Страница 331 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите неравенство (13.37–13.38):

13.37 a) $3 \sin^8 2x - 8 \cos^7 4x \ge 11;$

б) $11 \sin^7 3x - 2 \cos^4 2x \le -13;$

в) $5 \sin^7 2x - 9 \cos^4 4x \le -14;$

г) $13 \sin^4 3x + 2 \cos^8 2x \ge 15.$

Рассмотрим неравенство $3 \sin^8 2x - 8 \cos^7 4x \ge 11$.

Оценим значения, которые могут принимать слагаемые в левой части неравенства. Функция синус ограничена: $-1 \le \sin 2x \le 1$. Поскольку показатель степени четный, $0 \le \sin^8 2x \le 1$.
Следовательно, первое слагаемое $3 \sin^8 2x$ находится в пределах $0 \le 3 \sin^8 2x \le 3$.

Функция косинус также ограничена: $-1 \le \cos 4x \le 1$. Поскольку показатель степени нечетный, $-1 \le \cos^7 4x \le 1$.
Следовательно, второе слагаемое $-8 \cos^7 4x$ находится в пределах $-8 \le -8 \cos^7 4x \le 8$.

Максимальное возможное значение левой части неравенства равно сумме максимальных значений ее слагаемых: $3 \sin^8 2x - 8 \cos^7 4x \le 3 + 8 = 11$.

Исходное неравенство $3 \sin^8 2x - 8 \cos^7 4x \ge 11$ может выполняться только в том случае, когда левая часть равна своему максимальному значению, то есть 11.

Это достигается только при одновременном выполнении условий, при которых каждое слагаемое принимает свое максимальное значение: $\begin{cases} 3 \sin^8 2x = 3 \\ -8 \cos^7 4x = 8 \end{cases}$

Решим эту систему уравнений: $\begin{cases} \sin^8 2x = 1 \\ \cos^7 4x = -1 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin^2 2x = 1 \\ \cos 4x = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения $\sin^2 2x = 1$ следует, что $\sin 2x = \pm 1$. Решением является $2x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения $\cos 4x = -1$ следует, что $4x = \pi + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Отсюда $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Множества решений для обоих уравнений полностью совпадают. Таким образом, решением исходного неравенства является найденная серия корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим неравенство $11 \sin^7 3x - 2 \cos^4 2x \le -13$.

Оценим значения, которые могут принимать слагаемые в левой части неравенства. $-1 \le \sin 3x \le 1 \implies -1 \le \sin^7 3x \le 1 \implies -11 \le 11 \sin^7 3x \le 11$.

$-1 \le \cos 2x \le 1 \implies 0 \le \cos^4 2x \le 1 \implies -2 \le -2 \cos^4 2x \le 0$.

Минимальное возможное значение левой части неравенства равно сумме минимальных значений ее слагаемых: $11 \sin^7 3x - 2 \cos^4 2x \ge -11 - 2 = -13$.

Исходное неравенство $11 \sin^7 3x - 2 \cos^4 2x \le -13$ может выполняться только в том случае, когда левая часть равна своему минимальному значению, то есть -13.

Это достигается только при одновременном выполнении условий: $\begin{cases} 11 \sin^7 3x = -11 \\ -2 \cos^4 2x = -2 \end{cases}$

Решим систему: $\begin{cases} \sin^7 3x = -1 \\ \cos^4 2x = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin 3x = -1 \\ \cos^2 2x = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения: $\sin 3x = -1 \implies 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения: $\cos^2 2x = 1 \implies \cos 2x = \pm 1 \implies 2x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение этих двух множеств решений, приравняв выражения для $x$: $-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi n}{2}$
Умножим обе части на $6/\pi$: $-1 + 4k = 3n \implies 4k - 3n = 1$.
Это линейное диофантово уравнение. Одно из частных решений: $k=1, n=1$. Общее решение для $k$ можно записать как $k = 1 + 3m$ для любого целого $m$.
Подставим это в первую серию решений для $x$: $x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi(1+3m)}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi}{3} + 2\pi m = \frac{-\pi+4\pi}{6} + 2\pi m = \frac{3\pi}{6} + 2\pi m = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим неравенство $5 \sin^7 2x - 9 \cos^4 4x \le -14$.

