Страница 336 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Докажите, что система уравнений не имеет действительных решений (14.4–14.5):

14.4 а) $\begin{cases} x - 2y = 3 \\ x^2 + y^2 + 1 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} xy = 3 \\ x^2 + y^2 = 4. \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases} x - 2y = 3 \\ x^2 + y^2 + 1 = 0 \end{cases}$

Рассмотрим второе уравнение системы: $x^2 + y^2 + 1 = 0$.

Перенесем 1 в правую часть уравнения:

$x^2 + y^2 = -1$

По определению, для любого действительного числа $x$ его квадрат $x^2$ является неотрицательным числом, то есть $x^2 \ge 0$. Аналогично, $y^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел также является неотрицательным числом:

$x^2 + y^2 \ge 0$

Таким образом, мы приходим к противоречию: левая часть уравнения ($x^2 + y^2$) не может быть отрицательной, в то время как правая часть равна -1. Следовательно, второе уравнение системы не имеет решений в действительных числах. Если хотя бы одно уравнение системы не имеет действительных решений, то и вся система не имеет действительных решений.

Ответ: доказано, что система не имеет действительных решений.

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases} xy = 3 \\ x^2 + y^2 = 4 \end{cases}$

Воспользуемся формулой квадрата разности: $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$.

Эту формулу можно представить в виде $(x - y)^2 = (x^2 + y^2) - 2xy$.

Теперь подставим в это выражение значения из уравнений нашей системы. Из второго уравнения мы знаем, что $x^2 + y^2 = 4$, а из первого — что $xy = 3$.

Получаем:

$(x - y)^2 = 4 - 2 \cdot 3$

$(x - y)^2 = 4 - 6$

$(x - y)^2 = -2$

Для любых действительных чисел $x$ и $y$ их разность $(x - y)$ также является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x - y)^2 \ge 0$.

Мы получили противоречие: левая часть уравнения ($(x - y)^2$) не может быть отрицательной, а правая часть равна -2. Следовательно, не существует таких действительных чисел $x$ и $y$, которые удовлетворяли бы исходной системе уравнений.

Ответ: доказано, что система не имеет действительных решений.

14.5 a) $\begin{cases} \sqrt{2 - x + 7} = x + y \\ \log_{2}(x - 2) + \sqrt{y - 1} = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} \cos x + \cos^2 y = 1 \\ \sin^2 x + \sin y = 2. \end{cases}$

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \sqrt{2-x} + 7 = \frac{x+y}{\sqrt{y-1}} \\ \log_2(x-2) + \sqrt{y-1} = 0 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменных $x$ и $y$, исходя из свойств входящих в уравнения функций.

1. Из первого уравнения, подкоренное выражение в левой части должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0$, что означает $x \le 2$.

2. Также из первого уравнения, подкоренное выражение в знаменателе дроби должно быть строго положительным, так как оно находится в знаменателе: $y-1 > 0$, что означает $y > 1$.

3. Из второго уравнения, выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным: $x-2 > 0$, что означает $x > 2$.

4. Также из второго уравнения, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $y-1 \ge 0$, что означает $y \ge 1$.

Объединим все полученные условия в одну систему неравенств, определяющую ОДЗ:

$ \begin{cases} x \le 2 \\ x > 2 \\ y > 1 \\ y \ge 1 \end{cases} $

Рассмотрим условия, наложенные на переменную $x$: $x \le 2$ и $x > 2$. Эти два неравенства противоречат друг другу. Не существует такого действительного числа $x$, которое было бы одновременно и меньше либо равно двум, и строго больше двух. Следовательно, область допустимых значений для данной системы является пустым множеством.

Поскольку не существует значений $x$ и $y$, при которых оба уравнения системы имели бы смысл, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

Рассмотрим систему уравнений:

$ \begin{cases} \cos x + \cos^2 y = 1 \\ \sin^2 x + \sin y = 2 \end{cases} $

Проанализируем второе уравнение системы: $\sin^2 x + \sin y = 2$.

Нам известны области значений для функций синуса и квадрата синуса:

• $0 \le \sin^2 x \le 1$ для любого действительного $x$.
• $-1 \le \sin y \le 1$ для любого действительного $y$.

