Номер 14.9, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.9, страница 336.

Условие.

Решите систему уравнений (14.9—14.17):

14.9 а) $\begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0 \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 4x + 4y + 27 = 0 \\ y^2 + 2x + 8y + 10 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0 \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + 7x - y + 11 = 0 \\ y^2 + 3x - y + 15 = 0. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0 \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0 \end{cases}$

Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 - 4x - 2y - 1) + (y^2 - 2x + 6y + 14) = 0 + 0$

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:

$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0$

Это уравнение представляет собой уравнение окружности. Чтобы найти ее центр и радиус, выделим полные квадраты для $x$ и $y$:

$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 13 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 13 + 13 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных чисел (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

$y + 2 = 0 \implies y = -2$

Мы получили единственное возможное решение: $(3, -2)$. Выполним проверку, подставив эти значения в исходные уравнения.

Проверка для первого уравнения:

$3^2 - 4(3) - 2(-2) - 1 = 9 - 12 + 4 - 1 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения:

$(-2)^2 - 2(3) + 6(-2) + 14 = 4 - 6 - 12 + 14 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $(3, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 4y + 27 = 0 \\ y^2 + 2x + 8y + 10 = 0 \end{cases}$

Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 - 4x + 4y + 27) + (y^2 + 2x + 8y + 10) = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2 - 2x + y^2 + 12y + 37 = 0$

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 12y + 36) - 36 + 37 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 6)^2 - 37 + 37 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 6)^2 = 0$

Сумма квадратов равна нулю, если каждый из них равен нулю:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

$y + 6 = 0 \implies y = -6$

Получили решение $(1, -6)$. Проверим его.

Проверка для первого уравнения:

$1^2 - 4(1) + 4(-6) + 27 = 1 - 4 - 24 + 27 = -3 - 24 + 27 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения:

$(-6)^2 + 2(1) + 8(-6) + 10 = 36 + 2 - 48 + 10 = 38 - 48 + 10 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение найдено верно.

Ответ: $(1, -6)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0 \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0 \end{cases}$

Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 - 6x - 3y - 1) + (y^2 + 2x + 9y + 14) = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 = 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 13 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 + 13 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$

Это равенство возможно только если каждый из квадратов равен нулю:

$x - 2 = 0 \implies x = 2$

$y + 3 = 0 \implies y = -3$

Проверим решение $(2, -3)$ в исходной системе.

Проверка для первого уравнения:

$2^2 - 6(2) - 3(-3) - 1 = 4 - 12 + 9 - 1 = 13 - 13 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения:

$(-3)^2 + 2(2) + 9(-3) + 14 = 9 + 4 - 27 + 14 = 13 - 27 + 14 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение найдено верно.

Ответ: $(2, -3)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 7x - y + 11 = 0 \\ y^2 + 3x - y + 15 = 0 \end{cases}$

Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 + 7x - y + 11) + (y^2 + 3x - y + 15) = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2 + 10x + y^2 - 2y + 26 = 0$

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:

$(x^2 + 10x + 25) - 25 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 26 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 - 26 + 26 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 0$

Равенство выполняется только если оба слагаемых равны нулю:

$x + 5 = 0 \implies x = -5$

$y - 1 = 0 \implies y = 1$

Проверим полученное решение $(-5, 1)$ на исходных уравнениях.

Проверка для первого уравнения:

$(-5)^2 + 7(-5) - 1 + 11 = 25 - 35 - 1 + 11 = -10 - 1 + 11 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения:

$1^2 + 3(-5) - 1 + 15 = 1 - 15 - 1 + 15 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение найдено верно.

Ответ: $(-5, 1)$.