Страница 337 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

14.10 а) $\begin{cases} 3^y + x = 10 \\ y - \log_3 x = 2; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2^x + y = 5 \\ x - \log_2 y = 2; \end{cases}$

в) $\begin{cases} 2^x = 12 \\ \log_2 y - x = 2. \end{cases}$

а) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 3^y + x = 10 \\ y - \log_3 x = 2 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для этой системы определяется логарифмическим выражением: $x > 0$.

Из второго уравнения выразим $x$ через $y$.

$y - 2 = \log_3 x$

По определению логарифма ($ \log_a b = c \iff a^c = b $):

$x = 3^{y-2}$

Подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$3^y + 3^{y-2} = 10$

Используем свойство степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$:

$3^y + \frac{3^y}{3^2} = 10$

$3^y + \frac{3^y}{9} = 10$

Введем замену: пусть $t = 3^y$. Поскольку $3^y > 0$, то и $t > 0$. Уравнение примет вид:

$t + \frac{t}{9} = 10$

Умножим обе части уравнения на 9, чтобы избавиться от дроби:

$9t + t = 90$

$10t = 90$

$t = 9$

Вернемся к замене:

$3^y = 9$

$3^y = 3^2$

Отсюда $y = 2$.

Теперь найдем $x$, подставив значение $y$ в выражение $x = 3^{y-2}$:

$x = 3^{2-2} = 3^0 = 1$

Найденная пара $(1, 2)$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$). Проверим решение, подставив значения в исходную систему:

1) $3^2 + 1 = 9 + 1 = 10$. Верно.

2) $2 - \log_3 1 = 2 - 0 = 2$. Верно.

Ответ: $(1, 2)$.

б) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 2^x + y = 5 \\ x - \log_2 y = 2 \end{cases}$

ОДЗ для этой системы: $y > 0$.

Из второго уравнения выразим $y$ через $x$.

$x - 2 = \log_2 y$

По определению логарифма:

$y = 2^{x-2}$

Подставим это выражение для $y$ в первое уравнение системы:

$2^x + 2^{x-2} = 5$

Используем свойство степеней:

$2^x + \frac{2^x}{2^2} = 5$

$2^x + \frac{2^x}{4} = 5$

Введем замену: пусть $t = 2^x$ (где $t > 0$).

$t + \frac{t}{4} = 5$

Умножим обе части уравнения на 4:

$4t + t = 20$

$5t = 20$

$t = 4$

Вернемся к замене:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

Отсюда $x = 2$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $x$ в выражение $y = 2^{x-2}$:

$y = 2^{2-2} = 2^0 = 1$

Найденная пара $(2, 1)$ удовлетворяет ОДЗ ($1 > 0$). Проверим решение:

1) $2^2 + 1 = 4 + 1 = 5$. Верно.

2) $2 - \log_2 1 = 2 - 0 = 2$. Верно.

Ответ: $(2, 1)$.

в) Решим систему уравнений:

$\begin{cases} 2^x = 12 \\ \log_2 y - x = 2 \end{cases}$

ОДЗ для этой системы: $y > 0$.

Из первого уравнения найдем $x$ путем логарифмирования обеих частей по основанию 2:

$x = \log_2 12$

Подставим найденное значение $x$ во второе уравнение системы:

$\log_2 y - \log_2 12 = 2$

Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \left(\frac{b}{c}\right)$:

$\log_2 \left(\frac{y}{12}\right) = 2$

По определению логарифма:

$\frac{y}{12} = 2^2$

$\frac{y}{12} = 4$

Найдем $y$:

$y = 4 \times 12 = 48$

Найденное значение $y=48$ удовлетворяет ОДЗ ($48 > 0$). Проверим решение $(\log_2 12, 48)$:

1) $2^{\log_2 12} = 12$. Верно по основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$.

2) $\log_2 48 - \log_2 12 = \log_2\left(\frac{48}{12}\right) = \log_2 4 = 2$. Верно.

Ответ: $(\log_2 12, 48)$.

