Номер 14.5, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.5, страница 336.
№14.5 (с. 336)
Условие. №14.5 (с. 336)
скриншот условия

14.5 a) $\begin{cases} \sqrt{2 - x + 7} = x + y \\ \log_{2}(x - 2) + \sqrt{y - 1} = 0; \end{cases}$
б) $\begin{cases} \cos x + \cos^2 y = 1 \\ \sin^2 x + \sin y = 2. \end{cases}$
Решение 1. №14.5 (с. 336)


Решение 2. №14.5 (с. 336)

Решение 4. №14.5 (с. 336)
Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} \sqrt{2-x} + 7 = \frac{x+y}{\sqrt{y-1}} \\ \log_2(x-2) + \sqrt{y-1} = 0 \end{cases} $
Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменных $x$ и $y$, исходя из свойств входящих в уравнения функций.
1. Из первого уравнения, подкоренное выражение в левой части должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$, что означает $x \le 2$.
2. Также из первого уравнения, подкоренное выражение в знаменателе дроби должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе: $y-1 > 0$, что означает $y > 1$.
3. Из второго уравнения, выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x-2 > 0$, что означает $x > 2$.
4. Также из второго уравнения, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $y-1 \ge 0$, что означает $y \ge 1$.
Объединим все полученные условия в одну систему неравенств, определяющую ОДЗ:
$ \begin{cases} x \le 2 \\ x > 2 \\ y > 1 \\ y \ge 1 \end{cases} $
Рассмотрим условия, наложенные на переменную $x$: $x \le 2$ и $x > 2$. Эти два неравенства противоречат друг другу. Не существует такого действительного числа $x$, которое было бы одновременно и меньше либо равно двум, и строго больше двух. Следовательно, область допустимых значений для данной системы является пустым множеством.
Поскольку не существует значений $x$ и $y$, при которых оба уравнения системы имели бы смысл, система не имеет решений.
Ответ: решений нет.
б)Рассмотрим систему уравнений:
$ \begin{cases} \cos x + \cos^2 y = 1 \\ \sin^2 x + \sin y = 2 \end{cases} $
Проанализируем второе уравнение системы: $\sin^2 x + \sin y = 2$.
Нам известны области значений для функций синуса и квадрата синуса:
- $0 \le \sin^2 x \le 1$ для любого действительного $x$.
- $-1 \le \sin y \le 1$ для любого действительного $y$.
Сумма двух величин $\sin^2 x$ и $\sin y$ может быть равна 2 только в том случае, когда каждая из них принимает свое максимально возможное значение. Таким образом, второе уравнение эквивалентно системе двух условий:
$ \begin{cases} \sin^2 x = 1 \\ \sin y = 1 \end{cases} $
Теперь воспользуемся этими результатами для анализа первого уравнения: $\cos x + \cos^2 y = 1$.
Из условия $\sin y = 1$ мы можем найти значение $\cos^2 y$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$:
$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - 1^2 = 0$.
Подставим $\cos^2 y = 0$ в первое уравнение исходной системы:
$\cos x + 0 = 1 \implies \cos x = 1$.
Итак, решение исходной системы должно удовлетворять одновременно трем условиям:
$ \begin{cases} \sin^2 x = 1 \\ \cos x = 1 \\ \sin y = 1 \end{cases} $
Рассмотрим условия для переменной $x$: $\cos x = 1$ и $\sin^2 x = 1$. Проверим, могут ли они выполняться одновременно. Если $\cos x = 1$, то, согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы имеем:
$\sin^2 x + 1^2 = 1 \implies \sin^2 x = 1 - 1 = 0$.
Мы получили противоречие: из условия $\cos x = 1$ следует, что $\sin^2 x = 0$, в то время как второе необходимое условие требует, чтобы $\sin^2 x = 1$. Поскольку $0 \ne 1$, не существует такого значения $x$, которое бы удовлетворяло обоим условиям.
Следовательно, исходная система уравнений не имеет решений.
Ответ: решений нет.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.5 расположенного на странице 336 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.5 (с. 336), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.