Номер 14.11, страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.11, страница 337.

Условие.

14.11 a) $\begin{cases} x + 2y = 13 \\ 2\log_4 x - \log_4 (2y - 1) = 0,5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - y = 19 \\ \log_9 (2x - 1) - \log_9 y = -0,5. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 13 \\ 2\log_4 x - \log_4(2y - 1) = 0.5 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1. $x > 0$

2. $2y - 1 > 0 \implies 2y > 1 \implies y > 0.5$

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Используем свойство степени логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$ и свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$2\log_4 x - \log_4(2y - 1) = 0.5$

$\log_4(x^2) - \log_4(2y - 1) = 0.5$

$\log_4\left(\frac{x^2}{2y - 1}\right) = 0.5$

По определению логарифма ($\log_a b = c \iff a^c = b$):

$\frac{x^2}{2y - 1} = 4^{0.5}$

Так как $4^{0.5} = 4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$, получаем:

$\frac{x^2}{2y - 1} = 2$

$x^2 = 2(2y - 1) \implies x^2 = 4y - 2$

Теперь решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 13 \\ x^2 = 4y - 2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $2y$: $2y = 13 - x$. Тогда $4y = 2(13-x) = 26 - 2x$.

Подставим это выражение для $4y$ во второе уравнение:

$x^2 = (26 - 2x) - 2$

$x^2 = 24 - 2x$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его, например, по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-24$, а сумма равна $-2$. Это числа $4$ и $-6$.

$x_1 = 4$, $x_2 = -6$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $x > 0$, следовательно, это посторонний корень.

Найдем соответствующее значение $y$ для $x = 4$, используя выражение $2y = 13 - x$:

$2y = 13 - 4 \implies 2y = 9 \implies y = 4.5$.

Проверим значение $y=4.5$ на соответствие ОДЗ ($y > 0.5$). Условие $4.5 > 0.5$ выполняется.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(4; 4.5)$.

Ответ: $(4; 4.5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 19 \\ \log_9(2x - 1) - \log_9 y = -0.5 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 0.5$

2. $y > 0$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство разности логарифмов:

$\log_9\left(\frac{2x - 1}{y}\right) = -0.5$

По определению логарифма:

$\frac{2x - 1}{y} = 9^{-0.5}$

Так как $9^{-0.5} = 9^{-1/2} = \frac{1}{9^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$, получаем:

$\frac{2x - 1}{y} = \frac{1}{3}$

$3(2x - 1) = y \implies y = 6x - 3$

Теперь решим систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 19 \\ y = 6x - 3 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$2x - (6x - 3) = 19$

$2x - 6x + 3 = 19$

$-4x = 19 - 3$

$-4x = 16$

$x = -4$

Проверим найденное значение $x$ на соответствие ОДЗ ($x > 0.5$).

Значение $x = -4$ не удовлетворяет условию $x > 0.5$.

Так как единственное возможное значение $x$ не входит в область допустимых значений, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.