Сумма двух величин $\sin^2 x$ и $\sin y$ может быть равна 2 только в том случае, когда каждая из них принимает свое максимально возможное значение. Таким образом, второе уравнение эквивалентно системе двух условий:

$ \begin{cases} \sin^2 x = 1 \\ \sin y = 1 \end{cases} $

Теперь воспользуемся этими результатами для анализа первого уравнения: $\cos x + \cos^2 y = 1$.

Из условия $\sin y = 1$ мы можем найти значение $\cos^2 y$ с помощью основного тригонометрического тождества $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$:

$\cos^2 y = 1 - \sin^2 y = 1 - 1^2 = 0$.

Подставим $\cos^2 y = 0$ в первое уравнение исходной системы:

$\cos x + 0 = 1 \implies \cos x = 1$.

Итак, решение исходной системы должно удовлетворять одновременно трем условиям:

$ \begin{cases} \sin^2 x = 1 \\ \cos x = 1 \\ \sin y = 1 \end{cases} $

Рассмотрим условия для переменной $x$: $\cos x = 1$ и $\sin^2 x = 1$. Проверим, могут ли они выполняться одновременно. Если $\cos x = 1$, то, согласно основному тригонометрическому тождеству $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, мы имеем:

$\sin^2 x + 1^2 = 1 \implies \sin^2 x = 1 - 1 = 0$.

Мы получили противоречие: из условия $\cos x = 1$ следует, что $\sin^2 x = 0$, в то время как второе необходимое условие требует, чтобы $\sin^2 x = 1$. Поскольку $0 \ne 1$, не существует такого значения $x$, которое бы удовлетворяло обоим условиям.

Следовательно, исходная система уравнений не имеет решений.

Ответ: решений нет.

14.6 Равносильны ли системы:

а) $\begin{cases} \sin x = \cos y \\ \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y \end{cases}$ и $\begin{cases} \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y \\ \sin x = \cos y \end{cases}$;

б) $\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x - 4y = 5 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x = 4y + 5 \end{cases}$;

в) $\begin{cases} 2^x - 3 + y = \frac{1}{8} \\ \sqrt{x} - \sin y = 1 \end{cases}$ и $\begin{cases} 2^x + 8y = 1 \\ \sqrt{x} = \sin y + 1 \end{cases}$;

г) $\begin{cases} \sin^2 x = y \\ \cos^2 x = y^2 + 1 \end{cases}$ и $\begin{cases} \sin^2 x = y \\ y^2 + y = 0? \end{cases}$

Две системы уравнений называются равносильными, если множества их решений совпадают. Чтобы определить, равносильны ли данные системы, мы можем либо сравнить их множества решений, либо показать, что одна система может быть получена из другой с помощью равносильных преобразований.

а)Рассмотрим две системы уравнений:
Первая система:$$ \begin{cases} \sin x = \cos y \\ \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y \end{cases} $$Вторая система:$$ \begin{cases} \operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y \\ \sin x = \cos y \end{cases} $$Обе системы состоят из одних и тех же уравнений. Порядок, в котором записаны уравнения в системе, не влияет на множество ее решений, так как решение системы должно удовлетворять каждому уравнению одновременно.
Область допустимых значений (ОДЗ) для обеих систем также одинакова и определяется уравнением $\operatorname{tg} x = \operatorname{tg} y$. Функция тангенса определена, когда ее аргумент не равен $\frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n$ — целое число. Следовательно, для обеих систем должны выполняться условия $x \ne \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $y \ne \frac{\pi}{2} + \pi m$ для любых целых $k, m$.
Поскольку системы содержат идентичные уравнения и имеют одинаковую область допустимых значений, их множества решений совпадают. Следовательно, системы равносильны.
Ответ: Да, системы равносильны.

б)Рассмотрим две системы уравнений:
Первая система:$$ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x - 4y = 5 \end{cases} $$Вторая система:$$ \begin{cases} 2x + 3y = 1 \\ x = 4y + 5 \end{cases} $$Первые уравнения в обеих системах идентичны. Второе уравнение второй системы $x = 4y + 5$ получается из второго уравнения первой системы $x - 4y = 5$ путем переноса слагаемого $-4y$ в правую часть уравнения. Это преобразование является равносильным, то есть оно не изменяет множество решений уравнения.
Поскольку вторая система получена из первой путем равносильных преобразований (одно уравнение осталось без изменений, а другое заменено на равносильное ему), множества их решений совпадают. Следовательно, системы равносильны.
Ответ: Да, системы равносильны.

