Страница 330 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

Решите уравнение (13.35–13.36):

13.35 а) $ \sin x \cos 8x = 1; $

б) $ \sin 6x \cos 4x = -1; $

в) $ \sin 3x \cos 12x = 1; $

г) $ \sin 4x \cos 16x = -1. $

а) $ \sin x \cos 8x = 1 $

Произведение синуса и косинуса может быть равно 1 только в двух случаях, учитывая, что область значений обеих функций $[-1, 1]$:

1. $ \sin x = 1 $ и $ \cos 8x = 1 $
2. $ \sin x = -1 $ и $ \cos 8x = -1 $

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Система уравнений $ \begin{cases} \sin x = 1 \\ \cos 8x = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем решение: $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Подставим это решение во второе уравнение, чтобы проверить, выполняется ли оно:
$ \cos(8(\frac{\pi}{2} + 2\pi k)) = \cos(4\pi + 16\pi k) = \cos(4\pi) = 1 $.
Равенство $1 = 1$ является верным, следовательно, $ x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k $ является решением исходного уравнения.

Случай 2: Система уравнений $ \begin{cases} \sin x = -1 \\ \cos 8x = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения получаем решение: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
Подставим это решение во второе уравнение:
$ \cos(8(-\frac{\pi}{2} + 2\pi m)) = \cos(-4\pi + 16\pi m) = \cos(-4\pi) = 1 $.
Мы получаем равенство $ 1 = -1 $, которое является ложным. Значит, в этом случае решений нет.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем окончательное решение.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $ \sin 6x \cos 4x = -1 $

Произведение синуса и косинуса может быть равно -1 в двух случаях:

1. $ \sin 6x = 1 $ и $ \cos 4x = -1 $
2. $ \sin 6x = -1 $ и $ \cos 4x = 1 $

Рассмотрим каждый случай отдельно.

Случай 1: Система уравнений $ \begin{cases} \sin 6x = 1 \\ \cos 4x = -1 \end{cases} $

Найдём решения для каждого уравнения:
$ \sin 6x = 1 \implies 6x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \cos 4x = -1 \implies 4x = \pi + 2\pi m \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Теперь найдём общие решения, приравняв выражения для $ x $:
$ \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi m}{2} $
Разделим обе части на $ \pi $ и умножим на 12:
$ 1 + 4k = 3 + 6m $
$ 4k - 6m = 2 $
$ 2k - 3m = 1 $
Это линейное диофантово уравнение. Из $ 2k = 3m+1 $ следует, что $ 3m+1 $ должно быть четным, а значит $ m $ должно быть нечетным. Пусть $ m = 2n + 1 $, где $ n \in \mathbb{Z} $.
Подставим это значение $ m $ в формулу для $ x $:
$ x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi (2n+1)}{2} = \frac{\pi}{4} + \pi n + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{4} + \pi n $.
Эта серия решений является решением для первого случая.

Случай 2: Система уравнений $ \begin{cases} \sin 6x = -1 \\ \cos 4x = 1 \end{cases} $

Найдём решения для каждого уравнения:
$ \sin 6x = -1 \implies 6x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
$ \cos 4x = 1 \implies 4x = 2\pi m \implies x = \frac{\pi m}{2} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.

Приравняем выражения для $ x $:
$ -\frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi m}{2} $
Разделим на $ \pi $ и умножим на 12:
$ -1 + 4k = 6m \implies 4k - 6m = 1 $.
Левая часть уравнения $ 2(2k - 3m) $ всегда четна, а правая часть (1) нечетна. Следовательно, это уравнение не имеет решений в целых числах, и в этом случае решений нет.

Ответ: $x = \frac{3\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $ \sin 3x \cos 12x = 1 $

Аналогично пункту а), рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \sin 3x = 1 $ и $ \cos 12x = 1 $. $ \begin{cases} \sin 3x = 1 \\ \cos 12x = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения: $ 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Подставим во второе уравнение:
$ \cos(12(\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3})) = \cos(2\pi + 8\pi k) = \cos(2\pi) = 1 $.
Равенство $ 1 = 1 $ верное. Значит, $ x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} $ является решением.

Случай 2: $ \sin 3x = -1 $ и $ \cos 12x = -1 $. $ \begin{cases} \sin 3x = -1 \\ \cos 12x = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения: $ 3x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi m}{3} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
Подставим во второе уравнение:
$ \cos(12(-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi m}{3})) = \cos(-2\pi + 8\pi m) = \cos(-2\pi) = 1 $.
Получаем ложное равенство $ 1 = -1 $. Решений в этом случае нет.

