Номер 14.6, страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Глава 2. Уравнения. Неравенства. Системы. Параграф 14. Системы уравнений с несколькими неизвестными - номер 14.6, страница 336.

Условие.

14.6 Равносильны ли системы:

а) $\begin{cases} \sin x = \cos y \\ \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y \end{cases}$ и $\begin{cases} \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y \\ \sin x = \cos y \end{cases}$;

б) $\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x - 4y = 5 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x = 4y + 5 \end{cases}$;

в) $\begin{cases} 2^x - 3 + y = \frac{1}{8} \\ \sqrt{x} - \sin y = 1 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2^x + 8y = 1 \\ \sqrt{x} = \sin y + 1 \end{cases}$;

г) $\begin{cases} \sin^2 x = y \\ \cos^2 x = y^2 + 1 \end{cases}$ и $\begin{cases} \sin^2 x = y \\ y^2 + y = 0? \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные системы, мы можем либо сравнить их множества решений, либо показать, что одна система может быть получена из другой с помощью равносильных преобразований.

а)Рассмотрим две системы уравнений:
Первая система:$$ \begin{cases} \sin x = \cos y \\ \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y \end{cases} $$Вторая система:$$ \begin{cases} \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y \\ \sin x = \cos y \end{cases} $$Обе системы состоят из одних и тех же уравнений. Порядок, в котором записаны уравнения в системе, не влияет на множество ее решений, так как решение системы должно удовлетворять каждому уравнению одновременно.
Область допустимых значений (ОДЗ) для обеих систем также одинакова и определяется уравнением $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y$. Функция тангенса определена, когда ее аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. Следовательно, для обеих систем должны выполняться условия $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $y \ne \frac{\pi}{2} + \pi m$ для любых целых $k, m$.
Поскольку системы содержат идентичные уравнения и имеют одинаковую область допустимых значений, их множества решений совпадают. Следовательно, системы равносильны.
Ответ: Да, системы равносильны.

б)Рассмотрим две системы уравнений:
Первая система:$$ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x - 4y = 5 \end{cases} $$Вторая система:$$ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x = 4y + 5 \end{cases} $$Первые уравнения в обеих системах идентичны. Второе уравнение второй системы $x = 4y + 5$ получается из второго уравнения первой системы $x - 4y = 5$ путем переноса слагаемого $-4y$ в правую часть уравнения. Это преобразование является равносильным, то есть оно не изменяет множество решений уравнения.
Поскольку вторая система получена из первой путем равносильных преобразований (одно уравнение осталось без изменений, а другое заменено на равносильное ему), множества их решений совпадают. Следовательно, системы равносильны.
Ответ: Да, системы равносильны.

в)Рассмотрим две системы уравнений:
Первая система:$$ \begin{cases} 2^{x-3} + y = \frac{1}{8} \\ \sqrt{x} - \sin y = 1 \end{cases} $$Вторая система:$$ \begin{cases} 2^x + 8y = 1 \\ \sqrt{x} = \sin y + 1 \end{cases} $$Сравним уравнения систем.
1. Преобразуем первое уравнение первой системы: $2^{x-3} + y = \frac{1}{8}$. Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем $\frac{2^x}{2^3} + y = \frac{1}{8}$, что равносильно $\frac{2^x}{8} + y = \frac{1}{8}$. Умножим обе части уравнения на 8 (это равносильное преобразование, так как $8 \ne 0$): $2^x + 8y = 1$. Это в точности первое уравнение второй системы.
2. Преобразуем второе уравнение первой системы: $\sqrt{x} - \sin y = 1$. Прибавим $\sin y$ к обеим частям уравнения (это равносильное преобразование): $\sqrt{x} = \sin y + 1$. Это в точности второе уравнение второй системы.
Область допустимых значений для обеих систем определяется наличием выражения $\sqrt{x}$, то есть $x \ge 0$. Выполненные преобразования не изменяют ОДЗ.
Так как вторая система может быть получена из первой с помощью равносильных преобразований, системы равносильны.
Ответ: Да, системы равносильны.

г)Рассмотрим две системы уравнений:
Первая система (S1):$$ \begin{cases} \sin^2 x = y \\ \cos^2 x = y^2 + 1 \end{cases} $$Вторая система (S2):$$ \begin{cases} \sin^2 x = y \\ y^2 + y = 0 \end{cases} $$Чтобы определить равносильность, найдем и сравним множества решений обеих систем.
Решение для первой системы (S1):Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Подставим в него выражения из уравнений системы:$y + (y^2 + 1) = 1$$y^2 + y + 1 = 1$$y^2 + y = 0$$y(y+1) = 0$Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y=0$ или $y=-1$.

• Если $y = 0$, то из первого уравнения системы $\sin^2 x = 0$, откуда $\sin x = 0$. Это выполняется при $x = \pi k$ для любого целого $k$. Проверим второе уравнение: $\cos^2 x = y^2 + 1$. Так как $\sin^2 x = 0$, то $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1$. Правая часть: $y^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1$. Уравнение $1 = 1$ является верным. Значит, пары $(\pi k, 0)$ являются решениями первой системы.
• Если $y = -1$, то из первого уравнения системы $\sin^2 x = -1$. Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, множество решений первой системы: $\{ (\pi k, 0) \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
Решение для второй системы (S2):Из второго уравнения $y^2 + y = 0$ также следует, что $y=0$ или $y=-1$.

• Если $y = 0$, то из первого уравнения $\sin^2 x = 0$, откуда $x = \pi k$ для любого целого $k$. Таким образом, пары $(\pi k, 0)$ являются решениями второй системы.
• Если $y = -1$, то из первого уравнения $\sin^2 x = -1$, что не имеет действительных решений.

Следовательно, множество решений второй системы: $\{ (\pi k, 0) \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
Так как множества решений обеих систем совпадают, системы равносильны.
Ответ: Да, системы равносильны.