 - 6 = -1$.
Система имеет два решения.
Ответ: $(\frac{12}{7}; -\frac{1}{7})$, $(2; -1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.15 расположенного на странице 337 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.15 (с. 337), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.