Страница 324 - гдз по алгебре 11 класс учебник Никольский, Потапов

13.16 a) $|\lg(x - 3)| + 2 = |\cos \pi x + 1|;$

б) $|\lg(x - 2)| + 1 = -\cos \pi x;$

в) $|\lg(x - 5)| + 2 = \sqrt{4 - (x - 6)^2};$

г) $|\lg(x - 4)| + 3 = \sqrt{9 - (x - 5)^2}.$

а) $|\lg(x-3)| + 2 = |\cos(\pi x) + 1|$

Данное уравнение будем решать методом оценки, анализируя множества значений левой и правой частей.

1. Рассмотрим левую часть уравнения: $f(x) = |\lg(x-3)| + 2$.
Область определения логарифмической функции требует, чтобы аргумент был строго положителен: $x-3 > 0$, откуда $x > 3$.
По определению модуля, $|\lg(x-3)| \ge 0$ для всех $x$ из области определения.
Следовательно, вся левая часть $f(x) = |\lg(x-3)| + 2 \ge 0 + 2 = 2$.
Таким образом, наименьшее значение левой части равно 2.

2. Рассмотрим правую часть уравнения: $g(x) = |\cos(\pi x) + 1|$.
Область значений функции косинус: $-1 \le \cos(\pi x) \le 1$.
Прибавив 1 ко всем частям неравенства, получим: $0 \le \cos(\pi x) + 1 \le 2$.
Поскольку выражение $\cos(\pi x) + 1$ всегда неотрицательно, модуль можно опустить: $|\cos(\pi x) + 1| = \cos(\pi x) + 1$.
Таким образом, множество значений правой части — это отрезок $[0, 2]$. Наибольшее значение правой части равно 2.

3. Исходное равенство $|\lg(x-3)| + 2 = \cos(\pi x) + 1$ возможно только в том случае, когда левая часть принимает свое наименьшее значение, а правая — наибольшее, и эти значения равны. То есть, обе части уравнения должны быть равны 2. Это эквивалентно решению системы уравнений:

$\begin{cases} |\lg(x-3)| + 2 = 2 \\ \cos(\pi x) + 1 = 2 \end{cases}$

Решим первое уравнение системы:
$|\lg(x-3)| = 0$
$\lg(x-3) = 0$
$x-3 = 10^0$
$x-3 = 1$
$x = 4$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяет ли найденное значение $x=4$ второму уравнению системы и области определения ($x>3$).
Корень $x=4$ удовлетворяет условию $x>3$.
Подставим $x=4$ во второе уравнение $\cos(\pi x) + 1 = 2$ (или $\cos(\pi x) = 1$):
$\cos(4\pi) = 1$.
Равенство $1=1$ верно. Следовательно, $x=4$ является единственным решением исходного уравнения.

Ответ: $4$

б) $|\lg(x-2)| + 1 = -\cos(\pi x)$

Решим уравнение методом оценки.

1. Левая часть: $f(x) = |\lg(x-2)| + 1$.
Область определения: $x-2 > 0 \implies x > 2$.
Так как $|\lg(x-2)| \ge 0$, то $f(x) = |\lg(x-2)| + 1 \ge 1$.
Наименьшее значение левой части равно 1.

2. Правая часть: $g(x) = -\cos(\pi x)$.
Множество значений функции $\cos(\pi x)$ есть отрезок $[-1, 1]$.
Соответственно, множество значений функции $g(x) = -\cos(\pi x)$ также является отрезком $[-1, 1]$.
Наибольшее значение правой части равно 1.

3. Равенство возможно только тогда, когда левая часть равна своему минимуму, а правая — своему максимуму, то есть обе части равны 1. Получаем систему:

$\begin{cases} |\lg(x-2)| + 1 = 1 \\ -\cos(\pi x) = 1 \end{cases}$

Решаем первое уравнение:
$|\lg(x-2)| = 0$
$\lg(x-2) = 0$
$x-2 = 10^0 = 1$
$x = 3$

Проверяем найденный корень. Он удовлетворяет ОДЗ ($3>2$).
Подставляем $x=3$ во второе уравнение, которое равносильно $\cos(\pi x)=-1$:
$\cos(3\pi) = -1$.
Равенство $-1=-1$ верно. Значит, $x=3$ - единственное решение.

Ответ: $3$

в) $|\lg(x-5)| + 2 = \sqrt{4 - (x-6)^2}$

Воспользуемся методом оценки левой и правой частей.

1. Левая часть: $f(x) = |\lg(x-5)| + 2$.
ОДЗ: $x-5 > 0 \implies x > 5$.
Так как $|\lg(x-5)| \ge 0$, то $f(x) = |\lg(x-5)| + 2 \ge 2$.
Наименьшее значение левой части равно 2.

2. Правая часть: $g(x) = \sqrt{4 - (x-6)^2}$.
ОДЗ: подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
$4 - (x-6)^2 \ge 0 \implies (x-6)^2 \le 4 \implies |x-6| \le 2 \implies -2 \le x-6 \le 2 \implies 4 \le x \le 8$.

Общая область определения уравнения — это пересечение $(5, \infty)$ и $[4, 8]$, что дает интервал $(5, 8]$.

Теперь оценим значения правой части. Выражение $\sqrt{4 - (x-6)^2}$ достигает своего максимума, когда вычитаемое $(x-6)^2$ минимально, то есть равно 0. Это происходит при $x=6$.
Максимальное значение $g(6) = \sqrt{4-0} = 2$.
Поскольку квадратный корень всегда неотрицателен, $g(x) \ge 0$. Таким образом, множество значений правой части — это $[0, 2]$.

3. Сравнивая оценки, видим, что равенство возможно только если обе части равны 2. Это эквивалентно системе:

$\begin{cases} |\lg(x-5)| + 2 = 2 \\ \sqrt{4 - (x-6)^2} = 2 \end{cases}$

Решение системы сводится к нахождению такого значения $x$, при котором обе части одновременно достигают своих экстремальных значений.
Левая часть равна 2 при: $|\lg(x-5)|=0 \implies \lg(x-5)=0 \implies x-5=1 \implies x=6$.
Правая часть равна 2 при: $\sqrt{4 - (x-6)^2}=2 \implies 4 - (x-6)^2 = 4 \implies (x-6)^2=0 \implies x=6$.

