Номер 14.9, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Серия: мгу - школе
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087641-4
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 11 классе
Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными. Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы - номер 14.9, страница 336.
№14.9 (с. 336)
Условие. №14.9 (с. 336)
скриншот условия

Решите систему уравнений (14.9—14.17):
14.9 а) $\begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0 \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0; \end{cases}$
б) $\begin{cases} x^2 - 4x + 4y + 27 = 0 \\ y^2 + 2x + 8y + 10 = 0; \end{cases}$
в) $\begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0 \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0; \end{cases}$
г) $\begin{cases} x^2 + 7x - y + 11 = 0 \\ y^2 + 3x - y + 15 = 0. \end{cases}$
Решение 1. №14.9 (с. 336)




Решение 2. №14.9 (с. 336)


Решение 3. №14.9 (с. 336)

Решение 4. №14.9 (с. 336)
а)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0 \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0 \end{cases}$
Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(x^2 - 4x - 2y - 1) + (y^2 - 2x + 6y + 14) = 0 + 0$
Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:
$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0$
Это уравнение представляет собой уравнение окружности. Чтобы найти ее центр и радиус, выделим полные квадраты для $x$ и $y$:
$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 13 = 0$
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 13 + 13 = 0$
$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0$
Сумма двух неотрицательных чисел (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.
$x - 3 = 0 \implies x = 3$
$y + 2 = 0 \implies y = -2$
Мы получили единственное возможное решение: $(3, -2)$. Выполним проверку, подставив эти значения в исходные уравнения.
Проверка для первого уравнения:
$3^2 - 4(3) - 2(-2) - 1 = 9 - 12 + 4 - 1 = 0$
$0 = 0$. Верно.
Проверка для второго уравнения:
$(-2)^2 - 2(3) + 6(-2) + 14 = 4 - 6 - 12 + 14 = 0$
$0 = 0$. Верно.
Следовательно, решение найдено верно.
Ответ: $(3, -2)$.
б)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 4x + 4y + 27 = 0 \\ y^2 + 2x + 8y + 10 = 0 \end{cases}$
Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(x^2 - 4x + 4y + 27) + (y^2 + 2x + 8y + 10) = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$x^2 - 2x + y^2 + 12y + 37 = 0$
Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:
$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 12y + 36) - 36 + 37 = 0$
$(x - 1)^2 + (y + 6)^2 - 37 + 37 = 0$
$(x - 1)^2 + (y + 6)^2 = 0$
Сумма квадратов равна нулю, если каждый из них равен нулю:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$y + 6 = 0 \implies y = -6$
Получили решение $(1, -6)$. Проверим его.
Проверка для первого уравнения:
$1^2 - 4(1) + 4(-6) + 27 = 1 - 4 - 24 + 27 = -3 - 24 + 27 = 0$
$0 = 0$. Верно.
Проверка для второго уравнения:
$(-6)^2 + 2(1) + 8(-6) + 10 = 36 + 2 - 48 + 10 = 38 - 48 + 10 = 0$
$0 = 0$. Верно.
Решение найдено верно.
Ответ: $(1, -6)$.
в)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0 \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0 \end{cases}$
Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(x^2 - 6x - 3y - 1) + (y^2 + 2x + 9y + 14) = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 = 0$
Выделим полные квадраты:
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 13 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 + 13 = 0$
$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$
Это равенство возможно только если каждый из квадратов равен нулю:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$
$y + 3 = 0 \implies y = -3$
Проверим решение $(2, -3)$ в исходной системе.
Проверка для первого уравнения:
$2^2 - 6(2) - 3(-3) - 1 = 4 - 12 + 9 - 1 = 13 - 13 = 0$
$0 = 0$. Верно.
Проверка для второго уравнения:
$(-3)^2 + 2(2) + 9(-3) + 14 = 9 + 4 - 27 + 14 = 13 - 27 + 14 = 0$
$0 = 0$. Верно.
Решение найдено верно.
Ответ: $(2, -3)$.
г)
Дана система уравнений:
$\begin{cases} x^2 + 7x - y + 11 = 0 \\ y^2 + 3x - y + 15 = 0 \end{cases}$
Сложим левые и правые части обоих уравнений:
$(x^2 + 7x - y + 11) + (y^2 + 3x - y + 15) = 0$
Сгруппируем слагаемые:
$x^2 + 10x + y^2 - 2y + 26 = 0$
Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:
$(x^2 + 10x + 25) - 25 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 26 = 0$
$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 - 26 + 26 = 0$
$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 0$
Равенство выполняется только если оба слагаемых равны нулю:
$x + 5 = 0 \implies x = -5$
$y - 1 = 0 \implies y = 1$
Проверим полученное решение $(-5, 1)$ на исходных уравнениях.
Проверка для первого уравнения:
$(-5)^2 + 7(-5) - 1 + 11 = 25 - 35 - 1 + 11 = -10 - 1 + 11 = 0$
$0 = 0$. Верно.
Проверка для второго уравнения:
$1^2 + 3(-5) - 1 + 15 = 1 - 15 - 1 + 15 = 0$
$0 = 0$. Верно.
Решение найдено верно.
Ответ: $(-5, 1)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 11 класс, для упражнения номер 14.9 расположенного на странице 336 к учебнику серии мгу - школе 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №14.9 (с. 336), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.