Номер 14.5, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.5, страница 336.

Условие.

14.5 a) $\begin{cases} \sqrt{2 - x + 7} = x + y \\ \log_{2}(x - 2) + \sqrt{y - 1} = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \cos x + \cos^2 y = 1 \\ \sin^2 x + \sin y = 2. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

a)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{2-x} + 7 = \frac{x+y}{\sqrt{y-1}} \\ \log_2(x-2) + \sqrt{y-1} = 0 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменных $x$ и $y$, исходя из свойств входящих в уравнения функций.

1. Из первого уравнения, подкоренное выражение в левой части должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$, что означает $x \le 2$.

2. Также из первого уравнения, подкоренное выражение в знаменателе дроби должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе: $y-1 > 0$, что означает $y > 1$.

3. Из второго уравнения, выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x-2 > 0$, что означает $x > 2$.

4. Также из второго уравнения, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $y-1 \ge 0$, что означает $y \ge 1$.

Объединим все полученные условия в одну систему неравенств, определяющую ОДЗ:

$ \begin{cases} x \le 2 \\ x > 2 \\ y > 1 \\ y \ge 1 \end{cases} $

Рассмотрим условия, наложенные на переменную $x$: $x \le 2$ и $x > 2$. Эти два неравенства противоречат друг другу. Не существует такого действительного числа $x$, которое было бы одновременно и меньше либо равно двум, и строго больше двух. Следовательно, область допустимых значений для данной системы является пустым множеством.

Поскольку не существует значений $x$ и $y$, при которых оба уравнения системы имели бы смысл, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

б)

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \cos x + \cos^2 y = 1 \\ \sin^2 x + \sin y = 2 \end{cases} $

Проанализируем второе уравнение системы: $\sin^2 x + \sin y = 2$.

Нам известны области значений для функций синуса и квадрата синуса:

• $0 \le \sin^2 x \le 1$ для любого действительного $x$.
• $-1 \le \sin y \le 1$ для любого действительного $y$.

Сумма двух величин $\sin^2 x$ и $\sin y$ может быть равна 2 только в том случае, когда каждая из них принимает свое максимально возможное значение. Таким образом, второе уравнение эквивалентно системе двух условий:

$ \begin{cases} \sin^2 x = 1 \\ \sin y = 1 \end{cases} $

Теперь воспользуемся этими результатами для анализа первого уравнения: $\cos x + \cos^2 y = 1$.

Из условия $\sin y = 1$ мы можем найти значение $\cos^2 y$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$:

$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - 1^2 = 0$.

Подставим $\cos^2 y = 0$ в первое уравнение исходной системы:

$\cos x + 0 = 1 \implies \cos x = 1$.

Итак, решение исходной системы должно удовлетворять одновременно трем условиям:

$ \begin{cases} \sin^2 x = 1 \\ \cos x = 1 \\ \sin y = 1 \end{cases} $

Рассмотрим условия для переменной $x$: $\cos x = 1$ и $\sin^2 x = 1$. Проверим, могут ли они выполняться одновременно. Если $\cos x = 1$, то, согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы имеем:

$\sin^2 x + 1^2 = 1 \implies \sin^2 x = 1 - 1 = 0$.

Мы получили противоречие: из условия $\cos x = 1$ следует, что $\sin^2 x = 0$, в то время как второе необходимое условие требует, чтобы $\sin^2 x = 1$. Поскольку $0 \ne 1$, не существует такого значения $x$, которое бы удовлетворяло обоим условиям.

Следовательно, исходная система уравнений не имеет решений.

Ответ: решений нет.