Номер 14.15, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.15, страница 337.

Условие.

14.15* a) $\begin{cases} 3x^2 + 2xy - 9x - 4y = -6 \\ 5x^2 + 2xy - 12x - 4y = -4 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 - 3x + 5y = 3 \\ 4.5x^2 + 3y^2 - 3x + 8y = 7 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x^2 + 2xy - 9x - 4y = -6 \\ 5x^2 + 2xy - 12x - 4y = -4 \end{cases} $$

Преобразуем каждое уравнение, вынеся за скобки общие множители, содержащие $y$.

В первом уравнении:

$3x^2 - 9x + 6 + y(2x - 4) = 0$

$y(2x - 4) = -3x^2 + 9x - 6$

$2y(x - 2) = -3(x^2 - 3x + 2)$

Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

$2y(x - 2) = -3(x - 1)(x - 2)$

$(x - 2)(2y + 3(x - 1)) = 0$

$(x - 2)(2y + 3x - 3) = 0$

Во втором уравнении:

$5x^2 - 12x + 4 + y(2x - 4) = 0$

$y(2x - 4) = -5x^2 + 12x - 4$

$2y(x - 2) = -(5x^2 - 12x + 4)$

Разложим квадратный трехчлен на множители: $5x^2 - 12x + 4 = 5(x-2)(x-0.4) = (x-2)(5x-2)$.

$2y(x - 2) = -(x - 2)(5x - 2)$

$(x - 2)(2y + 5x - 2) = 0$

Таким образом, исходная система равносильна системе:

$$ \begin{cases} (x - 2)(2y + 3x - 3) = 0 \\ (x - 2)(2y + 5x - 2) = 0 \end{cases} $$

Эта система имеет решения в двух случаях:

1. Когда общий множитель равен нулю: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Если $x = 2$, оба уравнения системы превращаются в верные равенства $0 = 0$ при любом значении $y$. Проверим подстановкой в исходную систему:

Первое уравнение: $3(2)^2 + 2(2)y - 9(2) - 4y = 12 + 4y - 18 - 4y = -6$. Равенство $-6 = -6$ верно.

Второе уравнение: $5(2)^2 + 2(2)y - 12(2) - 4y = 20 + 4y - 24 - 4y = -4$. Равенство $-4 = -4$ верно.

Следовательно, решением является любая пара вида $(2, y)$, где $y$ — любое действительное число.

2. Когда $x - 2 \neq 0$. В этом случае мы можем разделить оба уравнения на $(x - 2)$, и система примет вид:

$$ \begin{cases} 2y + 3x - 3 = 0 \\ 2y + 5x - 2 = 0 \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго: $(2y + 5x - 2) - (2y + 3x - 3) = 0$, что дает $2x + 1 = 0$, откуда $x = -0.5$.

Подставим $x = -0.5$ в первое уравнение этой системы: $2y + 3(-0.5) - 3 = 0 \Rightarrow 2y - 1.5 - 3 = 0 \Rightarrow 2y = 4.5 \Rightarrow y = 2.25$.

Таким образом, мы получили второе решение $(-0.5; 2.25)$.

Ответ: $(-0.5; 2.25)$, $(2; y)$, где $y$ — любое действительное число.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 - 3x + 5y = 3 \\ 4.5x^2 + 3y^2 - 3x + 8y = 7 \end{cases} $$

Используем метод алгебраического сложения, чтобы исключить квадратичные члены. Для этого умножим первое уравнение на $1.5$ (или $\frac{3}{2}$), чтобы коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ совпали с коэффициентами во втором уравнении, умноженными на некоторую константу.

$1.5 \cdot (3x^2 + 2y^2 - 3x + 5y) = 1.5 \cdot 3$

$4.5x^2 + 3y^2 - 4.5x + 7.5y = 4.5$

Теперь вычтем второе исходное уравнение из полученного уравнения:

$(4.5x^2 + 3y^2 - 4.5x + 7.5y) - (4.5x^2 + 3y^2 - 3x + 8y) = 4.5 - 7$

Приводя подобные слагаемые, получаем:

$-4.5x + 3x + 7.5y - 8y = -2.5$

$-1.5x - 0.5y = -2.5$

Умножим обе части уравнения на $-2$ для упрощения:

$3x + y = 5$

Отсюда выражаем $y$: $y = 5 - 3x$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$3x^2 + 2(5 - 3x)^2 - 3x + 5(5 - 3x) = 3$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 2(25 - 30x + 9x^2) - 3x + 25 - 15x = 3$

$3x^2 + 50 - 60x + 18x^2 - 18x + 25 = 3$

Приведем подобные члены:

$21x^2 - 78x + 75 = 3$

$21x^2 - 78x + 72 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$7x^2 - 26x + 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 24 = 676 - 672 = 4$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 2}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 2}{14} = \frac{28}{14} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$:

Для $x_1 = \frac{12}{7}$:

$y_1 = 5 - 3x_1 = 5 - 3 \cdot \frac{12}{7} = 5 - \frac{36}{7} = \frac{35 - 36}{7} = -\frac{1}{7}$.

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 5 - 3x_2 = 5 - 3 \cdot 2 = 5 - 6 = -1$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{12}{7}; -\frac{1}{7})$, $(2; -1)$.