в)Рассмотрим две системы уравнений:
Первая система:$$ \begin{cases} 2^{x-3} + y = \frac{1}{8} \\ \sqrt{x} - \sin y = 1 \end{cases} $$Вторая система:$$ \begin{cases} 2^x + 8y = 1 \\ \sqrt{x} = \sin y + 1 \end{cases} $$Сравним уравнения систем.
1. Преобразуем первое уравнение первой системы: $2^{x-3} + y = \frac{1}{8}$. Используя свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем $\frac{2^x}{2^3} + y = \frac{1}{8}$, что равносильно $\frac{2^x}{8} + y = \frac{1}{8}$. Умножим обе части уравнения на 8 (это равносильное преобразование, так как $8 \ne 0$): $2^x + 8y = 1$. Это в точности первое уравнение второй системы.
2. Преобразуем второе уравнение первой системы: $\sqrt{x} - \sin y = 1$. Прибавим $\sin y$ к обеим частям уравнения (это равносильное преобразование): $\sqrt{x} = \sin y + 1$. Это в точности второе уравнение второй системы.
Область допустимых значений для обеих систем определяется наличием выражения $\sqrt{x}$, то есть $x \ge 0$. Выполненные преобразования не изменяют ОДЗ.
Так как вторая система может быть получена из первой с помощью равносильных преобразований, системы равносильны.
Ответ: Да, системы равносильны.

г)Рассмотрим две системы уравнений:
Первая система (S1):$$ \begin{cases} \sin^2 x = y \\ \cos^2 x = y^2 + 1 \end{cases} $$Вторая система (S2):$$ \begin{cases} \sin^2 x = y \\ y^2 + y = 0 \end{cases} $$Чтобы определить равносильность, найдем и сравним множества решений обеих систем.
Решение для первой системы (S1):Используем основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Подставим в него выражения из уравнений системы:$y + (y^2 + 1) = 1$$y^2 + y + 1 = 1$$y^2 + y = 0$$y(y+1) = 0$Отсюда получаем два возможных значения для $y$: $y=0$ или $y=-1$.

• Если $y = 0$, то из первого уравнения системы $\sin^2 x = 0$, откуда $\sin x = 0$. Это выполняется при $x = \pi k$ для любого целого $k$. Проверим второе уравнение: $\cos^2 x = y^2 + 1$. Так как $\sin^2 x = 0$, то $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1$. Правая часть: $y^2 + 1 = 0^2 + 1 = 1$. Уравнение $1 = 1$ является верным. Значит, пары $(\pi k, 0)$ являются решениями первой системы.
• Если $y = -1$, то из первого уравнения системы $\sin^2 x = -1$. Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Следовательно, множество решений первой системы: $\{ (\pi k, 0) \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
Решение для второй системы (S2):Из второго уравнения $y^2 + y = 0$ также следует, что $y=0$ или $y=-1$.

• Если $y = 0$, то из первого уравнения $\sin^2 x = 0$, откуда $x = \pi k$ для любого целого $k$. Таким образом, пары $(\pi k, 0)$ являются решениями второй системы.
• Если $y = -1$, то из первого уравнения $\sin^2 x = -1$, что не имеет действительных решений.

Следовательно, множество решений второй системы: $\{ (\pi k, 0) \mid k \in \mathbb{Z} \}$.
Так как множества решений обеих систем совпадают, системы равносильны.
Ответ: Да, системы равносильны.

14.7 Решите систему уравнений методом подстановки:

а) $\begin{cases} x = y + 2 \\ 2x + 3y = 1 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x - y = 1 \\ 2x + 3y = 2 \end{cases}$

в) $\begin{cases} x + 2y = 1 \\ 2^x = 24 \cdot 3^y \end{cases}$

г) $\begin{cases} x - y = \frac{\pi}{2} \\ \sin x \sin y = \frac{1}{4} \end{cases}$

а) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x = y + 2 \\2x + 3y = 1\end{cases}$

В первом уравнении переменная $x$ уже выражена через $y$. Подставим это выражение во второе уравнение системы:

$2(y + 2) + 3y = 1$

Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $y$:

$2y + 4 + 3y = 1$

$5y + 4 = 1$

$5y = 1 - 4$

$5y = -3$

$y = -\frac{3}{5}$

Теперь подставим найденное значение $y$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$x = y + 2 = -\frac{3}{5} + 2 = -\frac{3}{5} + \frac{10}{5} = \frac{7}{5}$

Таким образом, решение системы: $x = \frac{7}{5}$, $y = -\frac{3}{5}$.