14.11 a) $\begin{cases} x + 2y = 13 \\ 2\log_4 x - \log_4 (2y - 1) = 0,5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} 2x - y = 19 \\ \log_9 (2x - 1) - \log_9 y = -0,5. \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 13 \\ 2\log_4 x - \log_4(2y - 1) = 0.5 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмического уравнения. Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:

1. $x > 0$

2. $2y - 1 > 0 \implies 2y > 1 \implies y > 0.5$

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Используем свойство степени логарифма $n\log_a b = \log_a(b^n)$ и свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$:

$2\log_4 x - \log_4(2y - 1) = 0.5$

$\log_4(x^2) - \log_4(2y - 1) = 0.5$

$\log_4\left(\frac{x^2}{2y - 1}\right) = 0.5$

По определению логарифма ($\log_a b = c \iff a^c = b$):

$\frac{x^2}{2y - 1} = 4^{0.5}$

Так как $4^{0.5} = 4^{1/2} = \sqrt{4} = 2$, получаем:

$\frac{x^2}{2y - 1} = 2$

$x^2 = 2(2y - 1) \implies x^2 = 4y - 2$

Теперь решим систему уравнений:

$ \begin{cases} x + 2y = 13 \\ x^2 = 4y - 2 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $2y$: $2y = 13 - x$. Тогда $4y = 2(13-x) = 26 - 2x$.

Подставим это выражение для $4y$ во второе уравнение:

$x^2 = (26 - 2x) - 2$

$x^2 = 24 - 2x$

$x^2 + 2x - 24 = 0$

Это квадратное уравнение. Решим его, например, по теореме Виета. Ищем два числа, произведение которых равно $-24$, а сумма равна $-2$. Это числа $4$ и $-6$.

$x_1 = 4$, $x_2 = -6$.

Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$).

Корень $x_1 = 4$ удовлетворяет условию $x > 0$.

Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию $x > 0$, следовательно, это посторонний корень.

Найдем соответствующее значение $y$ для $x = 4$, используя выражение $2y = 13 - x$:

$2y = 13 - 4 \implies 2y = 9 \implies y = 4.5$.

Проверим значение $y=4.5$ на соответствие ОДЗ ($y > 0.5$). Условие $4.5 > 0.5$ выполняется.

Таким образом, решение системы - пара чисел $(4; 4.5)$.

Ответ: $(4; 4.5)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 19 \\ \log_9(2x - 1) - \log_9 y = -0.5 \end{cases} $

Найдем область допустимых значений (ОДЗ):

1. $2x - 1 > 0 \implies 2x > 1 \implies x > 0.5$

2. $y > 0$

Преобразуем второе уравнение, используя свойство разности логарифмов:

$\log_9\left(\frac{2x - 1}{y}\right) = -0.5$

По определению логарифма:

$\frac{2x - 1}{y} = 9^{-0.5}$

Так как $9^{-0.5} = 9^{-1/2} = \frac{1}{9^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{9}} = \frac{1}{3}$, получаем:

$\frac{2x - 1}{y} = \frac{1}{3}$

$3(2x - 1) = y \implies y = 6x - 3$

Теперь решим систему линейных уравнений:

$ \begin{cases} 2x - y = 19 \\ y = 6x - 3 \end{cases} $

Подставим выражение для $y$ из второго уравнения в первое:

$2x - (6x - 3) = 19$

$2x - 6x + 3 = 19$

$-4x = 19 - 3$

$-4x = 16$

$x = -4$

Проверим найденное значение $x$ на соответствие ОДЗ ($x > 0.5$).

Значение $x = -4$ не удовлетворяет условию $x > 0.5$.

Так как единственное возможное значение $x$ не входит в область допустимых значений, система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

14.12 a) $$\begin{cases} y + x^2 = 3 \\ 1 + 2\log_3(x+1) = \log_3 y \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x + 2y^2 = 3 \\ 2\log_2(y+1) = 2 + \log_2 x \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} y + x^2 = 3 \\ 1 + 2\log_3(x+1) = \log_3 y \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из наличия логарифмов в системе следуют ограничения:

$x+1 > 0 \implies x > -1$

$y > 0$

Из первого уравнения системы выразим $y$: $y = 3 - x^2$.

Подставим это в условие $y > 0$:

$3 - x^2 > 0 \implies x^2 < 3 \implies -\sqrt{3} < x < \sqrt{3}$.

Объединяя условия на $x$, получаем ОДЗ для $x$: $-1 < x < \sqrt{3}$.

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Представим $1$ как $\log_3 3$ и воспользуемся свойствами логарифмов ($n \log_a b = \log_a b^n$ и $\log_a b + \log_a c = \log_a(bc)$):

$\log_3 3 + 2\log_3(x+1) = \log_3 y$

$\log_3 3 + \log_3(x+1)^2 = \log_3 y$

$\log_3(3(x+1)^2) = \log_3 y$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$y = 3(x+1)^2$

Теперь у нас есть два выражения для $y$: $y = 3 - x^2$ и $y = 3(x+1)^2$. Приравняем их:

$3 - x^2 = 3(x+1)^2$

$3 - x^2 = 3(x^2 + 2x + 1)$

$3 - x^2 = 3x^2 + 6x + 3$

$4x^2 + 6x = 0$

$2x(2x+3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $x$:

$x_1 = 0$

$x_2 = -1.5$

Проверим найденные значения $x$ на соответствие ОДЗ ($-1 < x < \sqrt{3}$):

$x_1 = 0$ удовлетворяет условию $-1 < 0 < \sqrt{3}$.