Оба условия выполняются при $x=6$. Этот корень принадлежит общей области определения $(5, 8]$.

Ответ: $6$

г) $|\lg(x-4)| + 3 = \sqrt{9 - (x-5)^2}$

Применим метод оценки.

1. Левая часть: $f(x) = |\lg(x-4)| + 3$.
ОДЗ: $x-4 > 0 \implies x > 4$.
Поскольку $|\lg(x-4)| \ge 0$, то $f(x) = |\lg(x-4)| + 3 \ge 3$.
Минимальное значение левой части равно 3.

2. Правая часть: $g(x) = \sqrt{9 - (x-5)^2}$.
ОДЗ: $9 - (x-5)^2 \ge 0 \implies (x-5)^2 \le 9 \implies |x-5| \le 3 \implies -3 \le x-5 \le 3 \implies 2 \le x \le 8$.

Общая ОДЗ: $(4, \infty) \cap [2, 8] = (4, 8]$.

Максимальное значение правой части достигается, когда $(x-5)^2 = 0$, то есть при $x=5$.
$g(5) = \sqrt{9-0} = 3$.
Множество значений правой части есть отрезок $[0, 3]$.

3. Равенство возможно, только если левая часть равна своему минимуму (3), а правая — своему максимуму (3). Это эквивалентно решению системы:

$\begin{cases} |\lg(x-4)| + 3 = 3 \\ \sqrt{9 - (x-5)^2} = 3 \end{cases}$

Решаем систему:
Из первого уравнения: $|\lg(x-4)|=0 \implies \lg(x-4)=0 \implies x-4=10^0=1 \implies x=5$.
Из второго уравнения: $\sqrt{9 - (x-5)^2} = 3 \implies 9 - (x-5)^2 = 9 \implies (x-5)^2=0 \implies x=5$.

Оба уравнения дают $x=5$. Это значение входит в общую ОДЗ $(4, 8]$.

Ответ: $5$

13.17 a) $2 \cos^2 (x \sin x) = 2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)|;$

б) $3 \sin^2 \left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin \frac{\pi x}{2}\right) = 3 + \log_3 (x^2 - 6x + 10).$

а) $2\cos^2(x \sin x) = 2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)|$

Для решения данного уравнения воспользуемся методом оценки. Рассмотрим левую и правую части уравнения по отдельности.

1. Оценка левой части (ЛЧ): $f(x) = 2\cos^2(x \sin x)$.

Область значений функции косинус: $-1 \le \cos(t) \le 1$.

Следовательно, для квадрата косинуса: $0 \le \cos^2(t) \le 1$.

Для левой части уравнения получаем: $0 \le 2\cos^2(x \sin x) \le 2$. Таким образом, ЛЧ $\le 2$.

2. Оценка правой части (ПЧ): $g(x) = 2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)|$.

Модуль любого числа является неотрицательной величиной: $|\log_2(x^2 - 4x + 1)| \ge 0$.

Следовательно, для правой части уравнения получаем: $2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)| \ge 2$. Таким образом, ПЧ $\ge 2$.

3. Условие равенства.

Равенство ЛЧ = ПЧ возможно только в том случае, когда обе части равны 2. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 2\cos^2(x \sin x) = 2 \\ 2 + |\log_2(x^2 - 4x + 1)| = 2 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы:

$|\log_2(x^2 - 4x + 1)| = 0$

$\log_2(x^2 - 4x + 1) = 0$

По определению логарифма:

$x^2 - 4x + 1 = 2^0$

$x^2 - 4x + 1 = 1$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Проверим область допустимых значений логарифма $x^2 - 4x + 1 > 0$. При $x=0$ и $x=4$ выражение $x^2 - 4x + 1$ равно 1, что больше 0. Оба корня допустимы.

Теперь подставим найденные значения $x$ в первое уравнение системы $2\cos^2(x \sin x) = 2$, или $\cos^2(x \sin x) = 1$.

При $x=0$:

$\cos^2(0 \cdot \sin 0) = \cos^2(0) = 1^2 = 1$. Равенство выполняется. Значит, $x=0$ является корнем исходного уравнения.

При $x=4$:

$\cos^2(4 \sin 4) = 1$.

Это равенство выполняется, если $4 \sin 4 = k\pi$, где $k$ - целое число. Отсюда $\sin 4 = \frac{k\pi}{4}$.

Так как $-1 \le \sin 4 \le 1$, то должно выполняться неравенство $-1 \le \frac{k\pi}{4} \le 1$, или $-\frac{4}{\pi} \le k \le \frac{4}{\pi}$.

Учитывая, что $\pi \approx 3.14$, получаем $-1.27 \le k \le 1.27$. Целые значения $k$, удовлетворяющие этому условию: $k \in \{-1, 0, 1\}$.

- Если $k=0$, то $\sin 4 = 0$, что неверно, так как 4 не является кратным $\pi$.

- Если $k=1$, то $\sin 4 = \pi/4$. Это неверно.

- Если $k=-1$, то $\sin 4 = -\pi/4$. Это также неверно, так как $\sin 4 \approx -0.7568$, а $-\pi/4 \approx -0.7854$.

Так как $4 \sin 4$ не равно $k\pi$ ни для какого целого $k$, то $x=4$ не является корнем.

Таким образом, единственным решением является $x=0$.

Ответ: $0$.

б) $3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) = 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10)$

Для решения данного уравнения также воспользуемся методом оценки.

1. Оценка левой части (ЛЧ): $f(x) = 3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right)$.

Область значений функции синус: $-1 \le \sin(t) \le 1$.

Следовательно, для квадрата синуса: $0 \le \sin^2(t) \le 1$.

Для левой части уравнения получаем: $0 \le 3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) \le 3$. Таким образом, ЛЧ $\le 3$.

2. Оценка правой части (ПЧ): $g(x) = 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10)$.

Рассмотрим выражение под знаком логарифма: $x^2 - 6x + 10$. Выделим полный квадрат:

$x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x - 3)^2 + 1$.