Ответ: $(\frac{7}{5}; -\frac{3}{5})$.

б) Дана система уравнений:

$\begin{cases}3x - y = 1 \\2x + 3y = 2\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $y$ через $x$:

$y = 3x - 1$

Подставим это выражение для $y$ во второе уравнение системы:

$2x + 3(3x - 1) = 2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $x$:

$2x + 9x - 3 = 2$

$11x = 5$

$x = \frac{5}{11}$

Теперь подставим найденное значение $x$ в выражение для $y$:

$y = 3x - 1 = 3 \cdot \frac{5}{11} - 1 = \frac{15}{11} - \frac{11}{11} = \frac{4}{11}$

Таким образом, решение системы: $x = \frac{5}{11}$, $y = \frac{4}{11}$.

Ответ: $(\frac{5}{11}; \frac{4}{11})$.

в) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x + 2y = 1 \\2^x = 24 \cdot 3^y\end{cases}$

Из первого (линейного) уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = 1 - 2y$

Подставим это выражение для $x$ во второе (показательное) уравнение:

$2^{1 - 2y} = 24 \cdot 3^y$

Преобразуем левую часть уравнения, используя свойства степеней:

$2^1 \cdot 2^{-2y} = 24 \cdot 3^y$

$2 \cdot (2^2)^{-y} = 24 \cdot 3^y$

$2 \cdot 4^{-y} = 24 \cdot 3^y$

Разделим обе части уравнения на 2:

$4^{-y} = 12 \cdot 3^y$

Перенесем $4^{-y}$ в правую часть (или умножим обе части на $4^y$):

$1 = 12 \cdot 3^y \cdot 4^y$

$1 = 12 \cdot (3 \cdot 4)^y$

$1 = 12 \cdot 12^y$

$1 = 12^{1+y}$

Так как $12^0 = 1$, мы можем приравнять показатели степени:

$1 + y = 0$

$y = -1$

Подставим найденное значение $y$ в выражение для $x$:

$x = 1 - 2y = 1 - 2(-1) = 1 + 2 = 3$

Таким образом, решение системы: $x = 3$, $y = -1$.

Ответ: $(3; -1)$.

г) Дана система уравнений:

$\begin{cases}x - y = \frac{\pi}{2} \\\sin x \sin y = -\frac{1}{4}\end{cases}$

Из первого уравнения выразим $x$ через $y$:

$x = y + \frac{\pi}{2}$

Подставим это выражение для $x$ во второе уравнение:

$\sin(y + \frac{\pi}{2}) \sin y = -\frac{1}{4}$

Используем формулу приведения $\sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos \alpha$:

$\cos y \sin y = -\frac{1}{4}$

Используем формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, откуда $\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$:

$\frac{1}{2} \sin(2y) = -\frac{1}{4}$

Умножим обе части на 2:

$\sin(2y) = -\frac{1}{2}$

Решим это тригонометрическое уравнение. Общее решение для $\sin \alpha = a$ имеет вид $\alpha = (-1)^k \arcsin(a) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

$2y = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

$2y = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

Разделим на 2, чтобы найти $y$:

$y = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Теперь найдем соответствующее значение $x$:

$x = y + \frac{\pi}{2} = \left( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \right) + \frac{\pi}{2} = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(k+1)}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $\left( (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi(k+1)}{2}; \ (-1)^{k+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2} \right), \ k \in \mathbb{Z}$.

14.8 Решите систему уравнений, используя сложение уравнений:

a) $\begin{cases} \sin^2 x + \sqrt{y - 2} = 2 \\ \cos^2 x + \sqrt{y - 2} = 3; \end{cases}$

$\begin{cases} \log_3 (x - 2) + \sqrt{y + 1} = 2 \\ \log_3 (x - 2) - \sqrt{y + 1} = -2; \end{cases}$

$\begin{cases} \sin x \cos x + \cos y = 1 \\ \sin x \cos x - \cos y = 0; \end{cases}$

$\begin{cases} \sin x \cos x - \sqrt{y} = 1 \\ \sin y \cos x + \sqrt{y} = 0; \end{cases}$