$x_2 = -1.5$ не удовлетворяет условию $x > -1$, поэтому это посторонний корень.

Единственный подходящий корень $x=0$. Найдем соответствующее значение $y$:

$y = 3 - x^2 = 3 - 0^2 = 3$.

Проверим найденное решение $(0, 3)$, подставив его в исходную систему:

$\begin{cases} 3 + 0^2 = 3 \\ 1 + 2\log_3(0+1) = \log_3 3 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 = 3 \\ 1 + 2 \cdot 0 = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3=3 \\ 1=1 \end{cases}$

Решение верное.

Ответ: $(0, 3)$.

б)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} x + 2y^2 = 3 \\ 2\log_2(y+1) = 2 + \log_2 x \end{cases}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Из наличия логарифмов в системе следуют ограничения:

$y+1 > 0 \implies y > -1$

$x > 0$

Из первого уравнения системы выразим $x$: $x = 3 - 2y^2$.

Подставим это в условие $x > 0$:

$3 - 2y^2 > 0 \implies 2y^2 < 3 \implies y^2 < 1.5 \implies -\sqrt{1.5} < y < \sqrt{1.5}$.

Объединяя условия на $y$, получаем ОДЗ для $y$: $-1 < y < \sqrt{1.5}$.

Теперь преобразуем второе уравнение системы. Представим $2$ как $\log_2 4$ и воспользуемся свойствами логарифмов:

$2\log_2(y+1) = \log_2 4 + \log_2 x$

$\log_2(y+1)^2 = \log_2(4x)$

Так как основания логарифмов равны, приравниваем их аргументы:

$(y+1)^2 = 4x$

Подставим в это уравнение выражение для $x$ из первого уравнения системы ($x = 3 - 2y^2$):

$(y+1)^2 = 4(3 - 2y^2)$

$y^2 + 2y + 1 = 12 - 8y^2$

$9y^2 + 2y - 11 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $y$. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-11) = 4 + 396 = 400 = 20^2$.

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-2 + 20}{2 \cdot 9} = \frac{18}{18} = 1$

$y_2 = \frac{-2 - 20}{2 \cdot 9} = \frac{-22}{18} = -\frac{11}{9}$

Проверим найденные значения $y$ на соответствие ОДЗ ($-1 < y < \sqrt{1.5}$):

$y_1 = 1$ удовлетворяет условию, так как $-1 < 1 < \sqrt{1.5} \approx 1.22$.

$y_2 = -\frac{11}{9} \approx -1.22$ не удовлетворяет условию $y > -1$, поэтому это посторонний корень.

Единственный подходящий корень $y=1$. Найдем соответствующее значение $x$:

$x = 3 - 2y^2 = 3 - 2 \cdot 1^2 = 1$.

Проверим найденное решение $(1, 1)$, подставив его в исходную систему:

$\begin{cases} 1 + 2 \cdot 1^2 = 3 \\ 2\log_2(1+1) = 2 + \log_2 1 \end{cases} \implies \begin{cases} 3 = 3 \\ 2\log_2 2 = 2 + 0 \end{cases} \implies \begin{cases} 3=3 \\ 2=2 \end{cases}$

Решение верное.

Ответ: $(1, 1)$.

14.13 а) $$\begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 13 \\ x + y = 4; \end{cases}$$

б) $$\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7 \\ x - y = 1. \end{cases}$$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 + xy + y^2 = 13 \\ x + y = 4 \end{cases} $$

Для решения системы используем метод подстановки. Выразим y из второго уравнения:

$y = 4 - x$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$x^2 + x(4 - x) + (4 - x)^2 = 13$

Раскроем скобки и упростим полученное уравнение:

$x^2 + 4x - x^2 + (16 - 8x + x^2) = 13$

Приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4x + 16 = 13$

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Получили квадратное уравнение. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения:

$x_1 = 1$

$x_2 = 3$

Теперь найдем соответствующие значения y для каждого найденного x, используя выражение $y = 4 - x$.

1. Если $x_1 = 1$, то $y_1 = 4 - 1 = 3$. Получаем решение (1; 3).

2. Если $x_2 = 3$, то $y_2 = 4 - 3 = 1$. Получаем решение (3; 1).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (1; 3), (3; 1).