Так как $(x - 3)^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $(x - 3)^2 + 1 \ge 1$.

Поскольку основание логарифма $3 > 1$, функция $\log_3(t)$ является возрастающей. Следовательно:

$\log_3(x^2 - 6x + 10) = \log_3((x-3)^2+1) \ge \log_3(1) = 0$.

Для правой части уравнения получаем: $3 + \log_3(x^2 - 6x + 10) \ge 3+0 = 3$. Таким образом, ПЧ $\ge 3$.

3. Условие равенства.

Равенство ЛЧ = ПЧ возможно только в том случае, когда обе части равны 3. Это приводит к системе уравнений:

$\begin{cases} 3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) = 3 \\ 3 + \log_3(x^2 - 6x + 10) = 3 \end{cases}$

Решим второе уравнение системы:

$\log_3(x^2 - 6x + 10) = 0$

По определению логарифма:

$x^2 - 6x + 10 = 3^0$

$x^2 - 6x + 10 = 1$

$x^2 - 6x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 = 0$

Отсюда получаем единственный возможный корень: $x = 3$.

Теперь подставим найденное значение $x=3$ в первое уравнение системы $3\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) = 3$, или $\sin^2\left(\frac{\pi x}{2} \cdot \sin\frac{\pi x}{2}\right) = 1$.

При $x=3$:

Аргумент синуса равен $\frac{\pi \cdot 3}{2} \cdot \sin\frac{\pi \cdot 3}{2} = \frac{3\pi}{2} \cdot \sin\frac{3\pi}{2}$.

Так как $\sin\frac{3\pi}{2} = -1$, то аргумент равен $\frac{3\pi}{2} \cdot (-1) = -\frac{3\pi}{2}$.

Подставляем в уравнение:

$\sin^2\left(-\frac{3\pi}{2}\right) = \left(\sin\left(-\frac{3\pi}{2}\right)\right)^2 = \left(-\sin\frac{3\pi}{2}\right)^2 = (-(-1))^2 = 1^2 = 1$.

Равенство выполняется. Значит, $x=3$ является корнем исходного уравнения.

Ответ: $3$.

Решите неравенство (13.18—13.20):

13.18 а) $x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4} \leq 3 \sin x - 3;$

б) $-x^2 + 2\pi x - \pi^2 \geq 2 \cos x + 2; \bullet$

в) $\log_2(x^2 + 4x + 5) \leq -4 - 4x - x^2;$

г) $\log_{0,6}(x^2 - 6x + 10) \geq x^2 - 6x + 9.$

а)Рассмотрим неравенство $x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4} \le 3 \sin x - 3$.Преобразуем левую часть. Она представляет собой полный квадрат: $x^2 - \pi x + \frac{\pi^2}{4} = (x - \frac{\pi}{2})^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа является неотрицательным, имеем $(x - \frac{\pi}{2})^2 \ge 0$ для любого $x$.Теперь рассмотрим правую часть: $3 \sin x - 3$. Область значений функции синуса: $-1 \le \sin x \le 1$. Следовательно, максимальное значение правой части достигается при $\sin x = 1$ и равно $3 \cdot 1 - 3 = 0$. Таким образом, $3 \sin x - 3 \le 0$ для любого $x$.Исходное неравенство можно записать как $(x - \frac{\pi}{2})^2 \le 3 \sin x - 3$.Мы получили, что левая часть неравенства всегда больше или равна нулю, а правая часть всегда меньше или равна нулю. Такое неравенство может выполняться только в том случае, когда обе части равны нулю.Это эквивалентно решению системы уравнений:$\begin{cases}(x - \frac{\pi}{2})^2 = 0 \\3 \sin x - 3 = 0\end{cases}$Из первого уравнения находим: $x - \frac{\pi}{2} = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}$.Из второго уравнения находим: $3 \sin x = 3 \implies \sin x = 1$.Проверим, является ли $x = \frac{\pi}{2}$ решением второго уравнения: $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$. Это верное равенство.Таким образом, единственным решением исходного неравенства является $x = \frac{\pi}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2}$.

б)Рассмотрим неравенство $-x^2 + 2\pi x - \pi^2 \ge 2 \cos x + 2$.Преобразуем левую часть, вынеся минус за скобки: $-(x^2 - 2\pi x + \pi^2) = -(x - \pi)^2$. Так как $(x - \pi)^2 \ge 0$, то левая часть $-(x - \pi)^2 \le 0$ для любого $x$.Теперь рассмотрим правую часть: $2 \cos x + 2$. Область значений функции косинуса: $-1 \le \cos x \le 1$. Следовательно, минимальное значение правой части достигается при $\cos x = -1$ и равно $2(-1) + 2 = 0$. Таким образом, $2 \cos x + 2 \ge 0$ для любого $x$.Исходное неравенство можно записать как $-(x - \pi)^2 \ge 2 \cos x + 2$.Мы получили, что левая часть неравенства всегда меньше или равна нулю, а правая часть всегда больше или равна нулю. Неравенство может выполняться только в том случае, когда обе части равны нулю.Это эквивалентно решению системы уравнений:$\begin{cases}-(x - \pi)^2 = 0 \\2 \cos x + 2 = 0\end{cases}$Из первого уравнения находим: $x - \pi = 0 \implies x = \pi$.Из второго уравнения находим: $2 \cos x = -2 \implies \cos x = -1$.Проверим, является ли $x = \pi$ решением второго уравнения: $\cos(\pi) = -1$. Это верное равенство.Таким образом, единственным решением исходного неравенства является $x = \pi$.
Ответ: $x = \pi$.