$\begin{cases} \sin^2 (2 \cos x) + y^2 = 5 \\ \cos^2 (2 \cos x) + 2y = 4. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin^2 x + \sqrt{y - 2} = 2 \\ \cos^2 x + \sqrt{y - 2} = 3 \end{cases} $
Сложим первое и второе уравнения системы:
$(\sin^2 x + \sqrt{y - 2}) + (\cos^2 x + \sqrt{y - 2}) = 2 + 3$
$\sin^2 x + \cos^2 x + 2\sqrt{y - 2} = 5$
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$, получаем:
$1 + 2\sqrt{y - 2} = 5$
$2\sqrt{y - 2} = 4$
$\sqrt{y - 2} = 2$
Возведем обе части уравнения в квадрат:
$y - 2 = 4$
$y = 6$
Проверим область допустимых значений: $y - 2 \ge 0 \implies y \ge 2$. Значение $y=6$ удовлетворяет этому условию.
Теперь вычтем первое уравнение из второго:
$(\cos^2 x + \sqrt{y - 2}) - (\sin^2 x + \sqrt{y - 2}) = 3 - 2$
$\cos^2 x - \sin^2 x = 1$
Используя формулу косинуса двойного угла $\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x$:
$\cos(2x) = 1$
Отсюда $2x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\pi n, 6)$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \log_3(x - 2) + \sqrt{y + 1} = 2 \\ \log_3(x - 2) - \sqrt{y + 1} = -2 \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(\log_3(x - 2) + \sqrt{y + 1}) + (\log_3(x - 2) - \sqrt{y + 1}) = 2 + (-2)$
$2\log_3(x - 2) = 0$
$\log_3(x - 2) = 0$
По определению логарифма:
$x - 2 = 3^0$
$x - 2 = 1$
$x = 3$
Проверим ОДЗ логарифма: $x - 2 > 0 \implies x > 2$. Значение $x=3$ удовлетворяет условию.
Теперь вычтем второе уравнение из первого:
$(\log_3(x - 2) + \sqrt{y + 1}) - (\log_3(x - 2) - \sqrt{y + 1}) = 2 - (-2)$
$2\sqrt{y + 1} = 4$
$\sqrt{y + 1} = 2$
Возведем обе части в квадрат:
$y + 1 = 4$
$y = 3$
Проверим ОДЗ корня: $y + 1 \ge 0 \implies y \ge -1$. Значение $y=3$ удовлетворяет условию.

Ответ: $(3, 3)$.

в)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin x \cos x + \cos y = 1 \\ \sin x \cos x - \cos y = 0 \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(\sin x \cos x + \cos y) + (\sin x \cos x - \cos y) = 1 + 0$
$2\sin x \cos x = 1$
Используя формулу синуса двойного угла $\sin(2x) = 2\sin x \cos x$:
$\sin(2x) = 1$
$2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Вычтем второе уравнение из первого:
$(\sin x \cos x + \cos y) - (\sin x \cos x - \cos y) = 1 - 0$
$2\cos y = 1$
$\cos y = \frac{1}{2}$
$y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + \pi n, \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k)$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.

г)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin x \cos x - \sqrt{y} = 1 \\ \sin y \cos x + \sqrt{y} = 0 \end{cases} $
Сложим оба уравнения:
$(\sin x \cos x - \sqrt{y}) + (\sin y \cos x + \sqrt{y}) = 1 + 0$
$\sin x \cos x + \sin y \cos x = 1$
$\cos x (\sin x + \sin y) = 1$
Из второго уравнения системы выразим $\sqrt{y}$:
$\sqrt{y} = -\sin y \cos x$
Поскольку $\sqrt{y} \ge 0$, должно выполняться условие $-\sin y \cos x \ge 0$, то есть $\sin y \cos x \le 0$.
Это означает, что $\cos x$ и $\sin y$ имеют разные знаки или один из них равен нулю.
Из уравнения $\cos x (\sin x + \sin y) = 1$ следует, что $\cos x \ne 0$.
Рассмотрим два случая:
1. $\cos x > 0$. Тогда из условия $\sin y \cos x \le 0$ следует, что $\sin y \le 0$.
Из уравнения $\cos x (\sin x + \sin y) = 1$ следует, что $\sin x + \sin y = \frac{1}{\cos x} > 0$.
Так как $\sin y \le 0$, то для выполнения $\sin x + \sin y > 0$ необходимо, чтобы $\sin x > 0$.
Из $\sin x + \sin y = \frac{1}{\cos x}$ и $\sin y \le 0$ следует, что $\sin x \ge \frac{1}{\cos x}$.
Умножим обе части на $\cos x > 0$: $\sin x \cos x \ge 1$.
$\frac{1}{2} \sin(2x) \ge 1 \implies \sin(2x) \ge 2$. Это неравенство не имеет решений, так как $|\sin(2x)| \le 1$.
2. $\cos x < 0$. Тогда из условия $\sin y \cos x \le 0$ следует, что $\sin y \ge 0$.
Из уравнения $\cos x (\sin x + \sin y) = 1$ следует, что $\sin x + \sin y = \frac{1}{\cos x} < 0$.
Так как $\sin y \ge 0$, то для выполнения $\sin x + \sin y < 0$ необходимо, чтобы $\sin x < 0$.
Из $\sin x + \sin y = \frac{1}{\cos x}$ и $\sin y \ge 0$ следует, что $\sin x \le \frac{1}{\cos x}$.
Умножим обе части на $\cos x < 0$ (знак неравенства меняется на противоположный): $\sin x \cos x \ge 1$.
$\frac{1}{2} \sin(2x) \ge 1 \implies \sin(2x) \ge 2$. Это неравенство также не имеет решений.
Оба случая приводят к противоречию, следовательно, система не имеет решений.