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} $$

Используем метод подстановки. Выразим x из второго уравнения:

$x = 1 + y$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$(1 + y)^2 - (1 + y)y + y^2 = 7$

Раскроем скобки и упростим:

$(1 + 2y + y^2) - (y + y^2) + y^2 = 7$

$1 + 2y + y^2 - y - y^2 + y^2 = 7$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + y + 1 = 7$

$y^2 + y - 6 = 0$

Получили квадратное уравнение относительно y. Решим его. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -6. Следовательно, корни уравнения:

$y_1 = 2$

$y_2 = -3$

Теперь найдем соответствующие значения x для каждого найденного y, используя выражение $x = 1 + y$.

1. Если $y_1 = 2$, то $x_1 = 1 + 2 = 3$. Получаем решение (3; 2).

2. Если $y_2 = -3$, то $x_2 = 1 + (-3) = -2$. Получаем решение (-2; -3).

Таким образом, система имеет два решения.

Ответ: (3; 2), (-2; -3).

14.14 а) $\begin{cases} 2x^2 + y^2 - 4x + 2y = 1 \\ 3x^2 - 2y^2 - 6x - 4y = 5; \end{cases}$

б) $\begin{cases} x^2 + 2x - 5y = -5 \\ x^2 + y^2 + 2x - 10y = -9. \end{cases}$

a)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} 2x^2 + y^2 - 4x + 2y = 1 \\ 3x^2 - 2y^2 - 6x - 4y = 5 \end{cases} $

Преобразуем оба уравнения, выделив полные квадраты для переменных $x$ и $y$.

Первое уравнение:

$2x^2 - 4x + y^2 + 2y = 1$

$2(x^2 - 2x) + (y^2 + 2y) = 1$

$2(x^2 - 2x + 1 - 1) + (y^2 + 2y + 1 - 1) = 1$

$2((x-1)^2 - 1) + ((y+1)^2 - 1) = 1$

$2(x-1)^2 - 2 + (y+1)^2 - 1 = 1$

$2(x-1)^2 + (y+1)^2 = 4$

Второе уравнение:

$3x^2 - 6x - 2y^2 - 4y = 5$

$3(x^2 - 2x) - 2(y^2 + 2y) = 5$

$3(x^2 - 2x + 1 - 1) - 2(y^2 + 2y + 1 - 1) = 5$

$3((x-1)^2 - 1) - 2((y+1)^2 - 1) = 5$

$3(x-1)^2 - 3 - 2(y+1)^2 + 2 = 5$

$3(x-1)^2 - 2(y+1)^2 = 6$

Система приняла вид:

$ \begin{cases} 2(x-1)^2 + (y+1)^2 = 4 \\ 3(x-1)^2 - 2(y+1)^2 = 6 \end{cases} $

Сделаем замену переменных. Пусть $u = (x-1)^2$ и $v = (y+1)^2$. Так как $u$ и $v$ являются квадратами, то $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Получим линейную систему относительно $u$ и $v$:

$ \begin{cases} 2u + v = 4 \\ 3u - 2v = 6 \end{cases} $

Из первого уравнения выразим $v$: $v = 4 - 2u$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$3u - 2(4 - 2u) = 6$

$3u - 8 + 4u = 6$

$7u = 14$

$u = 2$

Теперь найдем $v$:

$v = 4 - 2(2) = 0$

Значения $u=2$ и $v=0$ удовлетворяют условиям $u \ge 0$ и $v \ge 0$.

Вернемся к исходным переменным:

$(x-1)^2 = u = 2 \implies x-1 = \pm\sqrt{2} \implies x = 1 \pm\sqrt{2}$

$(y+1)^2 = v = 0 \implies y+1 = 0 \implies y = -1$

Таким образом, мы получили две пары решений.

Ответ: $(1 + \sqrt{2}; -1)$, $(1 - \sqrt{2}; -1)$.

б)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 + 2x - 5y = -5 \\ x^2 + y^2 + 2x - 10y = -9 \end{cases} $

Заметим, что выражение $x^2 + 2x$ присутствует в обоих уравнениях. Вычтем из второго уравнения первое:

$(x^2 + y^2 + 2x - 10y) - (x^2 + 2x - 5y) = -9 - (-5)$

$x^2 + y^2 + 2x - 10y - x^2 - 2x + 5y = -4$

$y^2 - 5y = -4$

Мы получили квадратное уравнение относительно $y$:

$y^2 - 5y + 4 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 4. Следовательно, корни уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 4$.