в)Рассмотрим неравенство $\log_2(x^2 + 4x + 5) \le -4 - 4x - x^2$.Преобразуем выражение в аргументе логарифма, выделив полный квадрат: $x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1$. Поскольку $(x+2)^2 \ge 0$, то $(x+2)^2 + 1 \ge 1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция $\log_2(t)$ является возрастающей. Следовательно, левая часть неравенства $\log_2((x+2)^2 + 1) \ge \log_2(1) = 0$.Теперь преобразуем правую часть: $-4 - 4x - x^2 = -(x^2 + 4x + 4) = -(x+2)^2$. Так как $(x+2)^2 \ge 0$, то правая часть $-(x+2)^2 \le 0$.Исходное неравенство имеет вид $L(x) \le R(x)$, где $L(x) \ge 0$ и $R(x) \le 0$. Такое неравенство может выполняться только в том случае, когда обе части равны нулю.Это эквивалентно решению системы уравнений:$\begin{cases}\log_2((x+2)^2 + 1) = 0 \\-(x+2)^2 = 0\end{cases}$Из второго уравнения находим: $(x+2)^2 = 0 \implies x+2 = 0 \implies x = -2$.Проверим, является ли $x = -2$ решением первого уравнения: $\log_2((-2+2)^2 + 1) = \log_2(0+1) = \log_2(1) = 0$. Это верное равенство.Таким образом, единственным решением исходного неравенства является $x = -2$.
Ответ: $x = -2$.

г)Рассмотрим неравенство $\log_{0.6}(x^2 - 6x + 10) \ge x^2 - 6x + 9$.Преобразуем обе части неравенства. В правой части стоит полный квадрат: $x^2 - 6x + 9 = (x-3)^2$. В аргументе логарифма в левой части также выделим полный квадрат: $x^2 - 6x + 10 = (x^2 - 6x + 9) + 1 = (x-3)^2 + 1$.Неравенство принимает вид: $\log_{0.6}((x-3)^2 + 1) \ge (x-3)^2$.Сделаем замену $t = (x-3)^2$. Так как $t$ является квадратом действительного числа, то $t \ge 0$.Неравенство в новых переменных: $\log_{0.6}(t + 1) \ge t$.Рассмотрим левую и правую части этого неравенства.Правая часть: $t \ge 0$.Левая часть: $\log_{0.6}(t+1)$. Поскольку $t \ge 0$, то $t+1 \ge 1$. Основание логарифма $0.6$ находится в интервале $(0, 1)$, поэтому функция $\log_{0.6}(y)$ является убывающей. Следовательно, $\log_{0.6}(t+1) \le \log_{0.6}(1) = 0$.Итак, мы получили неравенство $\log_{0.6}(t+1) \ge t$, где левая часть $\le 0$, а правая часть $\ge 0$. Такое неравенство может выполняться только тогда, когда обе части равны нулю.$\log_{0.6}(t+1) = 0$ и $t=0$.При $t=0$ левая часть равна $\log_{0.6}(0+1) = \log_{0.6}(1) = 0$. Равенство выполняется.Значит, единственное решение для $t$ это $t=0$.Вернемся к исходной переменной: $(x-3)^2 = 0$.Отсюда $x-3=0 \implies x=3$.
Ответ: $x = 3$.

13.19 а) $\log_2(x+2) > 1 - x$;

б) $\log_2(x+4) < -1 - x$;

в) $\log_{0,5}(x-2) > x - 3$;

г) $\log_{0,5}(x+2) < x - 1$.

а)

Решим неравенство $ \log_2(x+2) > 1-x $.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:

$ x + 2 > 0 \implies x > -2 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-2, +\infty) $.

2. Для решения данного типа неравенств, где сравниваются логарифмическая и линейная функции, удобно использовать функционально-графический метод. Рассмотрим две функции: $ f(x) = \log_2(x+2) $ и $ g(x) = 1-x $.

Функция $ f(x) = \log_2(x+2) $ является строго возрастающей на всей своей области определения, так как основание логарифма $ 2 > 1 $.

Функция $ g(x) = 1-x $ является строго убывающей на всей числовой прямой, так как ее угловой коэффициент равен $ -1 $.

Поскольку одна функция строго возрастает, а другая строго убывает, они могут пересечься не более чем в одной точке. Найдем эту точку, решив уравнение $ f(x) = g(x) $:

$ \log_2(x+2) = 1-x $

Методом подбора легко найти корень. Проверим $ x=0 $:

Левая часть: $ \log_2(0+2) = \log_2(2) = 1 $.

Правая часть: $ 1-0 = 1 $.

Так как левая часть равна правой, $ x=0 $ является единственным корнем уравнения.

3. Вернемся к неравенству $ \log_2(x+2) > 1-x $. Мы ищем такие значения $ x $, при которых значения функции $ f(x) $ больше значений функции $ g(x) $ (график $ f(x) $ лежит выше графика $ g(x) $).

Поскольку $ f(x) $ возрастает, а $ g(x) $ убывает, и они пересекаются в точке $ x=0 $, то для всех $ x $ правее точки пересечения ($ x > 0 $) будет выполняться $ f(x) > g(x) $. Для $ x $ левее точки пересечения ($ x < 0 $) будет выполняться $ f(x) < g(x) $.

Таким образом, решение неравенства есть $ x > 0 $.

Совмещая полученное решение с ОДЗ ($ x > -2 $), получаем итоговый интервал $ x \in (0, +\infty) $.

Ответ: $ (0, +\infty) $.

б)

Решим неравенство $ \log_2(x+4) < -1-x $.

1. ОДЗ: $ x+4 > 0 \implies x > -4 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-4, +\infty) $.

2. Рассмотрим функции $ f(x) = \log_2(x+4) $ и $ g(x) = -1-x $.

Функция $ f(x) $ является строго возрастающей (основание $ 2 > 1 $).

Функция $ g(x) $ является строго убывающей (угловой коэффициент $ -1 $).

Найдем их единственную точку пересечения из уравнения $ \log_2(x+4) = -1-x $.

Методом подбора, проверим $ x=-2 $:

Левая часть: $ \log_2(-2+4) = \log_2(2) = 1 $.

Правая часть: $ -1 - (-2) = -1+2 = 1 $.

Следовательно, $ x=-2 $ — единственный корень.

3. Решаем неравенство $ \log_2(x+4) < -1-x $, то есть ищем $ x $, при которых $ f(x) < g(x) $.

Так как $ f(x) $ возрастает, а $ g(x) $ убывает, и они пересекаются в $ x=-2 $, то неравенство $ f(x) < g(x) $ будет выполняться для всех $ x $ левее точки пересечения, то есть при $ x < -2 $.