Ответ: $x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

г) $ \sin 4x \cos 16x = -1 $

Аналогично пункту б), рассмотрим два случая.

Случай 1: $ \sin 4x = 1 $ и $ \cos 16x = -1 $. $ \begin{cases} \sin 4x = 1 \\ \cos 16x = -1 \end{cases} $

Из первого уравнения: $ 4x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \implies x = \frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.
Подставим во второе уравнение:
$ \cos(16(\frac{\pi}{8} + \frac{\pi k}{2})) = \cos(2\pi + 8\pi k) = 1 $.
Получаем ложное равенство $ 1 = -1 $. Решений в этом случае нет.

Случай 2: $ \sin 4x = -1 $ и $ \cos 16x = 1 $. $ \begin{cases} \sin 4x = -1 \\ \cos 16x = 1 \end{cases} $

Из первого уравнения: $ 4x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2} $, где $ m \in \mathbb{Z} $.
Подставим во второе уравнение:
$ \cos(16(-\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2})) = \cos(-2\pi + 8\pi m) = 1 $.
Равенство $ 1 = 1 $ верное. Значит, $ x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2} $ является решением.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi m}{2}, m \in \mathbb{Z}$.

13.36 a) $2\sin^8 2x - 5\cos^7 4x = 7;$

б) $5\sin^7 3x + 2\cos^4 2x = 7;$

в) $3\sin^3 2x - 7\cos^4 4x = -10;$

г) $7\sin^4 3x + 4\cos^8 2x = 11.$

а) $2\sin^8(2x) - 5\cos^7(4x) = 7$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки. Рассмотрим левую и правую части уравнения.

Значения тригонометрических функций $\sin(2x)$ и $\cos(4x)$ ограничены. Оценим каждое слагаемое в левой части:

1. $-1 \le \sin(2x) \le 1$. Поскольку показатель степени четный, $0 \le \sin^8(2x) \le 1$. Следовательно, $0 \le 2\sin^8(2x) \le 2$.

2. $-1 \le \cos(4x) \le 1$. Поскольку показатель степени нечетный, $-1 \le \cos^7(4x) \le 1$. Умножая на -5, получаем $-5 \le -5\cos^7(4x) \le 5$.

Складывая эти неравенства, получаем оценку для левой части уравнения: $0 + (-5) \le 2\sin^8(2x) - 5\cos^7(4x) \le 2 + 5$, то есть $-5 \le 2\sin^8(2x) - 5\cos^7(4x) \le 7$.

Из оценки видно, что левая часть уравнения равна 7 только в том случае, когда каждое слагаемое принимает свое максимальное значение. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 2\sin^8(2x) = 2 \\ -5\cos^7(4x) = 5 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin^8(2x) = 1 \\ \cos^7(4x) = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin^2(2x) = 1 \\ \cos(4x) = -1 \end{cases}$

Проверим совместность системы. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$. Подставив $\sin^2(2x) = 1$ из первого уравнения, получаем $\cos(4x) = 1 - 2 \cdot 1 = -1$, что совпадает со вторым уравнением. Следовательно, достаточно решить только первое уравнение.

Решим уравнение $\sin^2(2x) = 1$. Это равносильно тому, что $\cos^2(2x) = 0$, или $\cos(2x) = 0$.

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, \text{ где } k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

б) $5\sin^7(3x) + 2\cos^4(2x) = 7$

Воспользуемся методом оценки. Оценим левую часть уравнения.

1. $-1 \le \sin(3x) \le 1 \Rightarrow -1 \le \sin^7(3x) \le 1 \Rightarrow -5 \le 5\sin^7(3x) \le 5$.

2. $-1 \le \cos(2x) \le 1 \Rightarrow 0 \le \cos^4(2x) \le 1 \Rightarrow 0 \le 2\cos^4(2x) \le 2$.

Складывая максимальные значения слагаемых, получаем максимальное значение левой части: $5 + 2 = 7$.

Равенство в исходном уравнении возможно только тогда, когда оба слагаемых одновременно принимают свои максимальные значения. Это приводит к системе:

$\begin{cases} 5\sin^7(3x) = 5 \\ 2\cos^4(2x) = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin(3x) = 1 \\ \cos^4(2x) = 1 \end{cases}$

Решим каждое уравнение системы отдельно.

1. $\sin(3x) = 1 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos^4(2x) = 1 \Rightarrow \cos^2(2x) = 1 \Rightarrow \sin^2(2x) = 0 \Rightarrow \sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Теперь найдем пересечение множеств решений, приравняв выражения для $x$:

$\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi k}{3} = \frac{\pi n}{2}$

Разделим на $\pi$: $\frac{1}{6} + \frac{2k}{3} = \frac{n}{2}$. Умножим на 6: $1 + 4k = 3n$.