Теперь для каждого значения $y$ найдем соответствующие значения $x$. Используем для этого первое уравнение системы, преобразовав его к виду $x^2 + 2x = 5y - 5$.

Случай 1: $y = 1$

$x^2 + 2x = 5(1) - 5$

$x^2 + 2x = 0$

$x(x+2) = 0$

Отсюда получаем два значения $x$: $x_1 = 0$ и $x_2 = -2$.

Таким образом, получаем две пары решений: $(0; 1)$ и $(-2; 1)$.

Случай 2: $y = 4$

$x^2 + 2x = 5(4) - 5$

$x^2 + 2x = 15$

$x^2 + 2x - 15 = 0$

По теореме Виета, сумма корней равна -2, а их произведение равно -15. Следовательно, корни уравнения: $x_3 = 3$ и $x_4 = -5$.

Таким образом, получаем еще две пары решений: $(3; 4)$ и $(-5; 4)$.

Ответ: $(0; 1)$, $(-2; 1)$, $(3; 4)$, $(-5; 4)$.

14.15* a) $\begin{cases} 3x^2 + 2xy - 9x - 4y = -6 \\ 5x^2 + 2xy - 12x - 4y = -4 \end{cases}$

б) $\begin{cases} 3x^2 + 2y^2 - 3x + 5y = 3 \\ 4.5x^2 + 3y^2 - 3x + 8y = 7 \end{cases}$

а)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x^2 + 2xy - 9x - 4y = -6 \\ 5x^2 + 2xy - 12x - 4y = -4 \end{cases} $$

Преобразуем каждое уравнение, вынеся за скобки общие множители, содержащие $y$.

В первом уравнении:

$3x^2 - 9x + 6 + y(2x - 4) = 0$

$y(2x - 4) = -3x^2 + 9x - 6$

$2y(x - 2) = -3(x^2 - 3x + 2)$

Разложим квадратный трехчлен на множители: $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

$2y(x - 2) = -3(x - 1)(x - 2)$

$(x - 2)(2y + 3(x - 1)) = 0$

$(x - 2)(2y + 3x - 3) = 0$

Во втором уравнении:

$5x^2 - 12x + 4 + y(2x - 4) = 0$

$y(2x - 4) = -5x^2 + 12x - 4$

$2y(x - 2) = -(5x^2 - 12x + 4)$

Разложим квадратный трехчлен на множители: $5x^2 - 12x + 4 = 5(x-2)(x-0.4) = (x-2)(5x-2)$.

$2y(x - 2) = -(x - 2)(5x - 2)$

$(x - 2)(2y + 5x - 2) = 0$

Таким образом, исходная система равносильна системе:

$$ \begin{cases} (x - 2)(2y + 3x - 3) = 0 \\ (x - 2)(2y + 5x - 2) = 0 \end{cases} $$

Эта система имеет решения в двух случаях:

1. Когда общий множитель равен нулю: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

Если $x = 2$, оба уравнения системы превращаются в верные равенства $0 = 0$ при любом значении $y$. Проверим подстановкой в исходную систему:

Первое уравнение: $3(2)^2 + 2(2)y - 9(2) - 4y = 12 + 4y - 18 - 4y = -6$. Равенство $-6 = -6$ верно.

Второе уравнение: $5(2)^2 + 2(2)y - 12(2) - 4y = 20 + 4y - 24 - 4y = -4$. Равенство $-4 = -4$ верно.

Следовательно, решением является любая пара вида $(2, y)$, где $y$ — любое действительное число.

2. Когда $x - 2 \neq 0$. В этом случае мы можем разделить оба уравнения на $(x - 2)$, и система примет вид:

$$ \begin{cases} 2y + 3x - 3 = 0 \\ 2y + 5x - 2 = 0 \end{cases} $$

Вычтем первое уравнение из второго: $(2y + 5x - 2) - (2y + 3x - 3) = 0$, что дает $2x + 1 = 0$, откуда $x = -0.5$.

Подставим $x = -0.5$ в первое уравнение этой системы: $2y + 3(-0.5) - 3 = 0 \Rightarrow 2y - 1.5 - 3 = 0 \Rightarrow 2y = 4.5 \Rightarrow y = 2.25$.

Таким образом, мы получили второе решение $(-0.5; 2.25)$.

Ответ: $(-0.5; 2.25)$, $(2; y)$, где $y$ — любое действительное число.

б)

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 3x^2 + 2y^2 - 3x + 5y = 3 \\ 4.5x^2 + 3y^2 - 3x + 8y = 7 \end{cases} $$

Используем метод алгебраического сложения, чтобы исключить квадратичные члены. Для этого умножим первое уравнение на $1.5$ (или $\frac{3}{2}$), чтобы коэффициенты при $x^2$ и $y^2$ совпали с коэффициентами во втором уравнении, умноженными на некоторую константу.