Учитывая ОДЗ ($ x > -4 $), получаем итоговое решение: $ -4 < x < -2 $.

Ответ: $ (-4, -2) $.

в)

Решим неравенство $ \log_{0.5}(x-2) > x-3 $.

1. ОДЗ: $ x-2 > 0 \implies x > 2 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (2, +\infty) $.

2. Рассмотрим функции $ f(x) = \log_{0.5}(x-2) $ и $ g(x) = x-3 $.

Функция $ f(x) $ является строго убывающей, так как основание логарифма $ 0.5 \in (0, 1) $.

Функция $ g(x) $ является строго возрастающей (угловой коэффициент $ 1 $).

Найдем их единственную точку пересечения из уравнения $ \log_{0.5}(x-2) = x-3 $.

Методом подбора, проверим $ x=3 $:

Левая часть: $ \log_{0.5}(3-2) = \log_{0.5}(1) = 0 $.

Правая часть: $ 3-3 = 0 $.

Следовательно, $ x=3 $ — единственный корень.

3. Решаем неравенство $ \log_{0.5}(x-2) > x-3 $, то есть ищем $ x $, при которых $ f(x) > g(x) $.

Так как $ f(x) $ убывает, а $ g(x) $ возрастает, и они пересекаются в $ x=3 $, то неравенство $ f(x) > g(x) $ будет выполняться для всех $ x $ левее точки пересечения, то есть при $ x < 3 $.

Учитывая ОДЗ ($ x > 2 $), получаем итоговое решение: $ 2 < x < 3 $.

Ответ: $ (2, 3) $.

г)

Решим неравенство $ \log_{0.5}(x+2) < x-1 $.

1. ОДЗ: $ x+2 > 0 \implies x > -2 $. Таким образом, ОДЗ: $ x \in (-2, +\infty) $.

2. Рассмотрим функции $ f(x) = \log_{0.5}(x+2) $ и $ g(x) = x-1 $.

Функция $ f(x) $ является строго убывающей (основание $ 0.5 \in (0, 1) $).

Функция $ g(x) $ является строго возрастающей (угловой коэффициент $ 1 $).

Найдем их единственную точку пересечения из уравнения $ \log_{0.5}(x+2) = x-1 $.

Методом подбора, проверим $ x=0 $:

Левая часть: $ \log_{0.5}(0+2) = \log_{0.5}(2) = -1 $.

Правая часть: $ 0-1 = -1 $.

Следовательно, $ x=0 $ — единственный корень.

3. Решаем неравенство $ \log_{0.5}(x+2) < x-1 $, то есть ищем $ x $, при которых $ f(x) < g(x) $.

Так как $ f(x) $ убывает, а $ g(x) $ возрастает, и они пересекаются в $ x=0 $, то неравенство $ f(x) < g(x) $ будет выполняться для всех $ x $ правее точки пересечения, то есть при $ x > 0 $.

Учитывая ОДЗ ($ x > -2 $), получаем итоговое решение: $ x > 0 $.

Ответ: $ (0, +\infty) $.

13.20 a) $ \log_{0,2} (-x^2 + 6x - 8) \le -9 + 6x - x^2 $;

б) $ 3 \cos^2 x \ge 3 + |\log_5 (x^2 - 4x + 1)| $.

a) $\log_{0,2}(-x^2 + 6x - 8) \le -9 + 6x - x^2$

Заметим, что правая часть неравенства очень похожа на выражение под знаком логарифма. Сделаем замену переменной. Пусть $t = -x^2 + 6x - 8$.

Тогда правую часть можно представить как:

$-9 + 6x - x^2 = (-x^2 + 6x - 8) - 1 = t - 1$.

Исходное неравенство принимает вид:

$\log_{0,2} t \le t - 1$

Также необходимо учесть область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: аргумент логарифма должен быть строго больше нуля, то есть $t > 0$.

Рассмотрим неравенство $\log_{0,2} t \le t - 1$. Решим его методом оценки или графически. Рассмотрим две функции: $y_1(t) = \log_{0,2} t$ и $y_2(t) = t - 1$.

Функция $y_1(t) = \log_{0,2} t$ — убывающая, так как основание логарифма $0,2 \in (0, 1)$.

Функция $y_2(t) = t - 1$ — возрастающая линейная функция.

Найдем точку их пересечения, решив уравнение $\log_{0,2} t = t - 1$. Легко заметить, что $t=1$ является корнем, так как $\log_{0,2} 1 = 0$ и $1 - 1 = 0$.

Поскольку одна функция убывает, а другая возрастает, у них может быть не более одной точки пересечения. Следовательно, $t=1$ — единственный корень.

Так как $y_1(t)$ убывает, а $y_2(t)$ возрастает, при $t > 1$ график $y_1(t)$ будет лежать ниже графика $y_2(t)$, то есть $\log_{0,2} t < t - 1$. При $0 < t < 1$ будет выполняться обратное неравенство $\log_{0,2} t > t - 1$.

Нам нужно решение для $\log_{0,2} t \le t - 1$. Это выполняется при $t \ge 1$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$:

$-x^2 + 6x - 8 \ge 1$

$-x^2 + 6x - 9 \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 - 6x + 9 \le 0$

Свернем левую часть по формуле квадрата разности:

$(x - 3)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, то есть $(x - 3)^2 \ge 0$. Следовательно, неравенство $(x - 3)^2 \le 0$ может выполняться только в одном случае, когда $(x - 3)^2 = 0$.

Отсюда получаем $x - 3 = 0$, то есть $x = 3$.

Проверим, удовлетворяет ли найденное значение $x=3$ ОДЗ логарифма: $-x^2 + 6x - 8 > 0$.

Подставляем $x=3$: $-(3)^2 + 6(3) - 8 = -9 + 18 - 8 = 1$.

Так как $1 > 0$, условие ОДЗ выполнено.

Таким образом, единственным решением неравенства является $x = 3$.

Ответ: $3$.

б) $3\cos^2 x \ge 3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)|$

Решим это неравенство методом оценки. Оценим левую и правую части неравенства.

Левая часть: $3\cos^2 x$.

