Номер 14.11, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.11, страница 337.
№14.11 (с. 337)
Условие. №14.11 (с. 337)
скриншот условия

14.11 a) $\begin{cases} x + 2y = 13 \\ 2\log_4 x - \log_4 (2y - 1) = 0,5; \end{cases}$
б) $\begin{cases} 2x - y = 19 \\ \log_9 (2x - 1) - \log_9 y = -0,5. \end{cases}$
Решение 1. №14.11 (с. 337)


Решение 2. №14.11 (с. 337)


Решение 4. №14.11 (с. 337)
а)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} x + 2y = 13 \\ 2\log_4 x - \log_4(2y - 1) = 0.5 \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
1. $x > 0$
2. $2y - 1 > 0 \implies 2y > 1 \implies y > 0.5$
Теперь преобразуем второе уравнение системы. Используем свойство степени логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$ и свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:
$2\log_4 x - \log_4(2y - 1) = 0.5$
$\log_4(x^2) - \log_4(2y - 1) = 0.5$
$\log_4\left(\frac{x^2}{2y - 1}\right) = 0.5$
По определению логарифма ($\log_a b = c \iff a^c = b$):
$\frac{x^2}{2y - 1} = 4^{0.5}$
Так как $4^{0.5} = 4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$, получаем:
$\frac{x^2}{2y - 1} = 2$
$x^2 = 2(2y - 1) \implies x^2 = 4y - 2$
Теперь решим систему уравнений:
$ \begin{cases} x + 2y = 13 \\ x^2 = 4y - 2 \end{cases} $
Из первого уравнения выразим $2y$: $2y = 13 - x$. Тогда $4y = 2(13-x) = 26 - 2x$.
Подставим это выражение для $4y$ во второе уравнение:
$x^2 = (26 - 2x) - 2$
$x^2 = 24 - 2x$
$x^2 + 2x - 24 = 0$
Это квадратное уравнение. Решим его, например, по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-24$, а сумма равна $-2$. Это числа $4$ и $-6$.
$x_1 = 4$, $x_2 = -6$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).
Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x > 0$.
Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $x > 0$, следовательно, это посторонний корень.
Найдем соответствующее значение $y$ для $x = 4$, используя выражение $2y = 13 - x$:
$2y = 13 - 4 \implies 2y = 9 \implies y = 4.5$.
Проверим значение $y=4.5$ на соответствие ОДЗ ($y > 0.5$). Условие $4.5 > 0.5$ выполняется.
Таким образом, решение системы - пара чисел $(4; 4.5)$.
Ответ: $(4; 4.5)$.
б)
Дана система уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = 19 \\ \log_9(2x - 1) - \log_9 y = -0.5 \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ):
1. $2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 0.5$
2. $y > 0$
Преобразуем второе уравнение, используя свойство разности логарифмов:
$\log_9\left(\frac{2x - 1}{y}\right) = -0.5$
По определению логарифма:
$\frac{2x - 1}{y} = 9^{-0.5}$
Так как $9^{-0.5} = 9^{-1/2} = \frac{1}{9^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$, получаем:
$\frac{2x - 1}{y} = \frac{1}{3}$
$3(2x - 1) = y \implies y = 6x - 3$
Теперь решим систему линейных уравнений:
$ \begin{cases} 2x - y = 19 \\ y = 6x - 3 \end{cases} $
Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:
$2x - (6x - 3) = 19$
$2x - 6x + 3 = 19$
$-4x = 19 - 3$
$-4x = 16$
$x = -4$
Проверим найденное значение $x$ на соответствие ОДЗ ($x > 0.5$).
Значение $x = -4$ не удовлетворяет условию $x > 0.5$.
Так как единственное возможное значение $x$ не входит в область допустимых значений, система не имеет решений.
Ответ: нет решений.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.11 расположенного на странице 337 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.11 (с. 337), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.