Ответ: решений нет.

д)

Дана система уравнений:
$ \begin{cases} \sin^2(2\cos x) + y^2 = 5 \\ \cos^2(2\cos x) + 2y = 4 \end{cases} $
Сложим уравнения системы:
$(\sin^2(2\cos x) + y^2) + (\cos^2(2\cos x) + 2y) = 5 + 4$
$\sin^2(2\cos x) + \cos^2(2\cos x) + y^2 + 2y = 9$
Применяя тождество $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ для $\alpha = 2\cos x$:
$1 + y^2 + 2y = 9$
$y^2 + 2y - 8 = 0$
Решим квадратное уравнение относительно $y$:
$y = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-8)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 \pm 6}{2}$
Получаем два возможных значения для $y$:
$y_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2$
$y_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4$
Подставим каждое значение $y$ в одно из исходных уравнений, например, во второе: $\cos^2(2\cos x) + 2y = 4$.
Случай 1: $y = 2$.
$\cos^2(2\cos x) + 2(2) = 4$
$\cos^2(2\cos x) + 4 = 4$
$\cos^2(2\cos x) = 0 \implies \cos(2\cos x) = 0$
$2\cos x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
$\cos x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$
Так как $-1 \le \cos x \le 1$, то $-1 \le \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2} \le 1$.
Умножим на $\frac{4}{\pi}$: $-\frac{4}{\pi} \le 1 + 2n \le \frac{4}{\pi}$.
Приблизительно $-1.27 \le 1 + 2n \le 1.27$.
$-2.27 \le 2n \le 0.27$
$-1.135 \le n \le 0.135$
Целочисленные значения $n$, удовлетворяющие этому неравенству: $n=0$ и $n=-1$.
При $n=0$: $\cos x = \frac{\pi}{4}$. Это возможно, так как $|\frac{\pi}{4}| < 1$. Отсюда $x = \pm\arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
При $n=-1$: $\cos x = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} = -\frac{\pi}{4}$. Это возможно, так как $|-\frac{\pi}{4}| < 1$. Отсюда $x = \pm\arccos(-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Случай 2: $y = -4$.
$\cos^2(2\cos x) + 2(-4) = 4$
$\cos^2(2\cos x) - 8 = 4$
$\cos^2(2\cos x) = 12$. Это уравнение не имеет решений, так как $\cos^2\alpha \le 1$.
Таким образом, единственное возможное значение для $y$ - это $y=2$.

Ответ: $(x, 2)$, где $x = \pm\arccos(\frac{\pi}{4}) + 2\pi k$ или $x = \pm\arccos(-\frac{\pi}{4}) + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Решите систему уравнений (14.9—14.17):

14.9 а) $\begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0 \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 - 4x + 4y + 27 = 0 \\ y^2 + 2x + 8y + 10 = 0; \end{cases}$

в) $\begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0 \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0; \end{cases}$

г) $\begin{cases} x^2 + 7x - y + 11 = 0 \\ y^2 + 3x - y + 15 = 0. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 4x - 2y - 1 = 0 \\ y^2 - 2x + 6y + 14 = 0 \end{cases}$

Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 - 4x - 2y - 1) + (y^2 - 2x + 6y + 14) = 0 + 0$

Сгруппируем слагаемые с переменными $x$ и $y$:

$x^2 - 6x + y^2 + 4y + 13 = 0$

Это уравнение представляет собой уравнение окружности. Чтобы найти ее центр и радиус, выделим полные квадраты для $x$ и $y$:

$(x^2 - 6x + 9) - 9 + (y^2 + 4y + 4) - 4 + 13 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 - 13 + 13 = 0$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 0$

Сумма двух неотрицательных чисел (квадратов) равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю.