Мы знаем, что для любого действительного $x$ выполняется неравенство $0 \le \cos^2 x \le 1$.

Умножив все части на 3, получим: $0 \le 3\cos^2 x \le 3$.

Таким образом, максимальное значение левой части равно 3.

Правая часть: $3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)|$.

Модуль любого числа является неотрицательной величиной, то есть $|\log_5(x^2 - 4x + 1)| \ge 0$.

Прибавив 3 ко всем частям, получим: $3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)| \ge 3$.

Таким образом, минимальное значение правой части равно 3.

Итак, мы имеем неравенство вида (Левая часть) $\ge$ (Правая часть), где (Левая часть) $\le 3$, а (Правая часть) $\ge 3$.

Такое неравенство может выполняться только в одном случае: когда обе части равны 3. Это эквивалентно решению системы уравнений:

$\begin{cases} 3\cos^2 x = 3 \\ 3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)| = 3 \end{cases}$

Решим первое уравнение:

$3\cos^2 x = 3$

$\cos^2 x = 1$

$\cos x = 1$ или $\cos x = -1$.

Это означает, что $x = k\pi$, где $k$ — любое целое число ($k \in \mathbb{Z}$).

Решим второе уравнение:

$3 + |\log_5(x^2 - 4x + 1)| = 3$

$|\log_5(x^2 - 4x + 1)| = 0$

Модуль равен нулю, только если выражение под модулем равно нулю:

$\log_5(x^2 - 4x + 1) = 0$

По определению логарифма, его значение равно нулю, если аргумент равен 1:

$x^2 - 4x + 1 = 1$

$x^2 - 4x = 0$

$x(x - 4) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения: $x = 0$ и $x = 4$.

Теперь нужно найти значения $x$, которые удовлетворяют обоим условиям. Мы должны выбрать из $x=0$ и $x=4$ те, которые можно представить в виде $x = k\pi$ для некоторого целого $k$.

• При $x=0$: $0 = k\pi$. Это верно при $k=0$. Так как $k=0$ — целое число, $x=0$ является решением.
• При $x=4$: $4 = k\pi \Rightarrow k = 4/\pi$. Так как $\pi$ иррационально, $4/\pi$ не является целым числом. Следовательно, $x=4$ не является решением.

Необходимо также проверить ОДЗ логарифма для найденного решения $x=0$: $x^2 - 4x + 1 > 0$.

При $x=0$: $0^2 - 4(0) + 1 = 1 > 0$. Условие выполнено.

Единственное решение, удовлетворяющее всей системе, это $x = 0$.

Ответ: $0$.

Решите уравнение (13.21—13.23):

13.21 a) $(\frac{2}{3})^x + (\frac{3}{2})^x = 2 - \sin^2\frac{2001x}{2002};$

б) $(\log_2 3)^x + (\log_3 2)^x = 2 - \cos^2\frac{\pi x + \pi}{2};$

в) $(\frac{4}{3})^{x-1} + (\frac{3}{4})^{x-1} = 1 + \cos 2\pi x;$

г) $(\frac{4}{5})^{x+1} + (\frac{5}{4})^{x+1} = 1 - \cos \pi x;$

а)

Рассмотрим левую и правую части уравнения.
Левая часть (ЛЧ) представляет собой функцию $f(x) = (\frac{2}{3})^x + (\frac{3}{2})^x$. Заметим, что $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$. Пусть $y = (\frac{2}{3})^x$. Тогда левую часть можно записать в виде $y + \frac{1}{y}$.
Поскольку $y = (\frac{2}{3})^x > 0$ для любого действительного $x$, мы можем применить неравенство о средних арифметическом и геометрическом (неравенство Коши): $y + \frac{1}{y} \ge 2\sqrt{y \cdot \frac{1}{y}} = 2$.
Таким образом, наименьшее значение левой части равно 2. Это значение достигается, когда $y = \frac{1}{y}$, то есть $y^2 = 1$. Так как $y>0$, то $y=1$.
Возвращаясь к переменной $x$, получаем $(\frac{2}{3})^x = 1$, что верно только при $x=0$.
Правая часть (ПЧ) — это функция $g(x) = 2 - \sin^2\frac{2001x}{2002}$.
Мы знаем, что область значений функции синус в квадрате есть отрезок $[0, 1]$, то есть $0 \le \sin^2\alpha \le 1$ для любого $\alpha$.
Следовательно, $-1 \le -\sin^2\frac{2001x}{2002} \le 0$.
Прибавив 2 ко всем частям неравенства, получим $1 \le 2 - \sin^2\frac{2001x}{2002} \le 2$.
Таким образом, наибольшее значение правой части равно 2.
Исходное уравнение может иметь решение только в том случае, когда левая и правая части одновременно принимают равные значения. Поскольку ЛЧ $\ge 2$, а ПЧ $\le 2$, равенство возможно только когда ЛЧ = ПЧ = 2.
ЛЧ = 2 только при $x=0$.
Проверим, равна ли ПЧ двум при $x=0$: $2 - \sin^2(\frac{2001 \cdot 0}{2002}) = 2 - \sin^2(0) = 2 - 0 = 2$.
Условие выполняется. Следовательно, $x=0$ является единственным решением.
Ответ: $x=0$.