$1.5 \cdot (3x^2 + 2y^2 - 3x + 5y) = 1.5 \cdot 3$

$4.5x^2 + 3y^2 - 4.5x + 7.5y = 4.5$

Теперь вычтем второе исходное уравнение из полученного уравнения:

$(4.5x^2 + 3y^2 - 4.5x + 7.5y) - (4.5x^2 + 3y^2 - 3x + 8y) = 4.5 - 7$

Приводя подобные слагаемые, получаем:

$-4.5x + 3x + 7.5y - 8y = -2.5$

$-1.5x - 0.5y = -2.5$

Умножим обе части уравнения на $-2$ для упрощения:

$3x + y = 5$

Отсюда выражаем $y$: $y = 5 - 3x$.

Подставим это выражение в первое уравнение исходной системы:

$3x^2 + 2(5 - 3x)^2 - 3x + 5(5 - 3x) = 3$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 2(25 - 30x + 9x^2) - 3x + 25 - 15x = 3$

$3x^2 + 50 - 60x + 18x^2 - 18x + 25 = 3$

Приведем подобные члены:

$21x^2 - 78x + 75 = 3$

$21x^2 - 78x + 72 = 0$

Разделим все уравнение на 3:

$7x^2 - 26x + 24 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-26)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 24 = 676 - 672 = 4$.

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 - 2}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{26 + 2}{14} = \frac{28}{14} = 2$

Теперь найдем соответствующие значения $y$ для каждого корня $x$:

Для $x_1 = \frac{12}{7}$:

$y_1 = 5 - 3x_1 = 5 - 3 \cdot \frac{12}{7} = 5 - \frac{36}{7} = \frac{35 - 36}{7} = -\frac{1}{7}$.

Для $x_2 = 2$:

$y_2 = 5 - 3x_2 = 5 - 3 \cdot 2 = 5 - 6 = -1$.

Система имеет два решения.

Ответ: $(\frac{12}{7}; -\frac{1}{7})$, $(2; -1)$.

14.16* a) $\begin{cases} x - y = \frac{5\pi}{3} \\ \sin x = 2 \sin y \end{cases}$

б) $\begin{cases} \operatorname{tg} x \operatorname{tg} y = -\frac{1}{6} \\ x - y = \frac{\pi}{4} \end{cases}$

в) $\begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{4} \\ x + y = \frac{5\pi}{12} \end{cases}$

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} x - y = \frac{5\pi}{3} \\ \sin x = 2 \sin y \end{cases} $$

Из первого уравнения выразим $x$: $x = y + \frac{5\pi}{3}$.

Подставим это выражение во второе уравнение:

$\sin(y + \frac{5\pi}{3}) = 2 \sin y$

Используем формулу синуса суммы $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$:

$\sin y \cos(\frac{5\pi}{3}) + \cos y \sin(\frac{5\pi}{3}) = 2 \sin y$

Так как $\cos(\frac{5\pi}{3}) = \cos(2\pi - \frac{\pi}{3}) = \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ и $\sin(\frac{5\pi}{3}) = \sin(2\pi - \frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, получаем:

$\sin y \cdot \frac{1}{2} + \cos y \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2 \sin y$

$\frac{1}{2}\sin y - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos y = 2 \sin y$

Умножим обе части на 2:

$\sin y - \sqrt{3}\cos y = 4 \sin y$

$-\sqrt{3}\cos y = 3 \sin y$

Предполагая, что $\cos y \neq 0$, разделим обе части на $\cos y$, чтобы получить тангенс:

$\frac{\sin y}{\cos y} = \tan y = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Отсюда находим $y$:

$y = \arctan(-\frac{\sqrt{3}}{3}) + \pi n = -\frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем $x$, используя $x = y + \frac{5\pi}{3}$:

$x = (-\frac{\pi}{6} + \pi n) + \frac{5\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \frac{10\pi}{6} + \pi n = \frac{9\pi}{6} + \pi n = \frac{3\pi}{2} + \pi n$.

Если бы $\cos y = 0$, то из уравнения $-\sqrt{3}\cos y = 3 \sin y$ следовало бы, что $3 \sin y = 0$, то есть $\sin y = 0$. Но $\cos y$ и $\sin y$ не могут быть равны нулю одновременно, поэтому случай $\cos y = 0$ невозможен.