$x - 3 = 0 \implies x = 3$

$y + 2 = 0 \implies y = -2$

Мы получили единственное возможное решение: $(3, -2)$. Выполним проверку, подставив эти значения в исходные уравнения.

Проверка для первого уравнения:

$3^2 - 4(3) - 2(-2) - 1 = 9 - 12 + 4 - 1 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения:

$(-2)^2 - 2(3) + 6(-2) + 14 = 4 - 6 - 12 + 14 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Следовательно, решение найдено верно.

Ответ: $(3, -2)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 4x + 4y + 27 = 0 \\ y^2 + 2x + 8y + 10 = 0 \end{cases}$

Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 - 4x + 4y + 27) + (y^2 + 2x + 8y + 10) = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2 - 2x + y^2 + 12y + 37 = 0$

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:

$(x^2 - 2x + 1) - 1 + (y^2 + 12y + 36) - 36 + 37 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 6)^2 - 37 + 37 = 0$

$(x - 1)^2 + (y + 6)^2 = 0$

Сумма квадратов равна нулю, если каждый из них равен нулю:

$x - 1 = 0 \implies x = 1$

$y + 6 = 0 \implies y = -6$

Получили решение $(1, -6)$. Проверим его.

Проверка для первого уравнения:

$1^2 - 4(1) + 4(-6) + 27 = 1 - 4 - 24 + 27 = -3 - 24 + 27 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения:

$(-6)^2 + 2(1) + 8(-6) + 10 = 36 + 2 - 48 + 10 = 38 - 48 + 10 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение найдено верно.

Ответ: $(1, -6)$.

в)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 - 6x - 3y - 1 = 0 \\ y^2 + 2x + 9y + 14 = 0 \end{cases}$

Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 - 6x - 3y - 1) + (y^2 + 2x + 9y + 14) = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2 - 4x + y^2 + 6y + 13 = 0$

Выделим полные квадраты:

$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 + 13 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 - 13 + 13 = 0$

$(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 0$

Это равенство возможно только если каждый из квадратов равен нулю:

$x - 2 = 0 \implies x = 2$

$y + 3 = 0 \implies y = -3$

Проверим решение $(2, -3)$ в исходной системе.

Проверка для первого уравнения:

$2^2 - 6(2) - 3(-3) - 1 = 4 - 12 + 9 - 1 = 13 - 13 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения:

$(-3)^2 + 2(2) + 9(-3) + 14 = 9 + 4 - 27 + 14 = 13 - 27 + 14 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение найдено верно.

Ответ: $(2, -3)$.

г)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x^2 + 7x - y + 11 = 0 \\ y^2 + 3x - y + 15 = 0 \end{cases}$

Сложим левые и правые части обоих уравнений:

$(x^2 + 7x - y + 11) + (y^2 + 3x - y + 15) = 0$

Сгруппируем слагаемые:

$x^2 + 10x + y^2 - 2y + 26 = 0$

Выделим полные квадраты для $x$ и $y$:

$(x^2 + 10x + 25) - 25 + (y^2 - 2y + 1) - 1 + 26 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 - 26 + 26 = 0$

$(x + 5)^2 + (y - 1)^2 = 0$

Равенство выполняется только если оба слагаемых равны нулю:

$x + 5 = 0 \implies x = -5$

$y - 1 = 0 \implies y = 1$

Проверим полученное решение $(-5, 1)$ на исходных уравнениях.

Проверка для первого уравнения:

$(-5)^2 + 7(-5) - 1 + 11 = 25 - 35 - 1 + 11 = -10 - 1 + 11 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Проверка для второго уравнения:

$1^2 + 3(-5) - 1 + 15 = 1 - 15 - 1 + 15 = 0$

$0 = 0$. Верно.

Решение найдено верно.

Ответ: $(-5, 1)$.