б)

Данное уравнение решается методом оценки.
Левая часть (ЛЧ): $f(x) = (\log_2 3)^x + (\log_3 2)^x$. Воспользуемся свойством логарифма $\log_b a = \frac{1}{\log_a b}$, чтобы преобразовать выражение: $\log_3 2 = \frac{1}{\log_2 3}$.
Пусть $y = (\log_2 3)^x$. Тогда ЛЧ примет вид $y + \frac{1}{y}$. Так как $\log_2 3 > 1$, то $y > 0$.
По неравенству Коши, $y + \frac{1}{y} \ge 2$. Равенство достигается при $y=1$.
$(\log_2 3)^x = 1$. Так как основание степени $\log_2 3 \neq 1$, равенство справедливо только при $x=0$.
Итак, ЛЧ $\ge 2$, причем ЛЧ = 2 только при $x=0$.
Правая часть (ПЧ): $g(x) = 2 - \cos^2\frac{\pi x + \pi}{2}$.
Область значений функции косинус в квадрате — это $[0, 1]$. Таким образом, $0 \le \cos^2\frac{\pi x + \pi}{2} \le 1$.
Отсюда следует, что $1 \le 2 - \cos^2\frac{\pi x + \pi}{2} \le 2$. То есть, ПЧ $\le 2$.
Равенство ЛЧ = ПЧ возможно, только если обе части равны 2.
ЛЧ = 2 при $x=0$.
ПЧ = 2, когда $\cos^2\frac{\pi x + \pi}{2} = 0$. Подставим $x=0$: $\cos^2(\frac{\pi \cdot 0 + \pi}{2}) = \cos^2(\frac{\pi}{2}) = 0^2 = 0$. Условие выполняется.
Единственное решение уравнения — $x=0$.
Ответ: $x=0$.

в)

Воспользуемся методом оценки левой и правой частей уравнения.
Левая часть (ЛЧ): $f(x) = (\frac{4}{3})^{x-1} + (\frac{3}{4})^{x-1}$. Пусть $y = (\frac{4}{3})^{x-1}$. Тогда ЛЧ равна $y + \frac{1}{y}$.
Поскольку $y > 0$, по неравенству Коши $y + \frac{1}{y} \ge 2$. Равенство достигается, когда $y=1$.
$(\frac{4}{3})^{x-1} = 1$. Это уравнение истинно, если показатель степени равен нулю: $x-1 = 0$, откуда $x=1$.
Следовательно, ЛЧ $\ge 2$, и ЛЧ = 2 только при $x=1$.
Правая часть (ПЧ): $g(x) = 1 + \cos(2\pi x)$.
Известно, что $-1 \le \cos\alpha \le 1$. Тогда $0 \le 1 + \cos(2\pi x) \le 2$.
Следовательно, ПЧ $\le 2$.
Равенство в исходном уравнении возможно, только если ЛЧ = ПЧ = 2.
ЛЧ = 2 при $x=1$.
ПЧ = 2, когда $\cos(2\pi x) = 1$. Это выполняется при $2\pi x = 2k\pi$, где $k$ — целое число, то есть $x=k$.
Мы ищем значение $x$, которое одновременно удовлетворяет условиям $x=1$ и $x=k$ (целое). Таким значением является $x=1$.
Ответ: $x=1$.

г)

Применим метод оценки для решения данного уравнения.
Левая часть (ЛЧ): $f(x) = (\frac{4}{5})^{x+1} + (\frac{5}{4})^{x+1}$. Обозначим $y = (\frac{5}{4})^{x+1}$. Тогда $(\frac{4}{5})^{x+1} = \frac{1}{y}$. ЛЧ имеет вид $y + \frac{1}{y}$.
Так как $y > 0$, по неравенству Коши $y + \frac{1}{y} \ge 2$. Равенство имеет место при $y=1$.
$(\frac{5}{4})^{x+1} = 1$, что верно при $x+1=0$, то есть $x=-1$.
Значит, ЛЧ $\ge 2$, и ЛЧ = 2 только при $x=-1$.
Правая часть (ПЧ): $g(x) = 1 - \cos(\pi x)$.
Поскольку $-1 \le \cos(\pi x) \le 1$, то $-1 \le -\cos(\pi x) \le 1$.
Прибавляя 1, получаем $0 \le 1 - \cos(\pi x) \le 2$.
Значит, ПЧ $\le 2$.
Равенство ЛЧ = ПЧ возможно только в случае, когда обе части равны 2.
ЛЧ = 2 при $x=-1$.
ПЧ = 2, когда $1 - \cos(\pi x) = 2$, то есть $\cos(\pi x) = -1$. Это выполняется, когда $\pi x = \pi + 2k\pi = (2k+1)\pi$, где $k$ — целое число. Отсюда $x=2k+1$, то есть $x$ — любое нечетное целое число.
Единственное значение $x$, которое удовлетворяет обоим условиям ( $x=-1$ и $x$ — нечетное целое), это $x=-1$.
Ответ: $x=-1$.

13.22* a) $ \frac{\sqrt{\sin^2 x + 5} + \sqrt{\cos^2 x + 4}}{2} = \sqrt[4]{(\sin^2 x + 5)(\cos^2 x + 4)}; $

б) $ \frac{\sqrt{\sin^2 x + \sin x + 5} + \sqrt{\sin x + 6}}{2} = \sqrt[4]{(\sin^2 x + \sin x + 5)(\sin x + 6)}; $

В) $ \sqrt{3\log_2^2 x + 5} + \sqrt{\log_2^4 x + 1} = 2\sqrt[4]{(3\log_2^2 x + 5)(\log_2^4 x + 1)}; $

Г) $ \sqrt{2 - \frac{1}{2}\lg^2 x} + \sqrt{\lg^4 x + \frac{1}{2}} = 2\sqrt[4]{\left(2 - \frac{1}{2}\lg^2 x\right)\left(\lg^4 x + \frac{1}{2}\right)}. $

Все представленные уравнения имеют общую структуру, связанную с неравенством о средних арифметическом и геометрическом. Для любых неотрицательных чисел $u$ и $v$ справедливо неравенство $\frac{u+v}{2} \ge \sqrt{uv}$, причем равенство достигается только тогда, когда $u=v$. Правая часть каждого уравнения может быть записана как $\sqrt{\sqrt{A} \cdot \sqrt{B}}$, что позволяет применить это свойство.

а) $\frac{\sqrt{\sin^2 x + 5} + \sqrt{\cos^2 x + 4}}{2} = \sqrt[4]{(\sin^2 x + 5)(\cos^2 x + 4)}$

Обозначим $a = \sqrt{\sin^2 x + 5}$ и $b = \sqrt{\cos^2 x + 4}$. Подкоренные выражения всегда положительны, так как $\sin^2 x \ge 0$ и $\cos^2 x \ge 0$, следовательно $\sin^2 x + 5 \ge 5$ и $\cos^2 x + 4 \ge 4$. Значит, $a$ и $b$ — положительные действительные числа.