Мы получили диофантово уравнение. Выразим $n$: $3n = 4k + 1$. Рассмотрим это уравнение по модулю 3:

$4k + 1 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow k + 1 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow k \equiv -1 \pmod{3} \Rightarrow k \equiv 2 \pmod{3}$.

Значит, $k$ можно представить в виде $k = 3m + 2$, где $m \in \mathbb{Z}$. Подставим это в первую серию решений:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{2\pi (3m + 2)}{3} = \frac{\pi}{6} + 2\pi m + \frac{4\pi}{3} = \frac{\pi + 8\pi}{6} + 2\pi m = \frac{9\pi}{6} + 2\pi m = \frac{3\pi}{2} + 2\pi m$.

Эту серию можно также записать как $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m, m \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $3\sin^3(2x) - 7\cos^4(4x) = -10$

Снова применим метод оценки.

1. $-1 \le \sin(2x) \le 1 \Rightarrow -1 \le \sin^3(2x) \le 1 \Rightarrow -3 \le 3\sin^3(2x) \le 3$.

2. $-1 \le \cos(4x) \le 1 \Rightarrow 0 \le \cos^4(4x) \le 1 \Rightarrow -7 \le -7\cos^4(4x) \le 0$.

Складывая минимальные значения, получаем минимальное значение левой части: $-3 + (-7) = -10$.

Равенство в исходном уравнении возможно только тогда, когда оба слагаемых одновременно принимают свои минимальные значения. Это приводит к системе:

$\begin{cases} 3\sin^3(2x) = -3 \\ -7\cos^4(4x) = -7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin(2x) = -1 \\ \cos^4(4x) = 1 \end{cases}$

Проверим совместность системы. Из первого уравнения $\sin(2x) = -1$, следует что $\sin^2(2x) = (-1)^2 = 1$.

По формуле двойного угла $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x) = 1 - 2(1) = -1$.

Подставим это значение во второе уравнение системы: $\cos^4(4x) = (-1)^4 = 1$. Условие выполняется, значит система совместна и достаточно решить первое уравнение.

Решим уравнение $\sin(2x) = -1$:

$2x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $7\sin^4(3x) + 4\cos^8(2x) = 11$

Применим метод оценки.

1. $-1 \le \sin(3x) \le 1 \Rightarrow 0 \le \sin^4(3x) \le 1 \Rightarrow 0 \le 7\sin^4(3x) \le 7$.

2. $-1 \le \cos(2x) \le 1 \Rightarrow 0 \le \cos^8(2x) \le 1 \Rightarrow 0 \le 4\cos^8(2x) \le 4$.

Максимальное значение левой части равно сумме максимальных значений слагаемых: $7 + 4 = 11$.

Равенство возможно только если оба слагаемых принимают свои максимальные значения:

$\begin{cases} 7\sin^4(3x) = 7 \\ 4\cos^8(2x) = 4 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} \sin^4(3x) = 1 \\ \cos^8(2x) = 1 \end{cases}$

Решим каждое уравнение системы.

1. $\sin^4(3x) = 1 \Rightarrow \sin^2(3x) = 1 \Rightarrow \cos^2(3x) = 0 \Rightarrow \cos(3x) = 0 \Rightarrow 3x = \frac{\pi}{2} + \pi k \Rightarrow x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

2. $\cos^8(2x) = 1 \Rightarrow \cos^2(2x) = 1 \Rightarrow \sin^2(2x) = 0 \Rightarrow \sin(2x) = 0 \Rightarrow 2x = \pi n \Rightarrow x = \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

Найдем пересечение множеств решений:

$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi k}{3} = \frac{\pi n}{2}$

Разделим на $\pi$: $\frac{1}{6} + \frac{k}{3} = \frac{n}{2}$. Умножим на 6: $1 + 2k = 3n$.

Решим диофантово уравнение. $3n = 2k + 1$. Рассмотрим по модулю 3:

$2k + 1 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow -k + 1 \equiv 0 \pmod{3} \Rightarrow k \equiv 1 \pmod{3}$.

Значит, $k$ можно представить в виде $k = 3m + 1$, где $m \in \mathbb{Z}$. Подставим в первую серию решений:

$x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi (3m + 1)}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi m + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi + 2\pi}{6} + \pi m = \frac{3\pi}{6} + \pi m = \frac{\pi}{2} + \pi m$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.