Ответ: $(\frac{3\pi}{2} + \pi n, -\frac{\pi}{6} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \tan x \tan y = -\frac{1}{6} \\ x - y = \frac{\pi}{4} \end{cases} $$

Область определения требует, чтобы $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $y \neq \frac{\pi}{2} + \pi m$ для любых целых $k, m$.

Воспользуемся формулой тангенса разности: $\tan(x-y) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x \tan y}$.

Подставим известные значения из системы:

$\tan(\frac{\pi}{4}) = \frac{\tan x - \tan y}{1 + (-\frac{1}{6})}$

$1 = \frac{\tan x - \tan y}{5/6}$

Отсюда получаем: $\tan x - \tan y = \frac{5}{6}$.

Введем замены $u = \tan x$ и $v = \tan y$. Получаем систему алгебраических уравнений:

$$ \begin{cases} uv = -\frac{1}{6} \\ u - v = \frac{5}{6} \end{cases} $$

Из второго уравнения выражаем $u = v + \frac{5}{6}$ и подставляем в первое:

$(v + \frac{5}{6})v = -\frac{1}{6}$

$v^2 + \frac{5}{6}v + \frac{1}{6} = 0$

Умножим уравнение на 6, чтобы избавиться от дробей:

$6v^2 + 5v + 1 = 0$

Решаем квадратное уравнение относительно $v$. Дискриминант $D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.

$v = \frac{-5 \pm \sqrt{1}}{12}$

Получаем два возможных значения для $v = \tan y$:

$v_1 = \frac{-5 - 1}{12} = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$

$v_2 = \frac{-5 + 1}{12} = -\frac{4}{12} = -\frac{1}{3}$

Рассмотрим два случая:

Случай 1: $\tan y = -\frac{1}{2}$.

Тогда $y = \arctan(-\frac{1}{2}) + \pi n = -\arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения $x = y + \frac{\pi}{4}$ находим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} - \arctan(\frac{1}{2}) + \pi n$.

Случай 2: $\tan y = -\frac{1}{3}$.

Тогда $y = \arctan(-\frac{1}{3}) + \pi n = -\arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Из уравнения $x = y + \frac{\pi}{4}$ находим $x$:

$x = \frac{\pi}{4} - \arctan(\frac{1}{3}) + \pi n$.

Таким образом, система имеет два семейства решений.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} - \arctan\frac{1}{2} + \pi n, -\arctan\frac{1}{2} + \pi n)$; $(\frac{\pi}{4} - \arctan\frac{1}{3} + \pi n, -\arctan\frac{1}{3} + \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} \sin^2 x + \sin^2 y = \frac{3}{4} \\ x + y = \frac{5\pi}{12} \end{cases} $$

Используем формулы понижения степени $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos(2\alpha)}{2}$ для первого уравнения:

$\frac{1 - \cos(2x)}{2} + \frac{1 - \cos(2y)}{2} = \frac{3}{4}$

$\frac{2 - (\cos(2x) + \cos(2y))}{2} = \frac{3}{4}$

$1 - \frac{\cos(2x) + \cos(2y)}{2} = \frac{3}{4}$

$\frac{\cos(2x) + \cos(2y)}{2} = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$

$\cos(2x) + \cos(2y) = \frac{1}{2}$

Применим формулу суммы косинусов $\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$:

$2\cos(\frac{2x+2y}{2})\cos(\frac{2x-2y}{2}) = \frac{1}{2}$

$2\cos(x+y)\cos(x-y) = \frac{1}{2}$

Подставим $x+y = \frac{5\pi}{12}$ из второго уравнения системы:

$2\cos(\frac{5\pi}{12})\cos(x-y) = \frac{1}{2}$

Вычислим значение $\cos(\frac{5\pi}{12}) = \cos(75^{\circ}) = \cos(45^{\circ}+30^{\circ}) = \cos45^{\circ}\cos30^{\circ} - \sin45^{\circ}\sin30^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$.

$2 \cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \cos(x-y) = \frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \cos(x-y) = \frac{1}{2}$

$(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos(x-y) = 1$

$\cos(x-y) = \frac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{(\sqrt{6}-\sqrt{2})(\sqrt{6}+\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{6-2} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$.

Мы знаем, что $\cos(\frac{\pi}{12}) = \cos(15^{\circ}) = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$. Таким образом, $\cos(x-y) = \cos(\frac{\pi}{12})$.

Отсюда следует, что $x-y = \pm\frac{\pi}{12} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Теперь необходимо решить две системы линейных уравнений.