Оценим левую часть неравенства. $-1 \le \sin 2x \le 1 \implies -1 \le \sin^7 2x \le 1 \implies -5 \le 5 \sin^7 2x \le 5$.

$-1 \le \cos 4x \le 1 \implies 0 \le \cos^4 4x \le 1 \implies -9 \le -9 \cos^4 4x \le 0$.

Минимальное возможное значение левой части равно сумме минимальных значений слагаемых: $5 \sin^7 2x - 9 \cos^4 4x \ge -5 - 9 = -14$.

Следовательно, неравенство $5 \sin^7 2x - 9 \cos^4 4x \le -14$ выполняется только при условии равенства, то есть когда левая часть равна -14.

Это возможно, только если оба слагаемых принимают свои минимальные значения: $\begin{cases} 5 \sin^7 2x = -5 \\ -9 \cos^4 4x = -9 \end{cases}$

Решим систему: $\begin{cases} \sin^7 2x = -1 \\ \cos^4 4x = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin 2x = -1 \\ \cos^2 4x = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения: $\sin 2x = -1 \implies 2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Проверим, удовлетворяют ли эти значения второму уравнению системы. Подставим найденное $x$ в выражение $\cos 4x$: $4x = 4(-\frac{\pi}{4} + \pi k) = -\pi + 4\pi k$.
$\cos(4x) = \cos(-\pi + 4\pi k) = \cos(-\pi) = -1$.
Тогда $\cos^4 4x = (-1)^4 = 1$. Второе уравнение выполняется. Значит, решения первого уравнения являются решениями системы.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Рассмотрим неравенство $13 \sin^4 3x + 2 \cos^8 2x \ge 15$.

Оценим левую часть неравенства. $0 \le \sin^2 3x \le 1 \implies 0 \le \sin^4 3x \le 1 \implies 0 \le 13 \sin^4 3x \le 13$.

$0 \le \cos^2 2x \le 1 \implies 0 \le \cos^8 2x \le 1 \implies 0 \le 2 \cos^8 2x \le 2$.

Максимальное возможное значение левой части равно сумме максимальных значений слагаемых: $13 \sin^4 3x + 2 \cos^8 2x \le 13 + 2 = 15$.

Следовательно, неравенство $13 \sin^4 3x + 2 \cos^8 2x \ge 15$ выполняется только при условии равенства, то есть когда левая часть равна 15.

Это возможно, только если оба слагаемых принимают свои максимальные значения: $\begin{cases} 13 \sin^4 3x = 13 \\ 2 \cos^8 2x = 2 \end{cases}$

Решим систему: $\begin{cases} \sin^4 3x = 1 \\ \cos^8 2x = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin^2 3x = 1 \\ \cos^2 2x = 1 \end{cases}$

Из первого уравнения: $\sin^2 3x = 1 \implies \sin 3x = \pm 1 \implies 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

Из второго уравнения: $\cos^2 2x = 1 \implies \cos 2x = \pm 1 \implies 2x = \pi n, n \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение множеств решений: $\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi n}{2}$
Умножим на $6/\pi$: $1 + 2k = 3n \implies 2k - 3n = -1$.
Частное решение: $k=1, n=1$. Общее решение для $k$: $k=1+3m$ для $m \in \mathbb{Z}$.
Подставим в первую серию решений: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi(1+3m)}{3} = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} + \pi m = \frac{\pi+2\pi}{6} + \pi m = \frac{3\pi}{6} + \pi m = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.