Уравнение можно переписать в виде $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$. Согласно неравенству о средних, это равенство выполняется тогда и только тогда, когда $a=b$.

Приравняем $a$ и $b$:

$\sqrt{\sin^2 x + 5} = \sqrt{\cos^2 x + 4}$

Возведем обе части в квадрат:

$\sin^2 x + 5 = \cos^2 x + 4$

Используем основное тригонометрическое тождество $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$:

$\sin^2 x + 5 = (1 - \sin^2 x) + 4$

$\sin^2 x + 5 = 5 - \sin^2 x$

$2\sin^2 x = 0$

$\sin x = 0$

Отсюда $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б) $\frac{\sqrt{\sin^2 x + \sin x + 5} + \sqrt{\sin x + 6}}{2} = \sqrt[4]{(\sin^2 x + \sin x + 5)(\sin x + 6)}$

Обозначим $a = \sqrt{\sin^2 x + \sin x + 5}$ и $b = \sqrt{\sin x + 6}$. Проверим, что подкоренные выражения неотрицательны. Для выражения $\sin^2 x + \sin x + 5$, если сделать замену $t = \sin x$, получим квадратный трехчлен $t^2+t+5$. Его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = -19 < 0$, а старший коэффициент положителен, значит, трехчлен всегда принимает положительные значения. Для выражения $\sin x + 6$, так как $-1 \le \sin x \le 1$, то $5 \le \sin x + 6 \le 7$. Следовательно, $a$ и $b$ — положительные действительные числа.

Уравнение снова имеет вид $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$, что эквивалентно $a=b$.

$\sqrt{\sin^2 x + \sin x + 5} = \sqrt{\sin x + 6}$

Возведем обе части в квадрат:

$\sin^2 x + \sin x + 5 = \sin x + 6$

$\sin^2 x = 1$

Отсюда $\sin x = 1$ или $\sin x = -1$.

Это можно объединить в одно решение: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

в) $\sqrt{3\log_2^2 x + 5} + \sqrt{\log_2^4 x + 1} = 2\sqrt[4]{(3\log_2^2 x + 5)(\log_2^4 x + 1)}$

Разделим обе части на 2: $\frac{\sqrt{3\log_2^2 x + 5} + \sqrt{\log_2^4 x + 1}}{2} = \sqrt[4]{(3\log_2^2 x + 5)(\log_2^4 x + 1)}$.

Обозначим $a = \sqrt{3\log_2^2 x + 5}$ и $b = \sqrt{\log_2^4 x + 1}$. Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифма: $x > 0$. Выражения $3\log_2^2 x + 5$ и $\log_2^4 x + 1$ всегда положительны, так как $\log_2^2 x \ge 0$ и $\log_2^4 x \ge 0$.

Уравнение имеет вид $\frac{a+b}{2} = \sqrt{ab}$, что эквивалентно $a=b$.

$\sqrt{3\log_2^2 x + 5} = \sqrt{\log_2^4 x + 1}$

$3\log_2^2 x + 5 = \log_2^4 x + 1$

Сделаем замену $y = \log_2^2 x$. Так как квадрат числа не может быть отрицательным, $y \ge 0$.

$3y + 5 = y^2 + 1$

$y^2 - 3y - 4 = 0$

По теореме Виета, корни уравнения $y_1=4$ и $y_2=-1$. Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y=4$.

Возвращаемся к исходной переменной:

$\log_2^2 x = 4$

$\log_2 x = 2$ или $\log_2 x = -2$.

Из $\log_2 x = 2$ получаем $x = 2^2 = 4$.

Из $\log_2 x = -2$ получаем $x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x>0$).

Ответ: $x=4; x=\frac{1}{4}$.

г) $\sqrt{2 - \frac{1}{2}\lg^2 x} + \sqrt{\lg^4 x + \frac{1}{2}} = 2\sqrt[4]{(2 - \frac{1}{2}\lg^2 x)(\lg^4 x + \frac{1}{2})}$

Разделим обе части на 2: $\frac{\sqrt{2 - \frac{1}{2}\lg^2 x} + \sqrt{\lg^4 x + \frac{1}{2}}}{2} = \sqrt[4]{(2 - \frac{1}{2}\lg^2 x)(\lg^4 x + \frac{1}{2})}$.

Обозначим $a = \sqrt{2 - \frac{1}{2}\lg^2 x}$ и $b = \sqrt{\lg^4 x + \frac{1}{2}}$. Найдем ОДЗ. Во-первых, $x > 0$. Во-вторых, подкоренные выражения должны быть неотрицательны. $\lg^4 x + \frac{1}{2}$ всегда положительно. Для первого корня: $2 - \frac{1}{2}\lg^2 x \ge 0 \implies 4 \ge \lg^2 x \implies |\lg x| \le 2 \implies -2 \le \lg x \le 2$.

Уравнение сводится к $a=b$.

$\sqrt{2 - \frac{1}{2}\lg^2 x} = \sqrt{\lg^4 x + \frac{1}{2}}$

$2 - \frac{1}{2}\lg^2 x = \lg^4 x + \frac{1}{2}$

Сделаем замену $y = \lg^2 x$. Из ОДЗ следует, что $0 \le y \le 4$.

$2 - \frac{1}{2}y = y^2 + \frac{1}{2}$

Умножим на 2, чтобы избавиться от дробей:

$4 - y = 2y^2 + 1$

$2y^2 + y - 3 = 0$

Находим корни квадратного уравнения: $y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(2)(-3)}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-1 \pm 5}{4}$.

$y_1 = \frac{-1+5}{4} = 1$ и $y_2 = \frac{-1-5}{4} = -\frac{3}{2}$.

Условию $y \ge 0$ удовлетворяет только $y=1$. Этот корень также удовлетворяет условию $0 \le y \le 4$.

Возвращаемся к замене:

$\lg^2 x = 1$

$\lg x = 1$ или $\lg x = -1$.

Из $\lg x = 1$ получаем $x = 10^1 = 10$.

Из $\lg x = -1$ получаем $x = 10^{-1} = 0,1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($-2 \le \lg x \le 2$).

Ответ: $x=10; x=0,1$.