Система 1:

$$ \begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{12} \\ x - y = \frac{\pi}{12} + 2\pi k \end{cases} $$

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{6\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{4} + \pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = \frac{4\pi}{12} - 2\pi k = \frac{\pi}{3} - 2\pi k$, откуда $y = \frac{\pi}{6} - \pi k$.

Система 2:

$$ \begin{cases} x + y = \frac{5\pi}{12} \\ x - y = -\frac{\pi}{12} + 2\pi k \end{cases} $$

Складывая уравнения, получаем $2x = \frac{4\pi}{12} + 2\pi k = \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \pi k$.

Вычитая второе уравнение из первого, получаем $2y = \frac{6\pi}{12} - 2\pi k = \frac{\pi}{2} - 2\pi k$, откуда $y = \frac{\pi}{4} - \pi k$.

Заметим, что вторая серия решений является перестановкой переменных из первой серии (если заменить $k$ на $-k$). Это ожидаемо, так как исходная система симметрична относительно $x$ и $y$.

Ответ: $(\frac{\pi}{4} + \pi n, \frac{\pi}{6} - \pi n)$; $(\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{4} - \pi n)$, $n \in \mathbb{Z}$.

14.17* $ \begin{cases} x + \log_2 y = y \log_2 3 + \log_2 x \\ x \log_2 72 + \log_2 x = 2y + \log_2 y \end{cases} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Поскольку переменные $x$ и $y$ находятся в аргументах логарифмов, они должны быть строго положительными: $x > 0$ и $y > 0$.

Исходная система уравнений:

$$ \begin{cases} x + \log_2 y = y \log_2 3 + \log_2 x \\ x \log_2 72 + \log_2 x = 2y + \log_2 y \end{cases} $$

Преобразуем уравнения системы, сгруппировав члены с переменными и члены с логарифмами.

Первое уравнение:
$x - y \log_2 3 = \log_2 x - \log_2 y$
Применяя свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a(b/c)$, получаем:
$x - y \log_2 3 = \log_2\left(\frac{x}{y}\right)$

Второе уравнение:
$x \log_2 72 - 2y = \log_2 y - \log_2 x$
$x \log_2 72 - 2y = -(\log_2 x - \log_2 y)$
$x \log_2 72 - 2y = -\log_2\left(\frac{x}{y}\right)$

Упростим логарифм в левой части второго уравнения: $\log_2 72 = \log_2(8 \cdot 9) = \log_2(2^3 \cdot 3^2) = \log_2(2^3) + \log_2(3^2) = 3 + 2\log_2 3$.

Подставив это, получим систему в виде:

$$ \begin{cases} x - y \log_2 3 = \log_2\left(\frac{x}{y}\right) \\ x(3 + 2\log_2 3) - 2y = -\log_2\left(\frac{x}{y}\right) \end{cases} $$

Решим полученную систему. Сложим оба уравнения, чтобы избавиться от $\log_2\left(\frac{x}{y}\right)$:
$(x - y \log_2 3) + (3x + 2x\log_2 3 - 2y) = 0$
$4x + 2x\log_2 3 - 2y - y\log_2 3 = 0$
Сгруппируем слагаемые с $x$ и $y$:
$x(4 + 2\log_2 3) = y(2 + \log_2 3)$
$2x(2 + \log_2 3) = y(2 + \log_2 3)$

Поскольку выражение $2 + \log_2 3 = \log_2 4 + \log_2 3 = \log_2 12$ не равно нулю, мы можем сократить его:
$2x = y$

Найдем значения $x$ и $y$. Подставим $y = 2x$ в одно из преобразованных уравнений, например, в $x - y \log_2 3 = \log_2\left(\frac{x}{y}\right)$:
$x - (2x)\log_2 3 = \log_2\left(\frac{x}{2x}\right)$
$x(1 - 2\log_2 3) = \log_2\left(\frac{1}{2}\right)$
$x(1 - \log_2 3^2) = -1$
$x(\log_2 2 - \log_2 9) = -1$
$x\log_2\left(\frac{2}{9}\right) = -1$

Отсюда выразим $x$:
$x = \frac{-1}{\log_2(2/9)} = \frac{1}{-\log_2(2/9)} = \frac{1}{\log_2((2/9)^{-1})} = \frac{1}{\log_2(9/2)}$

Теперь найдем $y$, зная что $y=2x$:
$y = \frac{2}{\log_2(9/2)}$

Найденные значения $x$ и $y$ положительны, так как $\log_2(9/2) = \log_2(4.5) > \log_2(1) = 0$, что соответствует ОДЗ.

Ответ: $x = \frac{1}{\log_2(9/2)}, y = \frac{2}{\log_2(9/2)}$.