13.38 a) $7 \sin^3 2x - 10 \cos^5 4x + 13 \cos^7 8x \ge 30;$

б) $3 \sin^4 \frac{x}{2} + 11 \cos^6 2x + 16 \cos^3 4x \ge 30.$

а) $7\sin^3(2x) - 10\cos^5(4x) + 13\cos^7(8x) \geq 30$

Оценим левую часть неравенства. Поскольку функции синуса и косинуса ограничены от -1 до 1, то есть $-1 \leq \sin(2x) \leq 1$, $-1 \leq \cos(4x) \leq 1$ и $-1 \leq \cos(8x) \leq 1$ для любых значений $x$, мы можем найти максимальные значения для каждого слагаемого:

$7\sin^3(2x) \leq 7 \cdot 1^3 = 7$
$-10\cos^5(4x) \leq -10 \cdot (-1)^5 = 10$
$13\cos^7(8x) \leq 13 \cdot 1^7 = 13$

Следовательно, максимальное значение левой части неравенства равно сумме максимальных значений каждого слагаемого: $7 + 10 + 13 = 30$.

Таким образом, неравенство $7\sin^3(2x) - 10\cos^5(4x) + 13\cos^7(8x) \geq 30$ может выполняться только в том случае, когда левая часть равна своему максимальному значению, то есть 30. Это возможно, только если каждое слагаемое одновременно принимает свое максимальное значение. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} \sin^3(2x) = 1 \\ \cos^5(4x) = -1 \\ \cos^7(8x) = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin(2x) = 1 \\ \cos(4x) = -1 \\ \cos(8x) = 1 \end{cases}$

Решим эту систему. Если $\sin(2x) = 1$, то по формуле двойного угла для косинуса имеем $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2(1)^2 = -1$, что удовлетворяет второму уравнению. Аналогично, $\cos(8x) = 2\cos^2(4x) - 1 = 2(-1)^2 - 1 = 1$, что удовлетворяет третьему уравнению. Следовательно, система равносильна одному уравнению:

$\sin(2x) = 1$

Решая его, получаем: $2x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$
$x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $3\sin^4(\frac{x}{2}) + 11\cos^6(2x) + 16\cos^3(4x) \geq 30$

Оценим левую часть неравенства, используя свойства тригонометрических функций. Для любых $x$ имеем:

$0 \leq \sin^4(\frac{x}{2}) \leq 1 \implies 0 \leq 3\sin^4(\frac{x}{2}) \leq 3$
$0 \leq \cos^6(2x) \leq 1 \implies 0 \leq 11\cos^6(2x) \leq 11$
$-1 \leq \cos(4x) \leq 1 \implies -1 \leq \cos^3(4x) \leq 1 \implies -16 \leq 16\cos^3(4x) \leq 16$

Сложив максимальные значения каждого слагаемого, получим максимальное значение левой части: $3 + 11 + 16 = 30$.

Неравенство $3\sin^4(\frac{x}{2}) + 11\cos^6(2x) + 16\cos^3(4x) \geq 30$ выполняется только тогда, когда его левая часть достигает своего максимального значения, равного 30. Это происходит, когда каждое слагаемое одновременно достигает своего максимума. Запишем соответствующую систему уравнений:

$\begin{cases} \sin^4(\frac{x}{2}) = 1 \\ \cos^6(2x) = 1 \\ \cos^3(4x) = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} \sin^2(\frac{x}{2}) = 1 \\ \cos^2(2x) = 1 \\ \cos(4x) = 1 \end{cases}$

Рассмотрим эту систему. Из первого уравнения $\sin^2(\frac{x}{2}) = 1$, используя формулу понижения степени $\sin^2(\alpha) = \frac{1-\cos(2\alpha)}{2}$, получаем $\frac{1-\cos(x)}{2} = 1$, откуда $1-\cos(x) = 2$, то есть $\cos(x) = -1$.

Проверим, выполняются ли остальные условия системы при $\cos(x)=-1$.

Если $\cos(x)=-1$, то $\cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 = 2(-1)^2 - 1 = 1$. Тогда $\cos^6(2x) = 1^6 = 1$. Второе уравнение выполняется.

Если $\cos(2x)=1$, то $\cos(4x) = 2\cos^2(2x) - 1 = 2(1)^2 - 1 = 1$. Третье уравнение также выполняется.

Таким образом, вся система равносильна одному уравнению $\cos(x)=-1$.

Решением уравнения $\cos(x)=-1$ является $x = \pi + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.